“解惑”与“存疑”:聚焦核心素养的设计*——以苏科版七年级第五章“展开与折叠”为例

江苏省无锡市侨谊实验中学(214021) 成宏乔

江苏省无锡市西漳中学(214171) 钟 鸣

“师者,所以传道授业解惑也”,教师的职能定位自古以来就是传播真理、教授学业、解答疑惑.传道受业解惑的主阵地在课堂,课堂教学既要面向全体学生及时解决学生疑惑,也要关注个别差异延迟解决学生疑惑.不论是及时“解惑”还是延迟“存疑”,都要聚焦发展学生的核心素养设计教学活动,促进学生主动思考,养成自主学习的意识,提升学生的综合能力,让立德树人的根本任务通过课堂教学落底生根.笔者以苏教版七年级上册“展开与折叠”一课的教学为例进行阐述.

1 聚焦核心素养的案例背景分析

本章内容是学生进入初中后第一次学习几何知识,是“图形与几何”的基础部分.围绕认识基本几何体以及点线面和简单平面图形,在图形运动变化、展开与折叠等数学活动中,经历观察、操作、想象、思考等学习几何的“一般套路”,从实物操作到空间想象,从直观到抽象,发展空间观念.

展开与折叠和视图都是空间图形向平面图形转化的基本方式,这节课学生通过展开与折叠的操作,“先想一想、再做一做”或“先做一做、再想一想”,然后过渡到“做中想、想中做”,感受平面图形与立体图形的关系.

展开与折叠背后的思维活动是想象,而初一学生的思维特点还是以具体形象思维为主,想象出立体图形和平面图形的几何元素在展开与折叠的变化过程中方位和相互之间的位置关系,进而综合成相应的转化结果,这个过程对于初一学生而言存在较大困难,学生会有诸多疑问.

这就需要教师聚焦本节课数学核心素养——空间观念的培养,通过设计“动手做”及“用心想”的环节,为学生学习搭建活动平台,帮助学生将抽象的内容、困难的想象转化为具体可见、动手可操作的直观,正确恰当地处理学生的疑问,帮助深刻理解平面图形折叠和立体图形展开之间的互逆与对应关系,积累基本数学活动经验.

2 教学环节中的解惑与存疑

活动1:操作与思考

(1)如果将下列几何体剪开铺平,会是什么样子? 先想一想,再动手做一做.

(2)观察操作的结果,你有什么收获?

(注:立体图形分别是圆柱、圆锥、三棱锥、正方体和球,事先做好发给每个学生)

设计说明:从实际物体中抽象出抽象出几何图形、根据几何图形想象出实际物体、想象物体方位和位置关系、描述图形运动变化、根据语言描述画出几何图形,这五个方面是“空间观念”的具体内涵.活动1 让学生先“想一想”剪开铺平的结果,再“剪一剪”这五种立体图形,最后“说一说”操作结果,使学生完整经历了观察、想象、操作、思考的学习过程,感受立体图形与平面图形的关系,空间观念获得发展.

“学源于思、思源于疑”,(2)是一个开放性问题,学生把几何体按不同的方式展开可能会得到不同的展开图,这是引导学生进行质疑的事实基础;对该问题的发散式追问“还有呢? ”和适当的等待,能够增强学生用于想象的心理能量,激活学生操作与思考中产生的疑问,进而认识到有些几何体不能展开成平面图形,促进对展开图性质的深入思考.

活动2:如图1,下列图形是哪些几何体的表面展开图?

图1

(1)先想一想,再动手操作验证;

(2)结合上面的过程思考:观察平面图形各个面的形状和数量,解释你给出的答案.

说明:通过抽象与想象进行实际物体与几何图形的相互转化是空间观念的基本内涵,通过抽象与想象进行立体图形(实际物体的直观形象)与平面图形的相互转化是这一基本内涵的具体化.展开与折叠就是这一转化的具体操作,这个操作及其伴随的抽象、想象、判断进行得越细致,学生的空间观念发展得就越充分.

学生在活动1 学习的基础上,已经知道立体图形可以展开为平面图形;反之,平面图形通过折叠可以得到立体图形.学生在该活动中,先根据展开与折叠的互逆关系进行想象,然后可以通过动手折叠验证.然后在此基础上,教师引导学生根据平面图形中各个面的形状特征和数量进行逻辑判断.学生在从直观到抽象、从操作到逻辑判断的过程中加深了对几何体的认识,强化了平面图形和立体图形的对应关系.

