例析无棱二面角的常用求法

宋春燕

求二面角的大小是立体几何的一个重点内容，也是高考的热点问题.其中二面角的棱在示意图中未出现，即所谓无棱二面角的情形又为难点.因此掌握无棱二面角大小的常用求法是至关重要的.本文就其常用求法例析如下.

一、隐棱显化法

把被隐藏的二面角的棱通过相应手段和方法显现出来，即把无棱二面角问题转化为有棱二面角问题，再根据二面角的定义，作出二面角的平面角，然后求解.这里关键是作棱，有以下几种基本方法.

1.已知一个公共点，找出另一个公共点作棱法

如果两个平面α、β有一个公共点，那么只要找到另一个公共点，则这两个公共点的连线即α、β所成二面角的棱.要注意，另一个公共点一般是分别在α、β的两条直线上，同时又是第三个平面γ内两相交直线的交点.此法的实质是拓展平面，故又叫做延展平面法.

图1

例1已知四棱锥P-ABCD的底为直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，PA⊥平面ABCD，且PA=AD=DC=1，AB=2，求平面PAD与平面PBC所成锐二面角的一个三角函数值.

分析已知两平面有一个公共点P，且这两平面内的AD、BC又在第三个平面ABCD内，而AD、BC必有交点F，则PF即所找的棱.

解如图1示，延长AD、BC相交于F，连PF，则PF为面PAD与面PBC所成二面角的棱.作AG⊥PF于G，连BG.

∵∠DAB=90°，PA⊥AB，∴AB⊥平面PAD.

∴由三垂线定理，得GB⊥PF.

于是∠BGA就是平面PAD与平面PBC所成锐二面角的平面角.

由2DC=AB，得AF=2，PF=PA2+AF2=12+22=5.

又AG·PF=PA·AFAG=255，

∴在Rt△BAG中，tanAGB=ABAG=

2255=5.

故所求的二面角的正切值是5.

2.平移半平面作棱法

把无棱二面角的一个半平面平移，使其与另一个半平面有两个明显的公共点，连这两个公共点得棱.于是把所求的无棱二面角转化为与之相等的新的有棱二面角.

例2如图2（1），在正三棱柱ABC-A1B1C1中，E∈BB1，截面A1EC⊥侧面AC1，若AA1=A1B1，求面A1EC与面A1B1C1所成二面角的大小.

图2

分析取棱C1C的中点为K，若E为棱B1B中点（需证明），作EG⊥A1C于G，即可将平面A1B1C1平移至平面GEK，将所求的二面角转化为求二面角C-GE-K的大小.

解如图2（2），作EG⊥A1C于G，因为A1EC⊥面AC1，故EG⊥面AC1.而面ABC⊥面AC1，取AC中点F，连BF，则BF⊥AC，于是BF⊥面AC1，∴EG∥BF，从而B、E、G、F四点共面.

连FG，由BE∥侧面AC1知BE∥GF，所以BEGF是平行四边形，

∴BE=GF=12AA1=12BB1，即E为棱BB1的中点.

取棱CC1的中点K，连EK，GK，易知EK∥面A1B1C1，GK∥面A1B1C1，所以面GEK∥面A1B1C1.

∴二面角C-GE-K的大小等于面A1EC与面A1B1C1所成二面角的大小.

易知∠CGK即为二面角C-GE-K的平面角，

∴∠CGK=45°，即所求.

评注本题也可采用例1的方法分别延长CE、C1B1得交点D，则A1D为二面角的棱，但仍然要确定E为棱BB1的中点.

3.补形作棱法

把一个不容易找到所求二面角的棱的几何体，补成一个容易找到这两个面交线为棱的一个新几何体.

图3

例3如图3，四棱锥S-ABCD的底面是边长为1的正方形，SD⊥底面ABCD，SB=3.

求二面角的大小是立体几何的一个重点内容，也是高考的热点问题.其中二面角的棱在示意图中未出现，即所谓无棱二面角的情形又为难点.因此掌握无棱二面角大小的常用求法是至关重要的.本文就其常用求法例析如下.

一、隐棱显化法

把被隐藏的二面角的棱通过相应手段和方法显现出来，即把无棱二面角问题转化为有棱二面角问题，再根据二面角的定义，作出二面角的平面角，然后求解.这里关键是作棱，有以下几种基本方法.

1.已知一个公共点，找出另一个公共点作棱法

如果两个平面α、β有一个公共点，那么只要找到另一个公共点，则这两个公共点的连线即α、β所成二面角的棱.要注意，另一个公共点一般是分别在α、β的两条直线上，同时又是第三个平面γ内两相交直线的交点.此法的实质是拓展平面，故又叫做延展平面法.

图1

例1已知四棱锥P-ABCD的底为直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，PA⊥平面ABCD，且PA=AD=DC=1，AB=2，求平面PAD与平面PBC所成锐二面角的一个三角函数值.

分析已知两平面有一个公共点P，且这两平面内的AD、BC又在第三个平面ABCD内，而AD、BC必有交点F，则PF即所找的棱.

解如图1示，延长AD、BC相交于F，连PF，则PF为面PAD与面PBC所成二面角的棱.作AG⊥PF于G，连BG.

∵∠DAB=90°，PA⊥AB，∴AB⊥平面PAD.

∴由三垂线定理，得GB⊥PF.

于是∠BGA就是平面PAD与平面PBC所成锐二面角的平面角.

由2DC=AB，得AF=2，PF=PA2+AF2=12+22=5.

又AG·PF=PA·AFAG=255，

∴在Rt△BAG中，tanAGB=ABAG=

2255=5.

故所求的二面角的正切值是5.

