考虑顾客放弃和服务台数量可变的联络中心排队模型

藏万斌， 李军祥

上海理工大学管理学院，上海200093

当前，新型冠状病毒肺炎在世界范围内蔓延，企业单位有时不得不重新考虑如何进行生产和服务的问题，借助网络居家办公成为许多服务型企业首选的工作方式。以电话、在线客服、微信、QQ、电子邮件等多渠道联络中心的服务成为服务机构应对突发性事件的最佳选择。传统的呼叫中心是以电话的方式为顾客服务的，而随着顾客量的增多，人工座席的工作压力越来越大，服务率也越来越低，因此单纯进行电话服务并不能很好地满足顾客的需求。交互式语音系统的出现大大提高了呼叫中心的运作效率，但其机械式的回复以及功能的不全使顾客的满意度越来越差，放弃率也逐渐变高。随着电子邮箱、QQ、微信等服务方式的出现，服务机构逐渐从单一服务方式的呼叫中心向多渠道服务的联络中心方向发展[1-2]。

近几年来，许多学者就服务台效率以及队列放弃等方面的排班问题展开研究。文献[3-5]研究分析了一些考虑顾客直接放弃和中途放弃的多服务台排队模型。文献[6] 在人员配置水平不确定的情况下建立了两阶段的鲁棒优化模型，解决了座席人员班次调度问题。文献[7] 建立了具有延迟通知和回拨功能的呼叫中心流体模型。文献[8] 考虑了班种约束并构建了实际情景的座席人员排班问题整数规划模型。文献[9] 研究了一种优化的路由排队模型，在路由选择时综合考虑技能分组、座席技能列表和呼叫队列来电属性，在分配时将“未解决”来电与随机分配相结合，以提高多技能的复用率和二次来电的同席接听率。文献[10] 研究了有延迟休假的Min(N,V)-策略控制的M/G/1 排队系统队长的瞬态性质。文献[11] 通过研究封闭住宅小区开放后对周边道路影响的相关因素，根据交通流的相关理论建立基于层次分析法的二级评价体系与基于马尔科夫链的休假排队模型。文献[12] 考虑了座席的疲劳度、多技能座席、多渠道服务以及由当前大多数联络中心的实际经营状况所引起的座席技能和任务渠道的路由容量限制，建立了座席排班模型。文献[13] 研究了针对一名主要医生和一名备用医生的门诊排队系统模型，提供了系统状态转移图和转移率矩阵，最后给出了系统的平均队长和平均等待队长。

如何提高人工座席服务质量以及缩短顾客排队时间一直是联络中心亟待解决的问题。目前大多数的研究主要针对顾客群体而忽视了企业本身的利润和成本，诸如在服务台数量可变的情况下考虑联络中心整体运作效率的研究寥寥无几。服务台数量的变化对于顾客影响不大，但对于企业来说却需要投入更多的时间、精力和金钱来应对。如何能保证在服务效率提高的基础上控制企业的成本是本文研究的出发点。排队系统主要用来研究服务台与顾客之间存在的服务与接受服务的效率问题，以保证系统的最优设计和运营。在等待时间无限时，顾客和服务台数量的最优化可以使顾客和企业共赢。在一定的时间内，当排队等待服务的顾客超过限定数值时，可以申请开启新的服务台。在一定条件下，适当变化服务台的数量不但不会对企业造成巨大影响，而且会使顾客的等待时间相对减少，进而减少顾客流失，降低顾客放弃率，提高企业整体的服务效率。

因此，本文在考虑顾客放弃和服务台数量可变的情况下，以联络中心的运营成本最低为目标进行建模和仿真分析。首先，对顾客排队等待时的队列长度进行约束，从而表示出联络中心的队列等待成本；然后，以队列长度为参数变量，当队列长度超过预先设定的阈值时，开启备用服务台。

