古今碰撞 迈好证明“第一步”——以苏科版 “三角形内角和定理”证明为例

姜鸿雁 秦语真 孙丹丹

(1.江苏省无锡市河埒中学214062；2.华东师范大学教师教育学院200062；3.山东师范大学数学与统计学院 250358)

1 引言

“证明”是数学学科至关重要的内容，渗透到数学的枝枝蔓蔓.苏科版教材七年级下册第12章专讲“证明”，这一章第2节“证明”分3个课时层层推进，从说明“证明”的必要性到“什么是证明”再到“证明与图形有关的命题的一般步骤”，给出规范的“三段论”证明格式，最后1课时主要内容为“三角形内角和定理”的证明及其推论[1].

苏科版教材第7章“平面图形的认识(二)”中已经对三角形内角和为180°的缘由进行过说理，但在形式上并没有以规范的“三段论”方式进行，这应该是教材编写者基于符合学生数学学习的心理规律的角度考虑的.那么本节课教学是不是仅以内容为中心，简单定位为将定理以三段论的形式“严格证明”一遍？显然不是.三角形内角和定理位于“证明”这一章，按照教材编排思路，应以内容为载体服务于“证明”的教学，以承载更大的教育教学价值.因此，我们借助三角形内角和定理丰富的历史素材，以思想方法为中心设计开展本课时教学.

现有的教学设计中，依托数学史进行教学设计的案例不在少数[2]～[5]，笔者认为，这些设计基本是聚焦“知其然、知其所以然”两个层面，没有很好地解决“知何由以知其所以然”这一方法论问题，而以具体内容为载体，助力学生对一般证明思路的洞察是本节课应该承载的价值.此外，以往课例对方法多样性本质的提炼、育人价值的挖掘不够充分.笔者认为，学生在探究证明方法多样性的过程中，应该对为何证明、证明特点以及怎么开展证明等问题有更多的思考，这样的上位认识对将来的数学学习非常重要.

2 史料介绍与分析

从古希腊七贤之首泰勒斯(Thales，公元前6世纪)发现“三角形内角和等于二直角”以来，历时2000多年，数学家们一直探索这个结论的不同验证及证明方法，经久不衰.就证明而言，首先是毕达哥拉斯(Pythagoras，约公元前560—480)学派证明了这个定理(如图1)，过顶点A作边BC的平行线，由两直线平行，内错角相等，实现角的转移，结合平角证得结论[6].

之后，欧几里得(Euclid，约公元前330—270)在《几何原本》中给出新的证明方法(如图2)，过顶点C作AB边的平行线，由两直线平行，内错角、同位角相等，结合平角得到结论[6].

图1 毕达哥拉斯的证明方法

图2 欧几里得的证明方法

在公元5世纪，古希腊评注家普罗克拉斯(Proclus，410—485)用了两种方法证明了这个定理，经历了从特殊到一般的过程[7].第一种证明方法如图3所示，先是分别过A、B、C三点作BC边的垂线，则BE∥AD∥CF，通过两直线平行，内错角相等转化角，由两直线平行，同旁内角互补证得结论.第二种证明方法，将辅助线一般化(如图4)，在∠BAC内部任意作线段AD，分别过B、C作AD的平行线，本质与作垂线的方法一致.

18世纪法国数学家克莱罗(A. C. Clairaut，1713—1765)过点A作BC的平行线，由两直线平行，内错角相等、同旁内角互补证得结论(如图5)[7].

图3 普罗克拉斯证法1

图4 普罗克拉斯证法2

图5 克莱罗的证明方法

此外，在18—20世纪英美一些教科书里分别过边上任意一点、形外一点、形内一点作平行线，给这个定理增加了多种新的证明方法(如图6)[8].

图6 英美早期教科书证明方法

从历史发展来看，人类对这个定理的认识从公元前6世纪延续到今天，展示了它强大的“生命力”，多种多样的证明方法也为本节课定理证明的教学提供了多方面的启示.

首先，为什么产生如此多的不同证明方法？面对180°产生联想的角度不同，则影响着思维的走向.比如毕达哥拉斯、欧几里得、英美教材中的多种证明方法都是通过平角解决问题，而克莱罗、普罗克拉斯的方法则是通过平行线下的同旁内角互补解决问题，这是教师引领学生探究证明方法多样性的“点拨思维的风向标”，也是实现“知何由以知其所以然”的关键之一，还是教学生“由果索因”发展逻辑推理能力的重要抓手，这对刚刚跨进几何证明大门的七年级学生来说尤为重要.

