换一种路径 成就一片精彩

陆建英

【摘   要】“平行与垂直”的教学路径有多条，最常见的是引导学生通过对任意两条直线的分类，逐步抽象概括概念。教师基于对学生前测情况的分析，对常规教学路径进行了调整，以“学生心目中的平行（垂直）”为起点展开教学，通过组织学生进行展示交流、辨析质疑等活动，逐步完善学生对概念内涵的理解，并最终引领学生实现对概念的关系化理解，为“平行与垂直”的教学提供了一条可实施的教学之路。

【关键词】平行;垂直;学习起点;以学定教

【课前思考】

“平行与垂直”属于“图形与几何”领域的内容，研究的是同一平面内两条直线的特殊位置关系。教材提供的教学路径是：①请学生尝试在一张纸上任意画出两条直线;②引导学生通过观察，对所画图形进行分类，引出相交和不相交两个概念;③在不相交的基础上建构平行概念;④通过测量两条直线之间的距离学习垂直概念。这一路径基于知识的逻辑起点展开，学生较充分地经历了概念的形成过程。但知识的逻辑起点不等同于学生学习的序列起点，为了解学生对“平行与垂直”有哪些前概念，对某校四年级324名学生进行了前测，前测分A、B组进行，测试题和结果如表1。

从前测结果看，学生对这两个概念有一定的认识，A组学生因为可以借助格子图表达理解，所以整体表现略好于B组。对能正确画出平行线的学生进行访谈发现：A组学生借助格子图，能够从距离的维度判断两条直线是否平行，描述比较规范。B组学生则更多地从方向的角度阐述两条直线是否平行，在描述对平行的理解时很难做到表述清晰。同时发现，或许是受到日常生活经验和旧有概念、字面意思等的影响，学生对“平行与垂直”存在着错误的前概念，如认为平行是一条平的线，垂直是一条竖直的线，等等。

根据前测分析得出，以下几个问题值得关注：①学生表达心目中的平行和垂直，使用方格图是否比使用白纸更有价值？②采用怎样的方式，能让学生对错误的前概念进行重点分析，构建正确的认知？③如何沟通垂直、平行、相交三者之间的关系，促进概念的内化？

结合课前思考，决定通过挖掘学生原有认知，调动学生多种感官，重新设计教学路径：暴露学生心目中的平行与垂直—师生探讨完善平行概念—学生自主建构垂直概念—练习中建构概念关系。以引导学生经历尝试、探究、发现的过程，让学生成为学习的主人。

【教学实践】

（一）基于学生前概念，完善平行线认知

1.引入

师：同学们，昨天请大家画一画自己心目中的平行线，主要有以下几种画法（出示图1），谁来说说你画的是哪一种，你是怎么想的？

2.交流

生1：我画的和作品A一样，我觉得平行就是一条平平的线。

生2：平行线应该有两条吧，要不它和谁平行呢？

生3：你画的是一条直线，如果它是平行线，那为什么还叫它直线呢？

师：看来大家对把这样一条直线看成平行线有不同的意见。

生4：我画的和作品B一样，我觉得平行就是平行四边形。

生5：我画的和作品C一样，我觉得平行就是两条线，它们和操场上直直的跑道一样，无论怎样都不会碰到一起。

生6（明知故问）：你怎么证明这两条线不会碰到一起呢？

生5：这两条线之间一直保持一个格子的宽度，肯定不会碰到！

3.逐步完善平行线概念

师：你们觉得今天要研究的平行是哪个作品呢？（作品C）看来同学们对平行线已经有了自己的一些了解。（课件呈现一组平行线，如图2）让我们一起来想象一下，如果这两条直线延长下去，它们会相交吗？（不会）在数学上，像这样不相交的两条直线称为平行线，也可以说这两条直线互相平行。谁能说说，两条平行线为何不会相交？

生1：这两条直线之间始终是两个格子的宽度，所以不会相交。

生2：如果两条直线中间是3个格子，也是平行线，只要格子数量始终相同，就不会相交。

教师隐去格子图，对上图中的平行线进行旋转（如图3-1），追问：现在这两条直线还平行吗？现在呢（如图3-2）？

生3：还是平行的，因为不管怎么旋转，延长后它们始终不会相交。

师：你们的意思是只要这两条直线永远不相交，它们就是平行线了，对吗？

生3：对！

师：一定是这样吗？

教师出示魔方和两支铅笔（如图4-1），追问：把这两支铅笔想象成两条直线，它们的位置关系属于什么？

生4：互相平行。

师：转动后（如图4-2），现在这两条直线会相交吗？

生5：不会。

师：根据刚才的结论，两条不相交的直线叫作平行线，那么这两条直线也不相交，所以它们也是平行线，你们同意吗？

生6：不同意，这肯定不能叫平行线。

生3：我明白了，这两条直线现在不在同一个平面了，平行線必须在同一平面内。

（设计意图：以上教学基于学生“心目中的平行”，先利用学生已有的认知，引导学生通过交流、辨析、质疑，去伪存真，引出平行线概念，再借助格子图帮助学生获得对平行线本质的直观理解，接着通过旋转变式促使学生对平行的理解由特殊走向一般，最后巧用魔方突破“同一平面”这一难点，使概念严谨化。）