在这样的递进过程中,学生会有一些疑问的产生,此时教师要延迟解答、适当存疑,启发学生群体的内部力量,让他们在相互补充之中,自己解答疑问,促进学生思维的深度参与.

活动3:如图2,你知道正方体相对的面在展开图中怎么找吗?

图2

(1)请你说出展开图中各个面在正方体中的相对面;

(2)这两种不同的展开图,剪开了几条棱? 你能给予合理的解释吗?

说明:相对于活动2,活动3 聚焦到特殊的几何体——正方体中,在正方体的各种不同的展开图中训练空间想象能力,了解几何体展开方式及展开图的不唯一性.(1)可以通过空间想象及排除法予以解答,辅以动手操作进行验证;(2)引导学生深入思考剪开的棱与总棱数的内在联系,学生需要通过观察和推理进行解释,促进了学生思维的深度参与.学生的空间观念和推理能力两大核心素养相互促进,想象中有推理,推理中有形象,都获得了锻炼.

对于问题(2),学生是有疑问的,剪开几条棱从何处切入进行思考呢? 这是需要教师进行及时指引解惑的.教师可以为学生提供支架式问题,启发学生自主解决疑惑.例如,通过问题串:“观察展开图,一共几个面? ”→“这几个面是怎样连在一起的? ”→“展开的过程中,这些面是怎样分开的? ”→“所有棱、剪开棱、未剪开棱三者有何关系? ”,学生就能够自主、及时解决疑惑.

活动4:小壁虎的难题:如图3,一只无盖的圆桶下方有一只壁虎,上方有一只蚊子,如果壁虎要想尽快吃到蚊子,那么它该怎么走呢,请解决下列问题.

图3

(1)想想看,壁虎可能的走法有哪些?

(2)这些走法中,哪种走法符合要求? 请给出适当的说明.

(3)请你结合本例说说学习“展开与折叠”的作用.

说明:学习“展开与折叠”有什么用呢? 这是不少学生这节课学习开始时或过程中,潜意识中难免存在的疑问.活动4就是要解决这个疑问,让学生感受到学习“展开与折叠”的意义和价值.

活动4 是本节课的知识的实践与运用,题中“尽快”就是需要找到“最短”的路线.在本节课学习的大背景下,学生自然会想到将圆柱展开,化立体图形为平面图形,再依据基本事实“两点之间线段最短”确定最短路径并进行解释.尽管由于本活动未给出数据,对“怎么算”不作要求,但是这种通过“展开与折叠”将立体图形转化为平面图形、将问题转化到平面中进行解决的意识,正是学生“学会用数学的思维思考世界”的关键前提.问题(3)正在于引导学生领悟这种意识,解决潜意识中的疑问.

3 “解惑”与“存疑”的进一步思考

学生核心素养的发展,有赖于深度思维的参与,深度思维的参与就需要教师指导学生进行深度学习.深度学习是指向本质的、是结构化的、是重视体验的,解惑的同时要存疑,为学生的自主探索、深度探索和拓展探索提供机会;存疑之后要解惑,为学生的理解本质、获得结构和丰富认知保驾护航.

3.1 解决学生的知识之惑,为拓展存疑

课堂的大部分时间是用于教学新知识的,聚焦核心素养的设计就要在新知教学的主体部分,突出重点,精心设计教学环节,带领学生打开知识内核,挖掘知识形成过程中所蕴含的思想方法,观察理解知识的本质特征,感受过程中的思维动作,解决疑惑,拓展视野,产生新的疑问,促进思维向纵深、广阔两个方向推进.

如本案例中,最基本的教学目标就是让学生感受立体图形和平面图形的关系,几个活动的设计均指向该目标.从活动1 中的“展开”操作到活动2 中的“折叠”思考完整地呈现了立体与平面的对应过程.活动3 中聚焦到特殊的正方体展开,活动4 则是知识的应用.在活动1 和活动2 知识解惑的基础上,活动3 的教学是拓展存疑、引发思考的关键,可以通过问题链:如何将一个正方形纸盒沿部分棱剪开展成一个平面图形? (使学生明白“不同的展开方式得到的图形可能不同”)、正方体展开图的周长与棱长有什么关系? (使学生知道“平面展开图的周长是剪开棱数的两倍”)、正方体的对面在平面展开图中怎么找? (引导学生归纳出用“隔面没有再转弯”的确定对面的方式),这些问题一方面促使学生对知识理解向深度和广度两个方向拓展,及时解惑使学生对立体图形展开形成深入而完整的认识.