最后，因为顾客的耐心是有限的，有的顾客在排队过程中可能选择放弃，所以必须考虑联络中心的损失成本和系统整体的放弃人数，以此建立考虑顾客放弃和服务台数量可变的联络中心模型，并将其与传统的呼叫中心模型进行对比。运用ProModel 软件[14]验证所提模型的有效性，结果表明：该模型不仅可以节省联络中心的运营成本，而且能有效地提高联络中心的服务效率，为联络中心管理者的后续决策提供依据。

1 传统的呼叫中心模型

呼叫中心本质上是一种排队过程，它主要由顾客、排队规则、服务台、出口4 个基本元素组成。顾客按照一定的概率分布进入到排队系统，并按照不同的排队规则进行排队、接受服务，直至离开。在最基本的排队系统中，所有要求提供服务的对象统称为顾客，而提供给顾客服务的人员称为座席，服务系统由顾客和人工座席组成，图1 为传统的呼叫中心排队模型。

图1 传统的呼叫中心排队模型Figure 1 Traditional call center queuing model

2 考虑顾客放弃和服务台数量可变的联络中心模型

2.1 模型假设

在现实情况中，传统的呼叫中心模型具有一定的局限性。本文综合考虑顾客、服务台数量的变化等不可预知的因素后建立了新型联络中心模型，假设条件如下：

1) 顾客具有的耐心程度有限。顾客并不是无限制地在队列中等待，一旦超过一定的耐心值便会选择放弃。

2) 系统具有的承载能力有限。整个系统并不是无限制地容纳顾客，当顾客数量超过一定值时，整个系统将不再运作，后续进入到系统的顾客将无法接受服务。

3) 服务台数量可变。考虑到在高峰时段或者应急事件突发时，进入到系统的顾客数量在短时间内会急剧增多，因此在设定服务台数量的时候需要设置备用服务台，即当顾客人数过多使得队列长度超过阈值时，开启备用座席，而在空闲期的时候，备用服务台处于关闭状态。这样不仅能提高联络中心的运作效率，而且可以适当控制联络中心的运作成本。

4) 多渠道的服务方式。传统的呼叫中心的服务方式单一，服务效率不高，从而导致整个呼叫中心系统服务质量比较低，大量顾客流失。为提高服务质量，本文模型考虑增加多种渠道（如微信、QQ、Email 等）进行服务，这样顾客可以从不同的渠道进入到联络中心系统，并且每个渠道都备有各自的座席人员提供服务。

5) 系统需要有休整期和忙碌期。由于联络中心座席不可能一直高效运作，必须设置一定的休整时间。当系统运行超过一定的数值时，座席进入休整期，期间顾客将无法进入系统。

2.2 路由规则

图2 为考虑顾客放弃和服务台数量可变情况下联络中心排队模型的路由规则。

图2 服务台数量可变情况下联络中心的路由规则Figure 2 Routing rule of contact center with variable number of service desks

2.3 符号定义与说明

本文使用的符号及其说明如表1 所示。

表1 符号说明Table 1 Symbol description

2.4 目标函数

模型的目标函数即联络中心的总体运营成本，它由座席成本、队列的等待成本以及顾客的损失成本组成，其中座席成本由系统中配置的座席数量决定。假设在[t −1,t] 时段第i个渠道正在工作的总座席数量为Δi(t)，则在该时段座席总成本N(t) 为

式中：ηi为第i个渠道的单位座席成本。

接下来讨论模型的队列等待成本。已知顾客从m个不同的渠道进入到联络中心排队等待时形成的队列长度qi(t) 为

式中：li(t −1) 为第i个渠道在t −1 时刻正在队列中而没有接受到服务的顾客数量；ρi(t) 表示在t时刻新进入第i个渠道队列的顾客数量；ωi(t) 表示在t时刻第i个渠道从队列转移到服务台进行服务的顾客数量，则顾客的队列等待成本M(t) 为