其次，众多方法的共性是什么？在“异”中发现“同”——利用平行线转化角，这是对数学方法的抽象，在提炼转化思想的过程中促进学生的深度思考.为什么古代数学家们都要作平行线？因为三角形的三个内角是分散的，需要将“角”集中到一起形成平角或同旁内角，“转移角”成为必须，而平行线可以通过生成相等角实现转移，这何尝不是实现“知何由以知其所以然”的另一个关键所在.

最后，为什么从公元前6世纪直到20世纪，横跨2000多年，这一伟大的定理的验证、证明方法一直保持着活力与生机？是什么力量支撑着人们追求多种方法验证结论、证明结论？这显然是人类在认识自然过程中，一种自我挑战信念的传承与发展，这是在课堂教学中实现德育之效的“活素材”.

3 课堂实录与课后反馈

3.1 引入新课

PPT放映形状大小不一样的三角形若干.

师：在不一样的事物中研究并发现事物的共同特征是数学的任务也是数学的魅力，你能说出这些形形色色的三角形具有什么共同特点吗？

生1：两边之和大于第三边、两边之差小于第三边；三个内角的和等于180°.

师：研究几何图形常常从边、角两个方面入手，其中边的数量关系在第7章曾经研究过，今天主要研究三个内角的和等于180°.(板书)

师：你是怎么知道这个结论的？

生1：我是证出来的.

生2：用量角器量每个角的度数，加起来，可得180°.

生3：拼图拼出来的.

师：通过前面学习我们知道，生活中很多事情眼见不一定为实，度量会产生误差，拼图也是如此，所以需要严格的证明.同学们的思路定是不拘一格、各有特色的，证明方法可能不止有一种，下面大家就各显神通一起探究吧.

片段解读初步体会研究数学的任务之一是发现变化中不变的结论；几何图形的“抓手”是边、角；“唤醒”证明的必要性，鼓励不同证明方法，为下一步教学做准备.

3.2 证法探寻

师：我们首先将文字语言转化为图形与符号语言.

已知：如图，△ABC有三个内角∠A、∠B和∠C.求证：∠A+∠B+∠C=180°.

图7

师：你是怎么证明这个结论？(指向前面回答“证明”的生1)

生1：我是利用外角性质证明的.

(在教师追问中得知，生1 掌握的三角形外角性质是由三角形内角和等于180°得来的，这可能是受第7章教材相关内容影响，学生发现自己落入“旋涡”，并在师生对话中明白这是循环论证，在证明过程中是要不得的，不少学生恍然大悟.)

生4：我想到一种证明方法……(同毕达哥拉斯方法，过程略).

师：你是怎么想到这样证明的？

生4：是平行线让我想到的.

师：你是怎么想到作平行线的？

生4：这样可以用“两直线平行，内错角相等”来证明角相等.

师：为什么要证明角相等，为什么要转化角？

生4：因为三个角很分散，要集中到一起.

师：很好！最终是借助哪个特殊的角证得180°的？

生4：平角.

师：这说明，由结论中等号右边——180°，可以联想到平角；等号左边是三个分散的角，将它们集中到一起成为必须，从而联想到平行线可以转化角，于是将问题解决.

(教师在黑板上写下详细证明过程)

师：这是“由果索因”的思维过程，它是打开证明思路的一种重要的方法，在写推理的过程时，是从已知或辅助线作法一步步推“果”的过程，这是“由因推果”的思考方法，当“因果打通”时，问题便得到解决.

师：我们可以感受到证明过程步步有根有据、言必有据的理性力量，从此运用这个结论时，底气就足了.我们把经过证明的真命题叫“定理”，它可以作为其它命题的证明或计算的依据.

师：有不同的证明方法吗？

生5：由180°我想到了由平行线得同旁内角互补.

师：看来面对同样的 “果”，联想到的“因”可能不一样，则会影响着证明的思维走向.

(教师在黑板上画出图形，学生根据图形说明了完整的思路，同克莱罗的证明方法)

师：还有其它方法吗？

随后生6用欧几里得的证明方法，根据老师画出的图形说明了完整的思路.