4.在判断平行中引出相交

教师呈现练习（图5-1至图5-4），在学生正确判断的基础上追问：

（1）如果改变图5-3中一条直线的方向，这两条直线之间会是什么关系？（两条直线相交）

（2）图5-4中的两条直线平行吗？如果不平行，它们大约会在什么位置相交？（课件演示延长后相交）

（设计意图：概念的认识是一个逐步明晰、逐渐完善的过程，即时练习可以帮助学生自我修正、自我完善，是一种有效的学习方法。练习中变换平行线中一条直线的位置引出相交，过渡自然，并为后续垂直的学习做好了铺垫。）

（二）基于学生自学力，建构垂直概念

1.引入垂直

教师呈现学生画的“垂直”的作品（如图6），提问：大家画的“垂直”到底对不对呢？请自学书本（人教版教材四年级上册第57页），相信你们会有新的收获！

反馈中明确：垂直是两条直线相交成直角，所以只有作品C中的两条直线互相垂直。

2.自学反馈

师：垂直中还有很多小秘密，谁来当当小老师，考考大家？

随机请“小老师”提问，请其他同学回答：①你们知道什么是垂足吗？②垂直的数学符号怎么写？之后，请学生标注a，b，并请一位同学上来写一写。

3.练习

教师用课件动态演示“垂直”的变式情况，丰富学生对垂直的认识（如图7）。

小结：垂直是要看两条直线是否相交成直角，与摆放的方向和位置无关。

（设计意图：让“小老师”根据自学所得和同学进行互动，比简单地问“你学到了什么”更能激励学生。教师通过垂直的变式练习引导学生经历想象、推理等过程，让学生在运动变化中明晰垂直的本质属性，助力学生建构空间观念。）

（三）练习中沟通概念关系

1.基本练习，明确关系

教师呈现几组直线，请学生判断哪几组互相平行，哪几组互相垂直，并在练习纸上填一填。学生填写后，教师引导学生边反馈边分类，并用集合圈表示出来（如图8）。

师：请你根据集合图说说平行、相交和垂直之间的关系。

生1：垂直是相交的一部分，相交的图形中包含了垂直。

生2：同一平面内两条直线的关系可以分成平行和相交，两条直线相交不一定互相垂直，但是两条直线互相垂直，就一定是相交。

（设计意图：这一练习的设计不仅让学生判断平行与垂直，巩固基本概念，还借助材料帮助学生自主发现相交、垂直、平行之间的联系和区别，促进学生对概念的理解从分析水平走向关系水平。）

2.活动练习，丰富经验

数学小游戏：用两根手指比画平行与垂直。

3.观察练习，建立联系

教师课件演示，先出示一组平行线，然后旋转其中的一条直线，让两条直线之间的关系逐步变为相交，特殊相交（垂直），再重回平行。学生在观察的过程中，感受两条直线位置之间的关系。

（设计意图：以上练习能够培养学生“用数学的眼光观察现实世界”的意识，有效发展学生的空间观念，帮助学生加强概念之间的联系。）

【教学反思】

（一）改造“平行与垂直”前概念，推动自主学习

本节课的教学，通过前测摸准了学生学习的现实起点，充分关注学生已有的生活经验和知识基础，培养了学生的学习自主性。主要体现在：第一，以“学生心目中的平行（垂直）”为教学切入点，充分暴露学生的原有认知。学生的前概念虽然有不完备之处，但却是学生的真实认知，与学生的心理距离很近，而前概念的不完备性恰恰又是学生相互交流、辨析、质疑的有效素材，能最终促进其概念的完善。第二，整个教学过程中，教师注重发挥学生的主体地位，强调学生学习的自主性和独立性，通过自学和“小老师”的介绍引发所有学生的共鸣和疑惑，让学生经历思维的碰撞，从而获得对平行与垂直的深度理解。第三，几项练习既帮助学生建立了知识与生活间的联结，又激发了学生学习的主动性和创造性，促进学生的概念理解走向深入。

（二）重视空间想象，促进能力培养

在数学教学活动中教师应当重视并通过多种途径培养学生的空间想象能力。本节课中教师引导学生进行了多次积极的实践尝试：①对平行线延长后不相交的情况进行想象;②利用魔方引导学生进行观察、对比，想象同一平面与不同平面中两条直线的位置关系，认识到不相交的两条直线不一定是平行线，一定要补上“同一平面内”这个条件;③对看似没有相交、实际却相交的两条直线进行想象，推测并验证它们延长后的交点;④对相互平行或垂直的两条线进行旋转或变化，通过对变式图形与标准图形的比较，深化对概念的本质理解。由此，学生的空间想象能力得到了进一步的提升。

在“图形与几何”领域的学习中，教师要积极调动学生的多种感官参与学习，既要重视学生的实践操作，更要引导学生观察、比较、想象和进行数学抽象;既要为学生提供标准图式，又要呈现各种变式，把培养学生的空间想象能力落到实处。

（三）夯实概念内涵，建构概念聯系

从前测情况看，大部分学生对“平行与垂直”的概念理解停留在直观水平。教师以此为教学起点，通过展示、交流、辨析、质疑等活动，逐步完善学生对概念的理解，使学生对概念的理解走向要素水平。但明确概念内涵、分化相关概念并非本课教学的最终追求，求异的目的实为求联，学生通过学习实现对概念的关系化理解。教学中设计的一系列练习活动，在丰富学生对概念内涵理解的同时，最终建构了三个概念间的并列、包含关系，切实促进学生的认知从要素水平走向关系水平。

参考文献：

[1]朱国荣.教无定法 殊途同归：《平行与垂直》同课异构的对比分析[J].小学教学设计，2015（10）.

[2]郑水忠.小学儿童学几何[M].上海：上海教育出版社，2017.

（浙江省宁波国家高新区外国语学校   315048）