式中：τi为第i个渠道的单位等待成本。

最后考虑模型的顾客损失成本。假设在第i个渠道、[t −1,t] 时段总共放弃的顾客数量为θi(t)，第i个渠道的单位损失成本为γi，则总损失成本C(t) 为

因此联络中心的总成本为

本文模型的目的是使联络中心的运营成本最小化，因此需要对成本进行极小化约束，即

2.5 约束条件

2.5.1 系统具有有限的承载能力

联络中心总共容纳的顾客数量是有限的。当第i个渠道在t时刻处于系统内的总顾客人数Bi(t) 超过某个限制值ci时，新到达的顾客将无法在第i个渠道进入系统。令λi(t) 表示在t时刻第i个渠道的顾客是否可以进入系统，公式为

式中：Γi(t) 为第i个渠道在[0,t] 时间段内总共到达的顾客数量；为第i个渠道在[0,t] 时间段内总共放弃的顾客数量；oi(t) 为第i个渠道在[0,t] 时间段内服务完成的顾客数量。当λi(t) 为0 时，顾客无法从第i个渠道进入系统；当λi(t) 为1 时，顾客可以从第i个渠道进入系统。

2.5.2 顾客具有一定的耐心程度

顾客并不会无限制地在队列中等待，他们的耐心程度有限。由于每位顾客的耐心程度不一致，所以顾客的耐心值应在一个合理的区间内波动，既不能过高也不能过低。假设第i个渠道顾客的耐心值为yi，顾客的耐心程度服从均匀分布，则顾客耐心值的累积分布函数为

式中：di和ui分别表示第i个渠道顾客耐心值的下限和上限。

令第i个渠道的顾客在t −1 时刻的等待时间为Ti,t−1，当Ti,t−1≥yi时，ki(Ti,t−1) 为1，表明顾客选择放弃；当Ti,t−1

2.5.3 服务台数量可变

服务台数量在一定条件下可以适当增加。在联络中心处于紧急状态或高峰期下，当第i个渠道的队列长度超过一定的系统阈值εi时，联络中心考虑增加服务台的数量。在本文的模型中，可变的服务台数量受队列长度的影响。假设联络中心在[t −1,t] 时间段第i个渠道正常工作的普通座席数量为Si(t)，正在工作的备用座席数量为Ai(t)，δi(t) 为0-1 决策变量，在高峰时间段新增加的顾客数量为φi(t)，则第i个渠道(i= 1,2,··· ,m) 在t时刻新的队列长度ˆqi(t,Ti,t−1) 和在[t −1,t] 时段正在工作的总座席数量Δi(t) 分别为

式中：当ˆqi(t,Ti,t−1)≥εi时，δi(t)为1，表示将开启新的服务台；当ˆqi(t,Ti,t−1)<εi时，δi(t)为0，表示座席数量不变。

2.5.4 系统有休整期与忙碌期

联络中心不能无限制地运行，需要有休整期和忙碌期。当联络中心进入休整期的时候，顾客无法进入系统。设σ(t) 表示服务台是否提供服务，为0-1 变量，即

式中：υj表示第j个周期（υj为正整数），a为峰值时间，h为休整时长。

2.5.5 座席受到疲劳度限制

座席有一定的疲劳度，当联络中心连续工作一段时间后，座席的工作效率会大大降低。设βi(t) 表示座席的工作效率，当联络中心运作超过一定的时长µ时，服务效率会急速下降。本文假设降低为正常效率的1/2，则新的放弃人数(t) 为

式中

式中：oi(t) 表示第i个渠道在[0,t] 时间段内已经服务完的顾客数量。

式中：λi(t),σ(t),δi(t),ki(Ti,t−1) 为决策变量。

3 仿真研究

3.1 仿真软件介绍

ProModel 是由美国ProModel 公司开发的离散事件仿真软件，它可以构造多种生产、物流和服务系统模型，是美国和欧洲使用最广泛的仿真系统之一。它有4 个基本模块，分别为Locations（位置）、Entities（实体）、Arrivals（到达）、Processing and Routing（流程与规则），该软件基于Windows 操作系统，采用图形化用户界面，并向用户提供人性化的操作环境、二维和三维建模及动态仿真环境场景。用户只要根据需求利用键盘或鼠标选择所需的建模元素就可以建立仿真模型。