但是对于正方体的展开图的分类和统计个人不建议当堂解惑,首先该知识不是本节课学习的内容,其次花长时间进行分类思想的渗透不利于其它知识的建构.在均衡分班的背景下可以作为知识的拓展,暂时保留疑问,供有兴趣的学生课后思考.另外,正方体展开图中对应点(立体图形中重合的点)的确定,也可以作为一个疑问保留,共学生课后研究,延迟的本章复习的时候再进行解惑.

3.2 解决学生的能力之惑,为发展存疑

学生的数学核心素养主要表现为“会用数学的眼光观察、会用数学的方式思考、会用数学的语言表达”的能力,观察的水平高了、思考有条理了、表达精准了,学生的数学核心素养就整体提升了.

活动4 的教学就是要引导学生从数学的角度观察,将这个模拟的现实问题抽象转化为数学问题,即从这个实际背景中抽象地看成从一个点到另一点最近距离问题;然后用数学的方式进行思考,分情况考虑,对比联想寻找判断的数学依据,最终转化成两点之间的最短距离问题是思维上的一次飞跃;最后,运用所学的知识,用符号语言,有条理地说明,进而解决问题.

问题解决之后,如果再将圆柱的背景换成正方体或者长方体,是否可以用类似的方式解决呢? 对于如何求出距离的最短值会涉及到勾股定理的知识,在棱柱的背景中还要考虑到情况的分类,这些,都可以作为“存疑”的一部分.尽管学生现在还不会解决,但却是今后必需掌握的,现在简单的提及是为了学生今后的发展.学生的思维也将在存疑中留下一个展望的姿态.

3.3 艺术处理本能之惑,为未知存疑

在学习活动中,学生们所思所想大都受教师的引导,但有些时候,学生一些本能反应出乎教师的意料,这时,教师就要充分探寻学生本能反应背后的原因,进行合理引导,让学生觉察本能、理解本能、解决疑惑.

如在活动1 中,学生们动手将立体图形展开成平面图形后,教师适时提问:通过刚才的操作,我们更深入地了解了这些常见的几何体? 还有什么疑惑吗? 学生回答大多聚焦于展开后的平面图形,如:“三棱锥展开图中的3 个三角形是否一样大? ”“圆锥展开图中扇形的弧长和圆有什么关系? ”等.但也有同学提出:球的表面积和体积怎么求?

一个看似与本节课所授知识无关的问题,且初中数学学习中不会涉及,但学生的思考方向值得认可,这是学生的本能疑惑.学生在已知求一些常见的立体图形表面积和体积的情况下,想到探究球体的相关知识,是一种本能的迁移和推广,需要被鼓励.因为本能恰恰代表着学生的求知欲、好奇心、想象力等这些最宝贵的品质,没有它们学生很难有创新意识和能力.

但处理时需要讲究艺术.哪怕教师不了解该知识点,也要告诉学生以后会学,让学生为未知的内容“存疑”,可以激发学生对未来学习的兴趣.当然,如果仅告知结果也可行,但至于怎么求? 怎么用? 不适宜大做文章,仍然需要“存疑”,既不“偏离”主题,也避免“卖弄”之嫌.

4 写在最后

当前,“核心素养”“单元教学”“项目学习”“人工智能”等教育内涵要求下我们的课堂本应该焕发更多活力,但是,“以讲代学”“以做代学”的现象还很普遍,做好学生“解惑”工作是我们的职责,但适当“存疑”是为了让学生更多参与.有了更多的启发才有更多的思考和提问,学习的方式才是高效的、科学的.但也要明确的是:存疑之后还需解惑.存疑不是不理睬,而是智慧地处理,我们需对存疑的内容明确什么时候解决? (如初二会学)需对存疑的内容指导怎么解决? (如上网查询)需对存疑的内容如何解决? (如课后交流,下节课讲解)让学生养成一个学习的好习惯.

解惑更多是解决知识层面上的问题,存疑更多指向的是精神与能力提升的问题,目标是发展学生数学素养.有效的思考是以真实的疑惑为前提的,在课堂教学的推进过程中,教师要善于设计恰当的活动或问题,激发、显化学生的疑惑.激发学生的疑惑,进行适当的补充和拓展,设计引导问题串,促进学生思维深度参与,及时解决学生疑惑,在进行有条理地数学思考的过程中培养学生数学素养;设计科学的教学流程顺序,有步骤地呈现,组织好从简单到复杂的有序深入过程,显化学生的疑惑,进行适当的存疑和等待,尊重学生的本能疑惑,在课堂的有序进程中、结尾或者课后为学生领悟学习价值、体悟核心概念创造机会.