解决倍比问题 经历分数产生

朱红利 邵汉民

摘要：“倍”是小学阶段重要的概念，又是比较抽象的概念。倍是通过两个量的比较而产生的，它的本质是用分数表示两个数量倍比的结果。本课试图打破传统教学惯性，以分数是怎样产生的为路径，大胆而科学地对教材进行重新组织，让学生经历分数的产生过程;并与第一课时进行比较，感知分数产生的异同，从而拓展和加深对分数意义的理解

关键词：分数的意义;倍比;分数的产生

中图分类号：G4 文献标识码：A

人教版“分数的意义和性质”教学线索是“分物”→“平均分除法→”“除法比较”这样的顺序安排的。但回溯分数产生的历史背景，它的产生可以分成三方面，分别是“分物”“测量”“除法比较”。从分数产生与形成的过程来看，教材这样的教学设计虽然也关注到了分数产生的背景，但没有充分地加以展示。

基于此，本课例试图从单元整体设计的角度出发，以分数产生和形成的三种路径组织教学，本节课教学顺序调整为第二课时，是在学生掌握了分数的产生之一--“分物”中产生分数为前提进行的实践研究。因此，分数的意义2--解决倍比问题，并不仅仅是让学生掌握解题方法，更重要的是让学生经历分数产生的过程，感受到分数产生的必要性，体会分数意义建构的多元性。

一、创设情境，探讨问题并归类

（一）阅读信息，提出数学问题

新课标指出：“数学学习，要紧密联系学生的生活环境，从学生的经验和已有知识出发，创设有助于学生自主学习、合作交流的情景。”教材例3提供的教学情境已充分满足学情，于是我们在单元整体设计的前提下，又对它进行了增删--删去2个问题：“鹅的只数是鸭的几分之几？”、“鸡的只数是鸭的几倍？”同时增加一个问题导向：“根据以上信息，请你选择其中2个条件来提出相应的数学问题”。

于是，在短暂的讨论后进行分组落实，要求每个学生把提出的问题写到作

业纸上，并尝试着写出答案。如第一组解决鸡和鸭的问题;第二组解决鸡和鹅的问题;第三组解决鸭和鹅的问题;还有一组自由选择提问。

（二）比较类别，体会问题差异

学生在充分的思考后，每组提出了各自的问题，整理如下：

1、鸡和鸭（或鸡和鹅、鸭和鹅）一共有多少只？

2、鸡比鸭（或鸡比鹅、鸭比鹅）多几只？

3、鸡是鸭（或鸡是鹅、鸭是鹅）的几倍？或者鸭是鸡的几分之几？

集体交流反馈阶段，有组员提出某一类问题时，教师要及时引导其他组员反馈同类型的问题，这样学生很容易找到各自问题的归属，体会到问题的差异。

运用所学，解决旧有问题

教师根据课堂讨论的结果，每类问题选择一个进行板书，并询问解决此类问

题的方法和答案。很明显，学生很快能解决第一类和第二类问题，分别是求和（用加法）如：10+20=30（只）;求差（用减法）如：20-10=10（只）。特别是第二类求两个数的差，同一个算式同一个得数可以解决两个不同表达方式的问题，如鸡比鸭多10只，反过来可以说鸭比鸡少10只。这与第三类问题两种表达方式的对比，鸡是鸭的几倍？反过来可以说鸭是鸡的几倍一样吗？这里为下面解决倍比问题理解单位“一”的不同埋下伏笔。

二、几何直观，解决问题并归纳

（一）自主尝试，经历探究过程

经过第一阶段的问题归类，学生初步感知到了第三类问题的表述方式：“一个数是另一个数的几分之几（几倍）”，它与求和、求差是不同类型的问题，确定它就是本节课的研究重点，从而进入新课的探究过程。

选定范例，探求结果。

“鸡是鸭的（ ）倍？”，这个问题，学生在三年级学过用除法求倍数，所以以它作为教学的切入口，确定范例。大部分学生都能说清楚，比如：鸡和鸭比，把鸭作为标准量，也就是20是10的2倍。20÷10=2

反向推导，探究方法。

有了2倍的基础，老师顺势提问，“鸡是鸭的（2 ）倍，”反过来可以怎么说？学生很快就能说出鸭是鸡的二分之一，很自然地能感受到二分之一也可以表示两个数量比较的结果，接着结合图示解释二分之一的意义;最后小结计算的方法：10÷20=或（）。让学生结合图示说明两个分数的异同，这无意中渗透了分数的基本性质，又让学生明确了比表达更简洁方便的优势。