3.2 参数的取值与含义

本文在数值仿真之前首先将所有参数的含义和取值[15]进行统一的归纳整理以便察看，如表2 所示。

表2 参数的取值与含义Table 2 Values and meanings of parameters

3.3 仿真流程分析

ProModel 软件不同于传统的数学解析仿真软件，它不需要输入大量参数公式进行复杂运算。联络中心排队模型的实现流程如图3 所示。

图3 模型的仿真流程Figure 3 Simulation flow of the model

Process 模块是本文的核心部分，它需要综合考虑整体的路由规则以及每一个流程的约束。本文的约束情况如下：

1) 服务台数量可变，即队列长度超过一定的值时增加服务台的数量；

2) 顾客有一定的耐心程度，即当顾客超过一定的忍耐阈值便选择放弃；

3) 系统运行超过一段时间后需要进入休整期；

4) 座席人员有疲劳度限制，当座席人员工作时间长超过某个范围的时候，人员的运作效率会降低，即服务率会下降。

仿真软件流程和介绍如表3 所示。模型的决策变量σ(t),δi(t),ki(Ti,t−1) 在表3 中是以if条件语句体现的，如步骤1 和步骤6 中的语句中if(clock(min) ≥300) and (clock(min)≤360)then Route 2 else Route 1 表示的就是决策变量σ(t)，即系统每运行300 min 后，休息60 min，在此阶段中顾客无法进入系统，被迫放弃，即决策变量σ(t) 值为0；反之，在其余时间段内σ(t) 值为1。同理，其余两个决策变量δi(t) 和ki(Ti,t−1) 分别是对服务台数量变化和座席疲劳度的限制，在步骤2 和步骤3 中有所体现。

表3 流程与规则界面Table 3 Process and rule interface

4 数值分析

在环境因素忽略不计且各条件一致的情况下，分别仿真了传统的呼叫中心排队模型a、考虑放弃和服务台数量可变下的呼叫中心排队模型b、考虑多渠道、顾客放弃、座席疲劳度和服务台数量可变下的联络中心排队模型c，运行周期为5 d（天），仿真20 次，仿真结果如表4 和5 所示，其中表4 表示正常服务台数量不变、备用服务台数量可变的仿真结果。表5 表示总服务台数量不变、正常服务台数量可变的仿真结果。由表4 可知，在传统的呼叫中心模型中只有单一的座席渠道，座席的服务效率低且技能单一，系统整体的性能较弱且流失率较高。在服务台数量可变的呼叫中心模型中，可以发现服务台数量的增加有效提高了座席整体的工作效率。在表4 的仿真结果中，顾客放弃率由原来的29.213% 降低至24.225%，但整体的成本略有上升，表明单一的座席渠道限制了顾客的可选择余地。在基于多渠道变服务台并且考虑座席疲劳度和顾客放弃的联络中心模型中，顾客的放弃率处于比较稳定的状态，且座席的服务率高，空闲时间短。多渠道的策略使顾客的选择方式更多，并且考虑到了座席疲劳度这一因素，更贴近于现实情况，因此整体的运作效率处于比较好的状态。由表5 可以发现，在总服务台台数固定的情况下，系统总体的服务效率随着备用服务台的增多而上升，说明正常服务台的服务效率没有备用服务台高。从仿真结果来看，模型c明显优于模型a和模型b。

表4 仿真结果1Table 4 Simulation result 1

表5 仿真结果2Table 5 Simulation result 2

在备用服务台数量为2 的情况下，顾客放弃率与联络中心运行时间的关系如图4 所示。可以看出，在传统的呼叫中心中，顾客的放弃率达到了29.213%。若只有单一的渠道，那么顾客在队列中等待时间过长时有可能会选择放弃。考虑了服务台可变这一因素后，顾客的放弃率略有下降，降低至18.267%，但总成本上升了。虽然总体的运作效率有所改善，但没有考虑现实情况中的种种因素。在最终考虑放弃的多渠道变服务台疲劳度限制下的联络中心中，以两个渠道为例，考虑了座席的疲劳程度以及座席人员工作效率的变化，符合实际情况，最终的放弃率为13.008%。