片段解读在对证明思路的不断追问中，将学生“潜在思维过程”显性化，解释添加辅助线的原因与目的，渗透“由果索因、由因推果”的证明思路，辅助学生迈好证明的第一步，努力达成几何教学三境界：知其然，知其所以然，知何由以知其所以然，以此实现逻辑推理能力落地.在历史的启发下，鼓励并给学生呈现不同证明方法的机会，体会证明方法的灵活多样，享受探究之乐.

3.3 古今碰撞

师：早在2000多年前，人们就发现了这个结论，同学们观看下面这个视频，你会了解得更多.

(教师播放“史话三角形内角和”小视频.视频勾勒了从泰勒斯基于拼图发现结论到帕斯卡通过折叠、提波特通过旋转验证结论，从毕达哥拉斯学派证明结论，到近代数学家不断用不同方法证明结论的历史演进.其中英美教材的证法，没有展示“点”在形内，该证明思路作为课后作业.)

师：(视频播放结束后，指明生5、生6的证明方法分别是克莱罗、欧几里得的证法)看来同学们刚才在重演历史.在英美教材中的证明方法的启发之下，还有其它证明方法吗？

生(齐)：“点”可以取在三角形内.

师：纵观如此多的证明方法，发现有什么共同特征？

生(齐)：都用平行线转化角.

师：既然泰勒斯已经通过拼图发现、验证了这个结论，为什么帕斯卡、提波特还要用不同的方法验证？既然毕达哥拉斯已经对定理进行了证明，为什么后人还在追求不同的证明方法？这体现了人类在认识世界时的一种什么力量？

生(你一言我一语)：创新、探索、钻研、自我挑战……

师：这是数学带给人们一种向上的信念.

片段解读通过附加式运用数学史，首先，可以拓宽学生知识视野，在众多的方法中，提炼共同的特征——利用平行线转化角，感受方法之美，落实数学抽象.其次，在老师“小毕达哥拉斯、小克莱罗、小欧几里得” 的称呼中，让学生享受成功的喜悦.再次，在纵向历史发展进程中，让学生对数学证明本身有更深刻的认识，在多种方法的熏陶之下，向上信念油然而生，发挥了数学史在培养理性精神，激发积极情感，树立正确数学信念方面的作用[9].

3.4 学以致用

1. 如图8，∠ACD是△ABC的外角，已知∠A=70°，∠B=40°，求∠ACD的度数？

图8

图9

2.已知直角三角形的一个锐角等于35°，求另一个锐角度数.

3. 已知(如图9)，AC、BD相交于点O，求证：∠B+∠A=∠C+∠D.

4.已知，△ABC三个内角度数之比是2∶2∶5，求三个内角的度数.

片段解读第1、2题，体现定理在运算过程中作为依据，并在学生解决问题之后，改变角的度数、再求解，并观察结果，发现结论并表达结论，在从特殊到一般的过程中(这也是泰勒斯、普罗克拉斯发现、证明三角形内角和等于180°的历程)，分别为两个推论的生成作铺垫，并将证明推论作为课后作业.第3题，体现定理在推理过程中作为依据.第4题，表明定理也可以作为列方程的相等关系.

3.5 课后反馈

课后，我们通过问卷调查进一步了解了学生的收获和体会.问及“有助于我们证明一个命题的思想方法有哪些”时，学生给出了由果索因及由因推果、添加辅助线、转化等等思考问题的方法，这表明学生对“何由以知其所以然”有了一定的体悟.在“看到‘证明’你会想到什么”的问题回答中，学生提到了公理、定理、严谨、由果索因、由因推果、言必有据、方法多样性、不可以循环论证等等，这节课的主题是“证明”，显然经过这节课的学习，学生对“证明”的概念意象更加丰富.

多种证明方法的探索对学生认识和情感上都有较大影响，有学生发出“许多证明方法，而且很巧妙，让我茅塞顿开”的感叹；有学生思考了方法论问题，“抓住问题核心(180°)，可以从多角度深入得到结果”；也有学生对数学本身有了更多的思考，“数学很美，一个命题可以有多种证明方法”、“数学具有理性精神”.这些方法的历史背景也发挥了独有的价值，培养了学生自信心，有同学回答“我和毕达哥拉斯的方法是一样的，仿佛我和数学家进行了思想碰撞”，培养了学生的数学兴趣和挑战精神.同学们还提到“定理证明的历史悠久，让我对数学感兴趣”、“三角形内角和等于180°原来在2000多年前就证出来了，后来还有这么多证明方法，说明人们具有探索挑战的精神”、“都是转化的思想，体现了创新、探索、自我挑战的一种精神”等.