对比减法，确定单位。

减法可以用同一个结果同一个算式表示2个不同表述的问题，那“鸡是鸭的2倍”，可以说成“鸭是鸡的2倍”吗？为什么不可以？引导学生结合图示找准单位一，明确因为单位一的不同，所以两者正反用除法比较结果是不同的。

“鸡是鸭的（ ）倍？”，鸭的只数是单位一，鸡和它比，也就是20是10的2倍。 “鸭是鸡的（ ）”，鸡的只数是单位一，鸭和鸡比，只有鸡的一半，也就是10是20的。

（二）依据图示，表达分数转化

小学高年级学生的思维特点是他们的抽象思维在很大程度上还需要直观形象思维的支撑，所以在具体教学中要帮助学生化抽象为直观，在探究环节反馈交流时，就是让学生自主选择并运用直观的图示，通过圈一圈，划一划等的方法来说明分数的具體含义，这对于顺利开展教学是十分必要的。

下面是“鸭的只数是鹅的（  ）”这一环节的课堂实录：

师：“鸭的只数是鹅的（  ）？”，请你结合图示进行解释。

生：鸭有10只，鹅7只，把鹅当作单位一，平均分成7份，鸭有这样的10份，也就是10÷7=

师：这个得数有不一样的表示吗？

生：有，还可以用来表示。鸭有10只，鹅7只，把鹅看作单位一，平均分成7份，鸭有同样多的一个单位（同样多的部分用了虚线上下对应），还比鹅多了3份，也就是多了，所以10÷7=。

（三）整体感知，提炼内在联系

师：回顾今天所研究的内容，你有什么发现？

引导学生观察板书的4个问题和算式，进一步发现了倍比问题两个量（划横线的是单位一的量）的内在联系，并抽象得到了概括性的表达方式：

一个数a是另一个数b的（ ）？   →    a÷b=（b≠0）

学生经历了分数这样的产生过程，知道了分数不仅可以用来表示两个量倍比的关系，还知道了求一个数是另一个数的几分之几或者几倍本质上是一样的，都可以用除法来计算，用分数来表示倍比的结果。

三、设计题组，感知相同与差异

（一）比较分析，体会相同之处

分数的意义第一课时，学生经历了分数产生的过程之一，通过“分物”得到分数;第二课时学生又经历了分数产生的另一个过程，通过两个数的倍比来得到。为了让学生对两者有更深入的了解，教师在练习环节设计了一个题组，让学生来进行对比发现。

题组：六一节501班有5个男生，6个女生表演节目;张老师买了5米的红绸带分给表演的女生。①平均每个女生分到几米红绸带？②男生人数是女生的几分之几？

经过独立计算，大部分学生得到了两个这样的算式：

①5÷6=（米）  ②5÷6=

教师进一步引导学生：请你再对比下这两道题目，发现它们有什么相同点：

生：都可以用除法计算，而且这两个问题的得数都与分数有关。

（二）深入研究，发现不同之处

教师继续抛砖引玉：请你再深入思考，发现它们有什么不同？

經过小组讨论，交流汇报，总结了3处不同：

组1：第一个算式的得数是带数量单位的，表示具体长度。第二个得数没有单位，表示一种关系。

组2：两个分数的意义不同：第一个分数表示把5米的红绸带平均分成6份，每人分到米;第二个分数表示男生人数是女生的六分之五。

组3：这两个分数的产生不同：第一个米是分物得到的;第二个是两个量的比较（教师强调补充：倍比）得到的。

这个环节教师放手让学生观察、比较、分析，进一步强化了分数产生的两种方式，巩固了在不同情境下分数可以表示不同的意义，为后续更加全面地认识分数和应用分数打下扎实的基础。

（三）自主创编，形成分数结构

在练习环节，要求学生根据下面的算式创编两道不同类型的应用题：5÷3=。学生对分数的产生和意义有了足够的感知，已经能用除法解决不同情景的分数应用题。但是否还有部分学生对分数的两种来历还模糊，于是设计了反向创编，以检验学生是否真的掌握。

这样的单元整体设计，既是对分数认识的拓展——从以前表示部分与整体的关系，拓展到表示两个不同数量之间的关系，又为六年级学习分数应用题的打下基础，意义重大。

参考文献

[1 ] 教师教学用书五年级下册，人民教育出版社，2017年

[2 ] 戴曙光，«数学，究竟怎么教»：华东师范大学出版社，2017年