图4 3 种模型下的顾客放弃人数与时间的变化对比表Figure 4 Comparison of the number and time of customer abandonment under three models

图5 为不同队列阈值情况下备用座席数量与顾客放弃率之间的关系。由图5 可知：当队列阈值ε1=10 时，顾客的放弃率相对较高；当ε1=9 或8 时，总体的放弃率相对较少，处于比较稳定的状态，且两者的曲线渐近重合。但如果队列阈值设置过低，可能会导致备用座席的成本和疲劳度的上升；如果队列阈值设置过高，会导致顾客放弃率的上升。因此，当队列阈值在适中状态的时候，整体的运作效率较高。当ε1= 9 且备用座席数量为3 时，整体的运作效率处于稳定状态，顾客放弃率为8.020%。

图5 不同队列阈值下备用座席数量与顾客放弃率之间的关系Figure 5 Relationship between number of reserve seats and abandonment rate of customer under different queue thresholds

当备用座席数量为3 时，3 种模型的总成本与时间t的变化关系如图6 所示。由图6 可知，在传统的呼叫中心模型中，因为服务台数量固定且没有备用座席，所以随着时间的变化曲线的波动也逐渐变大。顾客放弃人数的不断上升导致系统的损失成本增高以至于总成本一直居高不下，最终达到了33 212 元。增加了服务台可变这一约束后发现，总成本的变化趋势相对于前者来说变缓，最终成本为33 423 元，但仍然没有达到最优，这是因为该模型考虑的因素单一，仅仅是增加了服务台数量可变这一约束所致。在最终考虑放弃的多渠道变服务台和疲劳度限制下的联络中心模型中，总成本达到了最优，为31 771 元，整体的运作处于较好的状态。

图6 3 种模型的总成本与运行时间变化图Figure 6 Total cost and running time change of three models

从上述的仿真结果中可以发现，在传统的呼叫中心，各项性能指标较差，顾客放弃率达到了29.213%，成本为33 212 元；而考虑服务台、顾客耐烦性以及疲劳度等种种因素后，不仅顾客的放弃率降低至13.008%，成本也得到了控制，座席的工作压力也明显减轻。3 种模型是在同一条件下进行分类讨论，仅仅是约束条件的变化，而导致整体的运作效率各不相同。在传统的呼叫中心中，座席技能和渠道单一，致使整体服务率的下降，虽然人员成本较少，但顾客的损失成本会大幅度上升，总成本一直处于上升状态。考虑到服务台可变这一约束后，整体的效率明显上升，而备用服务台并不是全天开启，只有当队列长度超过设定的队列阈值时才开启。因此座席成本虽然略有上升，但是损失成本下降程度明显高于座席成本上升程度，总成本也在不断下降。进一步增加了多渠道、疲劳度等限制下的联络中心模型后，整体的变化更加显著，不仅总的放弃率最低并且成本也达到了最优，整体的性能指标优于前两者，服务水平和运作效率均达到了最优。

5 结 语

在当前全球新冠状疫情还没有得到彻底控制的条件下，企事业单位联络中心的运营显得尤为重要，而联络中心的运营成本和服务质量受到当前绝大多数企业的关注。很多企业管理者为了追求过高的经济利润迫使座席人员加班工作，使得座席人员长期处于高负荷、低效率的状态。本文考虑了客户放弃、系统容量、座席疲劳度等问题，建立了服务台数量可变、多渠道服务和总运营成本最低的联络中心排队模型，仿真实验比较了该模型和传统模型在各项性能指标上的差异。该研究为后续研究和企业管理者作决策提供一定的依据。