践行数学过程性教学,提升数学学科核心素养*——“两个变量的线性相关”教学实践与体会

广东省广州市黄埔区开元学校(510000) 洪艺瑜

1 引言

《普通高中数学课程标准2017 版》明确指出:数学学科核心素养是具有数学基本特征的思想品质、关键能力以及情感、态度与价值的综合体现,是在数学学习与应用中逐步形成和发展的.“在数学学习与应用中逐步形成和发展”强调的是数学学科核心素养的培养途径和数学的过程性.数学过程性教学需要教师在课堂上创设具有创新意义且适合学生身心发展的系列化数学活动,引导学生经历从实际问题中抽象出数学模型,运用逻辑推理和应用数学模型解决实际问题的过程,启发学生用数学的方式进行学习活动,学会“数学化”地思考问题,提高数学修养,用数学的眼光看世界.可见,数学过程性教学是数学学科核心素养生长的土壤.数学学科核心素养的提升,需要在长期的数学课堂中落实过程性教学.如何践行数学过程性教学,以提升数学学科核心素养呢? 笔者以人教版《数学》(必修3)第2 章第3 节“两个变量的线性相关”一课的教学实践为例,谈一些反思.

2 课堂实录

2.1 创设情境,引入课题

小阅读:“回归”这个词是由英国著名的统计学家Francils Galton 提出.1889年,他在研究祖先与后代身高之间的关系时发现,身材较高的父母,他们的孩子也较高,但这些孩子的平均身高并没有他们父母的平均身高高;身材较矮的父母,他们的孩子也较矮,但这些孩子的平均身高却比他们父母的平均身高高.Galton 把这种后代的身高向中间值靠近的趋势称为“回归现象”.后来人们把由一个变量的变化去推测另一个变量的变化的方法称为回归方法.

引例(2011年广东高考)某数学老师身高176cm,他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173cm、170cm 和182cm.因儿子的身高与父亲的身高有关,该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为____cm.

教师:如何解决这个问题? 通过今天的课题——“两个变量的线性相关”的学习,理解什么叫做线性回归分析,相信同学们很快找到解决方法.

设计意图:通过教材中的旁注小阅读和一道高考题创设情境,提出问题,激起学生的学习兴趣和好奇心,使学生能迅速地进入课堂学习状态.

2.2 动手操作,探究新知

探究:在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究中,研究人员得到一组样本数据:

教师:(问题1)根据上述数据,人体脂肪含量与年龄之间有怎样的关系?

学生1:从表中大体看出,随着年龄的增加,人体脂肪的百分比也在增加.

教师:(问题2)这两个变量之间是函数关系吗?

学生2:不是函数关系.如50 岁时,脂肪含量不一定是28.2.因为对于某个人来说,他体内脂肪含量不一定随着年龄增长而增长.这些数据只是对这个年龄人群抽样的数据,具有随机性.

教师:(问题3)有什么办法可以帮助我们直观地看出年龄和脂肪含量的关系呢?

学生3:画散点图.观察年龄和脂肪含量的变化趋势.

教师:同学们的想法很好.在直角坐标系中画图,观察样本点的分布情况,可以帮助我们发现该用什么数学模型来刻画这两个变量之间的关系.请同学们分小组合作,利用表中的样本点画出相应的散点图.

师生活动:教师先引导学生明确散点图的作法,利用表中样本点的数据作出相应的散点图,观察散点的分布,回答问题.

教师:(问题4)根据散点图,我们可以发现年龄和脂肪含量具有怎样的相关关系呢?

学生4:正相关关系,因为散点散布在左下方到右上方的区域.

教师:还有哪些特点呢?

学生5:这些散点还大致分布在一条从左下角到右上角的直线附近.

构建新知:回归直线.

设计意图:通过一个个的问题,引导学生对前面的知识进行系统的回顾,引起学生的思考,主动构建新知,同时也是为下面探究线性回归模型做铺垫.

2.3 合作交流,构建模型

教师:(问题5)用哪条直线来刻画年龄与脂肪含量之间的关系比较适合呢?

设计意图:通过问题设疑,激发学生的探究热情,引发学生从直观感受到精确描述的需要,由感性认识上升到理性认识,提升学生的数学建模素养.