还有学生提出了想进一步了解的疑惑或问题，如“欧几里得是怎么写《几何原本》的？”“公理是怎么来的？”“还有其它方法证明这个定理吗？”“数学家遇到困难的时候，他们是如何克服的？”等等.

从反馈不难看出，数学史可以在学生的心中播种下理性、好奇、兴趣、积极信念等充满希望的“种子”，也为刚刚入门几何证明的七年级学生迈好证明第一步“添砖加瓦”.

4 教学反思

4.1 以史为纲，解读教材编写结构

结合历史发展，仔细分析苏科版教材，笔者认为教材为学生本节课学习做足了“心理上”、“技术上”的准备.具体地讲，一方面，在第7章第5节“多边形的内角和与外角和”这一节中，基于实验几何(小学拼图学习经验)发现了三角形内角和为180°的结论，接着在动态过程中猜想了结论的合理性，进行了初步说理；另一方面，在第12章第1、2节，分别对“定义与命题”进行了介绍、对“证明的必要性”进行了阐释，对“证明命题步骤”进行了说明.两条线索交织，以三角形内角和定理的严谨多样化证明为载体，进一步洞悉证明思路、认识证明特点的教学便是水到渠成.对比历史，人类对该定理的认识，起源于泰勒斯的拼图，发展于诸多数学家的实验操作，成就于众多数学家的多样化的证明，人类这一漫长的认识过程，在教材的相关章节里逐一呈现，真可谓“草灰蛇线、伏脉千里”.

4.2 以史为鉴，深化课堂教学设计

研读相关历史，多样化的证明方法在浩瀚历史长河中熠熠生辉，进而促使笔者思考方法的灵活多样性及其背后的共性、产生的原因等，为深化课堂教学设计提供了灵感.要给学生开放的探究机会，以问题引导学生分析思维过程，以达到不但“知其然”、“知其所以然”，而且“知何由以知其所以然”，这是学生迈好“几何证明”第一步的良机，是促进学生思维更加灵活深刻的宝贵资源，是培养学生积极信念的活素材.

数学史除了隐性地启发和影响教学，也显性地走进了课堂，通过微视频的形式附加式展示三角形内角和从发现、验证到证明的发展过程.学生见识多种证明方法，体会不一样的证明方法是“由薄到厚”的过程，面对纷繁多样的证明方法，提炼发现运用平行线转化角的共同思维特点是“由厚到薄”的过程，在双向贯通中感受数学家不断求索的探索创新精神，体会方法的严密美、灵活美.

此外，第7章已经学习了“多边形外角和是360°”这一结论，不排除学生用三角形的外角性质“证明”三角形内角和定理的可能，犯循环论证的错误.课上学生的确出现了类似的想法，教师及时抓住学生想法，因势利导，创造了渗透公理化思想的契机.

4.3 以史为泉，浇灌学生思维之花

由于受课堂教学时间的限制，在小视频里只是提及了帕斯卡通过折叠、提波特通过旋转验证结论，也许是学生对拼图已经很熟悉，也许是受数学家们钻研精神的影响，课后好几位学生前来与笔者讨论帕斯卡、提波特的方法，有对自己琢磨出折叠验证到结论后的喜悦，有对旋转法是怎么操作的渴望，这无形之中引领学生在动手操作的数学实验中启思明理，让笔者深感数学史如一股甘泉，浇灌着学生思维.

更值得一提的是，有学生在完成课后作业——过三角形内一点作平行线证明结论之后，与笔者讨论，他认为毕达哥拉斯等的证明方法是过三角形顶点作边的平行线，可以统一为过三角形的一边上的点作平行线，因为只是边上一点的特殊情况，由此提出这样的观点：证明这个定理就是在三角形所在的平面内，任取一点作边的平行线即可，所以那么多方法，便可以看成是一种方法.当笔者听到如此“高论”时，情不自禁地为这位刚入初中大门不久的七年级学生能具有如此深刻的认识感到欣慰.这何尝不是对众多方法进一步提炼，进一步“由厚到薄”的过程？让学生经历思考的过程，积累探索的经验，是达成“知何由以知其所以然”的关键.在厚重的数学史的浇灌之下，学生的思维之花绽放得如此灿烂！