一道中考压轴题的讲题教学实践与思考*

广东省清远市阳山县韩愈中学(513100) 刘鹏国

1 题目呈现及解法分析

1.1 题目呈现

这道题目是2013年湖北武汉中考题的第24 题,原题为:已知四边形ABCD中,E、F分别是AB、AD边上的点,DE与CF交于点G.

(1)如图1,若四边形ABCD是矩形,且DE⊥CF,求证:

图1

(2)如图2,若四边形ABCD是平行四边形,试探究:当∠B与∠EGC满足什么关系时,成立? 并证明你的结论.

图2

(3) 如图3,若BA=BC= 6,DA=DC= 8,∠BAD=90°,DE ⊥CF,请直接写出的值.

图3

1.2 解题分析

(1)题目分析

此题主要考察相似三角形与几何问题、代数问题的综合运用.这道题目共有三问,第一问是以矩形为背景求证本质上是证明三角形的相似.第二问是把原来的矩形模型变成了平行四边形模型,探究当∠B与∠EGC满足什么关系时,成立? 间接考察四边形的内角和定理.第三问是把第二问的平行四边形模型变成了筝形模型,给出筝形的四条边的长度以及一些辅助条件,求第一第二问中比例式的左边的比值.三问之间相互联系,以成比例线段为桥梁,以证明三角形相似为主线,并分别以矩形、平行四边形、筝形为背景环环相扣、层层推进,考察学生对相似三角形的证明以及求解线段长的多种方法和技巧,培养学生的逻辑推理能力、观察能力、猜想能力.

(2)解法分析

第一问,直接证明三角形相似就可以得出结论,难度不大,学生的得分率较高.具体做法:把求证结论比例式中的四条线段DE,AD,CF,CD分别放在ΔADE和ΔDCF两个三角形中,再利用同角的余角相等,得出∠DFG= ∠DEA,进而根据有两对角对应相等的两个三角形相似,证明出ΔADE∽ΔDCF,最终证明出结论

第二问,观察图形大胆猜想和作辅助线是关键.在解决这类问题时,可以引导学生假设比例式成立,然后以此为突破口,反过来探究∠B与∠EGC之间的关系,这样容易打开思路.具体做法:在AD的延长线上取点M,使CM=CF,如图4,证明ΔADE∽ΔDCM,此时因为CM=CF,所以比例关系成立的前提是ΔADE∽ΔDCM,∠M= ∠AED,又因为∠M= ∠MFC= ∠FCB,因此在四边形BEGC中∠BEG+∠BCG=180°,结合四边形的内角和定理,所以当∠B与∠EGC互补时,结论成立.

图4

第三问是把第二问的平行四边形模型变成了筝形,具体做法:如图5,过点C作CN⊥AD,证明ΔAED∽ΔNFC.

图5

通过证明ΔAED∽ΔNFC,所以已知AD= 8,关键就是求出CN的值,在ΔACD中再利用等积法求出CN的值,问题就解决了.

2 讲法探究

2.1 讲解题的通性通法,让学生做到遇题不慌

教师在讲题时应注重培养学生解决问题的常规思维.而不是只是教会学生一些快捷、简便的方法和思路,并且并不是所有的题目都有特殊的解法,因此,在讲评压轴题时应该先对题目的通性通法进行重点讲解,然后再根据题目本身的特殊性挖掘一些特殊的解法和技巧,先让大多数学生能够掌握解决此类题目的一般做法.

对于本题的第一问,求证的结论是线段成比例的问题,笔者这样引导学生:要证明两组线段成比例,通过观察可以发现,这是两组分别位于两个不同的三角形中的对应线段,若能证明这两个三角形相似即可得证,这是完成此类问题的常规思路.在这道题目中,我们很容易发现,要证明的四条成比例的线段DE,AD,CF,CD分别在ΔADE和ΔDCF两个三角形中,显然,这两个三角形中已经都有一对直角相等,我们只需要结合证明三角形相似的方法以及联系题目的其他已知条件引导学生再找出另一对角相等即可.题目中提到DE⊥CF,即线段ED和FC相交所成的四个角都是直角,结合同角的余角相等可以得出∠GFD= ∠AED,即可根据“有两对角相等的两个三角形相似”得出ΔADE和ΔDCF相似,进而得出对应边成比例第一问就顺利完成了.讲解这道题目时应重点讲清楚两点:一是引导学生思考成比例线段如何证明;二是如何准确快速的找出相似的三角形.第一点很多老师都会讲到,对于第二点,笔者注重教学生在比例线段中找相似三角形的“诀窍”,即:横着找,找不到;再竖着找,若还找不到;就换线段再找,若换了线段还是找不到就换比例再找相似三角形.

讲清楚解决问题的一般方法,能让学生在平时做题时做到心中有方法,遇题不紧张.对于解决问题的普遍方法的讲授,首先要求教师不能就题论题的讲解;其次,老师要对知识或者方法本身进行适当的扩展,像上面的这道题,教师可以对证明成比例线段的多种情况进行拓展;最后,教师还要精选例题让学生把已经掌握的方法和技巧再熟练运用一次,最终实现方法和技巧的内化.

2.2 讲模型的内在联系,提高学生的分析能力

数学讲题的重要目标之一是提高学生对题目的分析能力.在数学教学中,让学生积累丰富的知识经验,积累更多的数学模型,能为学生的想象搭建平台,提高他们分析问题的能力.因此,讲题时要注意帮助学生分析题目中出现的模型,并讲清模型间的内在联系.