2.3.1 探究活动:如何找出回归直线

活动:请同学们动手画一下,画出回归直线.

图1

学生小组讨论后,有以下方案:

方案一:尽可能多的点落在直线上.(怎样才算尽可能多? 操作性不强! )

方案二:使直线上下方的点一样多.(费时费力且精确度差)

方案三:画多条直线,算斜率与截距的平均值.(耗时费力)

方案四:各点到这条直线的距离和最小.

教师:(问题6)同学们认为哪种方案画的回归直线恰当?如何评价这些直线的“优劣”? 理由是什么?

师生活动:给足够的时间让学生们进行讨论、交流,各小组互相辩论、质疑.最后学生们一致认为第四种方案好,因为所有的点离这条直线最近.

设计意图:通过递进式的问题链,引导通过学生自己操作、观察、讨论、质疑、猜想,经历由感性认识上升到理性认识,提高学生的建模能力.

教师:(问题7)“从整体看,各点与此直线的距离最小.”以此标准定量出来的直线只有一条,即最优的回归直线.如何用数学语言来描述“从整体上看,各点与此直线的距离最小”呢?

学生6:计算各个样本点到直线的距离之和最小就可以啦.

教师:很好,同学们想到点子上了! 可目前直线没有确定,怎么办?

经学生思考讨论归纳出:先设出回归直线方程,再用点到直线的距离表示出各点到直线的距离.

设计意图:引导学生通过自己的分析,将几何问题代数化,为下一步探究作好准备,经历“几何直观”转化为“代数表达”的过程,提升学生的逻辑推理、数学建模、用数学语言表达世界的素养.

2.3.2 利用最小二乘法推导回归系数公式

推导:两个具有线性相关关系的变量的一组数据:(x1,y1),(x2,y2),··· ,(xn,yn).当自变量x取xi(i=1,2,··· ,n)时,可以得到=bxi+a,点(xi,yi)到直线的距离:di=

图2

教师:(问题8)这个式子既有绝对值又有根号,不方便计算.而我们的目的是由(xi,yi)算出a,b的取值.有没别的方法也能体现“从整体上看,各点与此直线的距离和最小”? 如图,点A到直线的距离AC,可否用AB近似替换?

学生7:可以.回归直线一旦确定,∠ABC为定值,di=AB·sin ∠ABC,所以di可用替换.

替代上式.

问题:当b,a取什么值时,关于b,a的二元二次函数Q取到最小值? 有兴趣的同学课后自己查阅相关资料.当b,a的值由下面公式给出时,Q最小.

使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小的方法叫“最小二乘法”.

设计意图:学生分析、讨论如何刻画样本点与回归直线的接近程度,从而经历数据分析、数学建模和逻辑推理的重要过程,提升数学核心素养.同时也注意了课堂上的适当留白,激发学生课后深入探索的热情,给学生探究拓展的空间.

2.3.3 回归直线的应用意义

教师:37 岁的人,体内脂肪含量一定是20.8825%吗?

学生:不.只能说明他体内的脂肪含量在20.90%附近的可能性比较大.

教师:回归方程求出后,变量间的相关关系并没有转变为确定关系,我们只是用函数关系来表示不确定的相关关系.

问题:借助EXCEL 计算,利用回归方程算出的脂肪含量与表1 收集的数据不同,为什么?

表1 年龄和人体脂肪百分比

学生:根据回归直线得出的结果只是一个估计值.

教师:其实表中的数据是抽样出来的,具有随机性,由这些数据确定的也就具有随机性了,所以根据年龄预测的人体脂肪含量只是一个估计值.其实,假若换一种抽取样本的方法,也会得到不同的样本数据,得到的回归方程也可能不同.为了区别确定值,我们都给它们“盖帽”,记为为什么x不记为ˆx?

学生:x是确定值,真实值.

设计意图:帮助学生深入理解线性回归方程的真正意义与作用,明确只是的一个估计值.让学生在学习数学中应用数学,感受数学在生活中的应用,提高学生的数学素养,学会用数学的眼光看世界,用数学的语言表达世界.通过利用EXCEL,鼓励学生使用计算机工具,提高学生分析数据的能力和课堂效率.