2.平移半平面作棱法

把无棱二面角的一个半平面平移，使其与另一个半平面有两个明显的公共点，连这两个公共点得棱.于是把所求的无棱二面角转化为与之相等的新的有棱二面角.

例2如图2（1），在正三棱柱ABC-A1B1C1中，E∈BB1，截面A1EC⊥侧面AC1，若AA1=A1B1，求面A1EC与面A1B1C1所成二面角的大小.

图2

分析取棱C1C的中点为K，若E为棱B1B中点（需证明），作EG⊥A1C于G，即可将平面A1B1C1平移至平面GEK，将所求的二面角转化为求二面角C-GE-K的大小.

解如图2（2），作EG⊥A1C于G，因为A1EC⊥面AC1，故EG⊥面AC1.而面ABC⊥面AC1，取AC中点F，连BF，则BF⊥AC，于是BF⊥面AC1，∴EG∥BF，从而B、E、G、F四点共面.

连FG，由BE∥侧面AC1知BE∥GF，所以BEGF是平行四边形，

∴BE=GF=12AA1=12BB1，即E为棱BB1的中点.

取棱CC1的中点K，连EK，GK，易知EK∥面A1B1C1，GK∥面A1B1C1，所以面GEK∥面A1B1C1.

∴二面角C-GE-K的大小等于面A1EC与面A1B1C1所成二面角的大小.

易知∠CGK即为二面角C-GE-K的平面角，

∴∠CGK=45°，即所求.

评注本题也可采用例1的方法分别延长CE、C1B1得交点D，则A1D为二面角的棱，但仍然要确定E为棱BB1的中点.

3.补形作棱法

把一个不容易找到所求二面角的棱的几何体，补成一个容易找到这两个面交线为棱的一个新几何体.

图3

例3如图3，四棱锥S-ABCD的底面是边长为1的正方形，SD⊥底面ABCD，SB=3.

求二面角的大小是立体几何的一个重点内容，也是高考的热点问题.其中二面角的棱在示意图中未出现，即所谓无棱二面角的情形又为难点.因此掌握无棱二面角大小的常用求法是至关重要的.本文就其常用求法例析如下.

一、隐棱显化法

把被隐藏的二面角的棱通过相应手段和方法显现出来，即把无棱二面角问题转化为有棱二面角问题，再根据二面角的定义，作出二面角的平面角，然后求解.这里关键是作棱，有以下几种基本方法.

1.已知一个公共点，找出另一个公共点作棱法

如果两个平面α、β有一个公共点，那么只要找到另一个公共点，则这两个公共点的连线即α、β所成二面角的棱.要注意，另一个公共点一般是分别在α、β的两条直线上，同时又是第三个平面γ内两相交直线的交点.此法的实质是拓展平面，故又叫做延展平面法.

图1

例1已知四棱锥P-ABCD的底为直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，PA⊥平面ABCD，且PA=AD=DC=1，AB=2，求平面PAD与平面PBC所成锐二面角的一个三角函数值.

分析已知两平面有一个公共点P，且这两平面内的AD、BC又在第三个平面ABCD内，而AD、BC必有交点F，则PF即所找的棱.

解如图1示，延长AD、BC相交于F，连PF，则PF为面PAD与面PBC所成二面角的棱.作AG⊥PF于G，连BG.

∵∠DAB=90°，PA⊥AB，∴AB⊥平面PAD.

∴由三垂线定理，得GB⊥PF.

于是∠BGA就是平面PAD与平面PBC所成锐二面角的平面角.

由2DC=AB，得AF=2，PF=PA2+AF2=12+22=5.

又AG·PF=PA·AFAG=255，

∴在Rt△BAG中，tanAGB=ABAG=

2255=5.

故所求的二面角的正切值是5.

2.平移半平面作棱法

把无棱二面角的一个半平面平移，使其与另一个半平面有两个明显的公共点，连这两个公共点得棱.于是把所求的无棱二面角转化为与之相等的新的有棱二面角.

例2如图2（1），在正三棱柱ABC-A1B1C1中，E∈BB1，截面A1EC⊥侧面AC1，若AA1=A1B1，求面A1EC与面A1B1C1所成二面角的大小.

图2

分析取棱C1C的中点为K，若E为棱B1B中点（需证明），作EG⊥A1C于G，即可将平面A1B1C1平移至平面GEK，将所求的二面角转化为求二面角C-GE-K的大小.

解如图2（2），作EG⊥A1C于G，因为A1EC⊥面AC1，故EG⊥面AC1.而面ABC⊥面AC1，取AC中点F，连BF，则BF⊥AC，于是BF⊥面AC1，∴EG∥BF，从而B、E、G、F四点共面.

连FG，由BE∥侧面AC1知BE∥GF，所以BEGF是平行四边形，

∴BE=GF=12AA1=12BB1，即E为棱BB1的中点.

取棱CC1的中点K，连EK，GK，易知EK∥面A1B1C1，GK∥面A1B1C1，所以面GEK∥面A1B1C1.

∴二面角C-GE-K的大小等于面A1EC与面A1B1C1所成二面角的大小.

易知∠CGK即为二面角C-GE-K的平面角，

∴∠CGK=45°，即所求.

评注本题也可采用例1的方法分别延长CE、C1B1得交点D，则A1D为二面角的棱，但仍然要确定E为棱BB1的中点.

3.补形作棱法

把一个不容易找到所求二面角的棱的几何体，补成一个容易找到这两个面交线为棱的一个新几何体.

图3

例3如图3，四棱锥S-ABCD的底面是边长为1的正方形，SD⊥底面ABCD，SB=3.