给定各边长的空间四面体的二面角计算的探索

周作雄

【摘要】从教材给定边长计算四面体的二面角出发，对解法进行进一步的探索，其中就包括任意棱长与图形计算二面角、三面体的余弦定理求二面角，以及通过体积进行二面角求解，以此化解因四面体不能建系及难找二面角的平面角的难点，同时提供学生解决四面体的新解题思路，拓宽思维，提升数学运算、直观想象等核心素养。

【关键词】空间四面体;二面角;三面体余弦定理;核心素养

一、引语

二面角问题的一个常见背景是空间四面体。如今，数学教学解决二面角的方法无非两种：几何法和向量法。然而，新高考形势下，二面角的求解面临新的问题，即“非体非易”——不是规范的几何体和二面角的平面角不易作出。在此情形下，教师要帮助学生提供解题新思路、新思维、新方法。下面以新教材课后习题为例，以此为出发点，对其进行进一步探索。具体过程如下：

普通高中课程标准A版教科书数学第二册第164页第18题，有这样一个综合运用题：

（第18题）

如图，在三棱锥V-ABC中，VA=VB=AB=AC=BC=2，VC=1作出二面角V-AB-C的平面角，并求出它的余弦值。

二、教材解法

取AB的中点M，连接VM，CM.由已知条件，可得VM=，CM=，又VC=1，通过解三角形，可得二面角V-AB-C的平面角的余弦值为。（如图1）

三、解法推广

（1）由已知图形与边长推广到任意四面体与棱长进行求解

刘永新在其《由四面体的棱长计算二面角》论文中指出：要解决通过棱长求解二面角的题目，首先需要引进陈金辉《四面体的求积公式》文章的结论：已知四面体的六条棱长，求四面体的体积公式（如图2）：

由海伦公式推导出三角形面积公式：

过点P作底面ABC上的高PH=h，则h=，记HB=R2，HC=R3，则 根据上面的三角形面积公式，得△HBC的面积：

过点P作底面ABC上的垂线，垂足为H。同时过点P作PM⊥BC，连接MH，则∠PMH即为平面PBC与平面ABC所成二面角（如图3）。

其中，

海伦公式：

根据此方法，将第18题数据代入得：

（2）由棱长推广到向量工具，用三面角余弦定理进行求解

用三面体的余弦定理求解二面角的大小，适用于定义法不易作出二面角的平面角的情形，关键在于构造出求解的二面角所在的一个四面体，寻找四面体中其余侧面所成的二面角的平面角，再用几何知识求出四个面的面积，问题迎刃而解。

①潘朝毅，马玉雯在《向量在二面角等相关问题中的应用》中提出，用三面体余弦定理来进行二面角的计算，过程如下：

引理1

引理2

定理1：（三面角余弦定理）四面体V-ABC中，记二面角则（如图4）

证明：记的单位向量为a，b，c，则注意到若取平面AVC的法向量为，平面BVC的法向量为，这两个方向对于二面角  一定为“一进一出”，由于

故

根据此方法， 的余弦值：

②张东则在《用四面体的余弦定理求解二面角大小》中将三面体的余弦定理进行了进一步的拓展，得到：

定理2： 四面体任意一个面的面积的平方等于其它三个面的面积的平方和减去这三个面中每两个面面积及其所夹二面角余弦之积的两倍之和。

具体过程如下：（如图5）在四面体中V-BCD，设二面角V-BC-D，V-CD-B，V-BD-C，C-VB-D，B-VC-D，B-VD-C的大小依次为记四个三角形的面积分别为则有：

根据此方法，V-AB-C的余弦值：

③薛大慶在《关于四面体的几个定理》中，对上述公式进行了进一步变形后得出：

公理3：四面体任意两个面面积的平方和减去这两个面的面积及其所夹二面角余弦之积的两倍等于其它两个面面积的平方和减去这两个面的面积及其所夹二面角余弦之积的两倍。

根据此方法，V-AB-C的余弦值：

（3）由棱长推广到体积，用四面体的体积进行二面角的求解

王太东、赵兴凤在《余弦、正弦定理在四面体中的推广》中提出，二面角的计算同时可以通过体积来进行求解。

在四面体ABCD中，设顶点A，B，C，D所对的面的面积为S1，S2，S3，S4设面S1，S2，S3，S4每两面所夹的二面角为过顶点A作AO⊥面BCD于O，在面BCD中作OE⊥BC于E，连接AE，则AE⊥BC（三垂线定理），∠AEO为二面角A-BC-D的平面角，简记为，有∠AEO=a14（如图6）.

同理可证：

根据此方法，V-AB-C的余弦值：其中，V'为三棱锥的体积，S1为△ABC的面积，S4为△VBC的面积。

四、结束语

如今的数学课堂教学，用向量法求解二面角的大小是一种趋势，但当向量法无法求解时，学生会出现无法可用的尴尬现象。所以，本文提供了除向量法、几何法外，通过棱长求解、三面体余弦定理以及体积等方法来解决此问题。虽看似繁琐复杂，但旨在给学生提供一种新的解题思路，拓宽思维，提升数学运算、直观想象等核心素养，让学生更好地用数学眼光去观察世界。

参考文献：

[1]刘永新.由四面体的棱长计算二面角[J].安顺师专学报（自然科学版），1998（4）：39-42.

[2]陈金辉.四面体的求积公式[J].数学通报，1985（3）：2.

[3]潘朝毅，马玉雯.向量在二面角等相关问题中的应用[J].四川职业技术学院学报，2020，30（6）：138-141.

[4]张东.用四面体的余弦定理求解二面角大小[J].高中数学教与学，2020（5）：23-25，16.

[5]薛大庆.关于四面体的几个定理[J].中学数学教学，1984（2）：9-11.

[6]王太东，赵兴凤.余弦、正弦定理在四面体中的推广[J].数学通讯，2001（9）：16-17.

责任编辑  杨  杰