2.4 应用公式,深化理解

例某数学老师身高176 cm,他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173 cm、170 cm 和182 cm.因儿子的身高与父亲的身高有关,该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为多少?

解析:依题意,父亲与儿子的对应数据可列表如下:

父亲的身高(x) 173 170 176儿子的身高(y) 170 176 182

设计意图:在教学中以具体问题为载体,提高学生对数据分析的能力,分析数据的相关关系,运用回归模型进行预测,经历数学建模过程,体验数学在实际生活中的应用价值.

2.5 课堂小结,反馈同化

问题:请同学们回顾一下我们怎样求出回归直线方程?事件、样本数据与回归直线三者之间有怎样的关系?

设计意图:培养学生反思的习惯,进一步理清线性回归模型的含义,学会用数学语言表达世界.

3 几点体会

数学核心素养是数学课程目标的集中体现,是学生在数学学习的过程中逐步形成的.课堂教学是数学学习的主渠道,过程性教学是数学核心素养提升的有效途径.

3.1 践行数学过程性教学,需培养学生的主体意识

在过程性教学中,教师作为整个教学活动的设计者、组织者和引导者,设计和提供丰富的数学学习环境,通过恰当的问题,引导学生主动思维,独立思考,引导学生亲身经历、体验、探索知识的发现、发展和应用过程,培养学生的主体意识,获得解决问题的方法、形成分析问题、解决问题的能力而达成数学素养的提升.如在本课例组织学生小组合作,发挥学生主观能动性,自主探究寻找回归直线,在找出回归直线后,小组间相互辩论,质疑,表达自己的意见,完善结论.通过这样的教学活动,培养学生的主动思考,用数学语言表达数学问题的能力,培养学生利用归纳、分析、猜测、推理、总结等方法以培养学生的数学核心素养.

3.2 践行数学过程性教学,重视数学问题的设计

在数学课堂的过程性教学中,数学问题是引导学生进行探索活动和引发学生思考的导向,通过问题,激发学生的探索热情,学生主动探究,发现数学规律,认识和理解数学的内在本质,从而在数学活动中构建数学知识.比如本节课,通过设计的问题,引导学生观察散点图,从直观上判断两个变量之间的相关关系,提升了学生的直观想象素养;再通过问题“用哪条直线来刻画年龄与脂肪含量之间的关系比较适合呢? ”引导学生寻找回归直线,经历由“形”向数的精确描述过程,体验由不确定性到确定性的过程,由感性认识上升到理性认识,培养了学生的理性思维,提升了学生的直观想象、逻辑推理和数学运算的数学核心素养.

数学问题是数学课堂活动的载体,在设计数学问题时,要预设,避免发问无效的问题.因此,要充分注重问题的层次性、创新性、探究性.设置情境问题可以从生活、生产等社会热点中创设,这是创新性,或利用数学史、数学文化创设问题,渗透数学文化,提升学生数学文化素养的同时,让学生体会数学家在解决数学问题时遇到的困难,理解数学问题解决的需要,有利于发展学生的数学抽象素养.对于知识构建环节的数学问题的设计要遵循学生的认知水平,在学生思维的最近发展区,问题要精炼准确,确保每个学生都能参与问题思考.数学问题要有层次性和辨析性,扣紧课堂核心内容,能够使学生联系自身已有的知识去探索,能从模仿过渡到自主提问,构建新知识的能力提升.

3.3 践行数学过程性教学,需充分利用现代化技术

过程性教学的课堂,需要花更多的精力和时间在探索性和创造性的数学思维活动中,可以利用计算机解决繁杂的运算或思维含量低的作图过程.比如本课,若在有信息技术条件的学校,可以利用让学生计算机运算和作图,提高课堂效率,留更多时间给学生独立思考,自主探究,合作交流.借助信息技术,可以将抽象知识形象化,静态内容动态化,构建出更加高效生动的数学课堂.

若长期践行数学过程性教学,引导学生理解数学知识的来龙去脉,逐渐形成数学的思维方式,数学学科核心素养便水到渠成地落实了.