第一问是以矩形为背景,结合同角的余角相等考察三角形的相似.第二问是把原来的矩形ABCD模型改为平行四边形模型.第三问是把第二问的平行四边形模型变成了筝形,三问之间模型的内在联系的分析很关键.

第二问,可以先让学生想象,假设后面的四条线段成比例,引导学生找到对应的相似三角形,然后在线段成比例的前提下再探究∠B与∠EGC的关系,这样思路更容易打开.

这样就顺理成章的把探究的重点放在了构建三角形并证明相似的问题上.按照第一问的经验找三角形证明相似的思路,三角形可以找到,很显然钝角ΔADE与锐角ΔDCF不可能相似,此时学生可能会陷入迷茫,然而如何使学生从迷茫中跳出来,通过换线段构造三角形相似就是解题的金钥匙,到底换哪条线段,如何换? 思绪又回到前面为何ΔADE与ΔDCF不可能相似,其关键是一个是钝角三角形和一个是锐角三角形有一对对应角不可能相等,因此这两个三角形不可能相似,由题目知第二问的模型已经变成了平行四边形,挖掘平行四边形模型的性质得出∠A与∠FDC互补,和ΔADE相似的三角形对应内角必须相等根据平行四边形的性质结合两直线平行同位角相等,这时就为后面的做辅助线构造ΔCDM做好铺垫,如在此时再结合题目第一问的启示,线段DE,AD放到ΔADE中,那么线段CF和线段CD只需再放到一个和ΔADE相似的三角形中,无疑要通过做辅助线构造三角形(如图6),其构造的关键就是要找到与∠A相等的角,思路由此打开.

图6

在第三问中把题目的模型又变成了筝形(如图7) .我们知道筝形是轴对称图形它具备很多的重要性质,例如对角线互相垂直,还有对角线BD把四边形ABCD分割成两个全等的三角形,BD垂直平分AC等等,题目中已知∠BAD= 90°这个筝形就更加特殊,连接BD,AC后得到RTΔABD,在这个直角三角形中隐藏了很多信息,比如有三对相似三角形,射影定理,利用等面积法求BD边上的高等等知识.如果教师在讲解完这道题目后,能够把这个题目中包含的数学模型进行一一分解剖析,那么我们的学生或许会对这道题目理解更为深刻.

图7

复杂问题是由基本问题构成的,解题中遇到“卡壳”,很多时候是由于学生对于基本的数学模型认识不够而导致的.只有真正理解基本的数学模型,才能在具体的解题过程中,从复杂的问题中分解、发现、构造数学模型.进而在数学模型中挖掘其中的隐藏条件,实现解决问题.重视数学模型的归纳与分析,既尊重了学生的认知规律,又体现了对学生学习过程的关注,还能很好地提高学生的问题分析能力.

2.3 讲问题的设计意图,提升学生的反思能力

大多数综合压轴题都含有多个小问,并且这些问题所考察的知识点之间有着密切的联系,在讲解完题目的具体做法后,还应该对题目进行解题后的反思,引导学生思考问题的设计意图,挖掘题目内在的思想方法,可以使学生窥探出命题者的出题意图,进一步提升反思能力.在讲完本题后,笔者提出了以下三个问题,引导学生从“问题的设计意图”这个角度进行解题反思:命题者的考察意图是什么? 考察了什么知识? 用到了哪些解题思想方法?

作为一道中考压轴题,出题者本身的考察意图很明显.但是学生不一定可以看得出,这时老师只有站的高,才能看得远,教师应该站在初中数学的知识体系中看问题,引导学生探究出题者的设计意图.纵观整个初中阶段针对几何图形大小的两大关系——全等和相似,全等关系较为简单,而相似关系更为灵活也较为复杂,更能考察出学生观察图形和分析问题的能力,往往受出题人的偏爱.本题的考察意图是在矩形、平行四边形、筝形背景下,借助作辅助线构造相似三角形,主要考察学生能否熟练掌握相似三角形的判定与性质.涉及到全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质以及平行线的性质、四边形的内角和定理、勾股定理、射影定理等知识.解题思想方面,本题通过利用转化思想,执果索因思想,化归思想等解题思想方法,培养学生综合运用性质和定理进行推理的能力.

明晰了出题者的考察意图以及考察的知识、反思解决问题的思想方法,最终使学生做到知一题而会一类,进而发现命题规律.譬如这类题目,通常都会有三问,三问之间解法有相似之处.该题三问之间虽然是并列式的设计,但实质上是递进式的求解.第一问和第二问都含有比例式,因此在做完第一问时,可以尝试用解决第一问的方法去求解第二问,第三问要求出的值,我们可以发现这两条线段的比恰好是第1、2 问中比例式的等号左边,既然有这样的联系,那么第1、2 问中都用到了相似三角形,那么第三问可能也会用到相似三角形.顺着这个思路往下想,那么我们就要构造相似三角形,然后把DE、CF的比转化为两条可求长度的线段的比.

像这样,通过在解题反思环节讲解问题的设计意图,引领学生追溯数学问题的本质,思考出题人的命题意图,能让学生体会解题带来的乐趣,享受探究带来的成就感,可以逐步培养学生独立思考、积极探究的习惯,并懂得如何去学数学.

通过一道题目的讲解我们所要达到的目的并非止于让学生听懂或者会做这道题目,而在于学生通过做这道题目后能够获取更多解决问题的想法和思路.