TI图形计算器在高中函数教学中的应用

◎ 于洪波

2019年开始使用的沪教版高一数学新教材将幂函数、指数函数与对数函数三类具体函数放在一般函数内容的前面，为学习一般函数的概念和性质做铺垫。这是与沪教版高一数学旧教材不同的地方，也是需要我们改变观念来重新认知和把握教学尺度的地方。这种变化不仅体现了新教材“特殊到一般、具体到抽象”的理念，也凸显了幂函数在整个单元中的地位和重要性。幂函数作为学生在高中阶段接触的第一类具体函数，对学生学习方法的形成起着承前启后的作用。笔者以幂函数为例，论述在高中函数教学中如何借助TI图形计算器为学生创设必要的学习经历，帮助学生进行知识建构，提升学生的数学学科核心素养。

一、感知函数的图像特征，发展直观想象素养

学生在幂函数的第一课时中利用描点法绘制了三个典型的幂函数的图像。但在第二课时的学习中，仅仅根据这三个幂函数的图像来感知这一类函数的图像特征，对大多数学生而言还是有困难的，还需要大量的具体函数的图像才能完成从特殊到一般的归纳。如果继续利用描点法进行研究，不仅效率低下，还会影响学生的探究热情。借助TI图形计算器的游标功能，动态演示幂函数的图像，学生很容易发现幂函数图像的共同特征，即幂函数在第一象限都有图像。此时，学生再调整窗口，聚焦第一象限，借助TI图形计算器的游标功能，进一步感知其在第一象限的图像特征。经历幂函数的图像特征的抽象过程，学生也会用同样的方式，再去感知指数函数、对数函数的图像特征，感知函数y=ax与（a＞0，a≠1）的图像之间的关系，感知函数y=loga x与（a＞0，a≠1）的图像之间的关系，感知函数y=ax与y=loga x（a＞0，a≠1）的图像之间的关系。在抽象函数图像特征教学的过程中，教师借助TI图形计算器不仅培养了学生的自主探究能力，也发展了他们数学抽象、直观想象等数学学科核心素养。

二、理解抽象函数的性质，提升数学抽象素养

在直观感受幂函数、指数函数、对数函数图像特征的基础上，还要会用数学的符号语言来表达，这对刚刚进入高中阶段的学生而言，既是一次数学学习的飞跃，也是难得的学习体验，借助技术的辅助充分体会数学的“味道”。

如在用数学语言刻画幂函数单调性的过程中，教师可以利用TI图形计算器直观演示直角坐标系中的两个点及其坐标，引导学生形成用坐标刻画左右及上下相对位置关系的意识；随后再借助TI图形计算器从左至右动态演示图像上的点或直接从左至右拖动图像上的点，引导学生通过观察图像上的点从左至右横、纵坐标的变化，进而感知函数值y随自变量x的增大而增大的含义，即如果我们把这两个点的横坐标分别记为x1、x2，对应的函数值分别记为y1、y2，那么函数值y随自变量x的增大而增大即为：当x1＜x2时，y1＜y2。这样就形成了a＞0时幂函数在区间（0，+∞）上是严格增函数的符号表述。通过类比，学生还可以得到a＜0时幂函数在区间（0，+∞）上是严格减函数的符号表述。根据《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》的理念，不仅要利用技术手段增强数学的直观性，更要进一步侧重引导学生如何用数量关系来刻画几何直观。学会了刻画幂函数函数值的变化规律，学生再去尝试刻画指数函数、对数函数函数值的变化规律，巩固、发展对函数单调性的理解，这就为第五章学习一般函数的单调性奠定了基础。

三、形成从几何直观到严格论证的代数说理，发展逻辑推理素养

完成了对幂函数、指数函数、对数函数分别是严格增函数或严格减函数的数学符号语言的刻画，还需用代数运算的方法加以证明，这与旧教材直接由图像归纳三类函数的性质完全不同，凸显了新教材重视发展学生的逻辑推理素养。

新教材中是按照“特殊到一般、具体到抽象”的原则，把奇偶性放在三类具体函数的后面学习。那么如何帮助学生解决这个难点，弄清楚幂函数图像的位置规律，做到繁而不乱呢?学生借助TI图形计算器作出大量幂函数的图像，按不同位置进行梳理，猜测各种情况的图像特征，并借助TI图形计算器的列表功能去观察、分析图像位置的不同情况以及图像上点的分布规律。通过列表，学生很容易归纳出以下三种情况：①图像不具有对称性的，位于第一象限；②图像关于y轴对称的，位于第一、二象限；③图像关于原点对称的，位于第一、三象限。完成了图像分布特征的抽象，如何用代数运算的方法说明幂函数的对称性呢？以函数为例，借助TI图形计算器的分屏与列表功能，学生可以观察到图像上的点（–1，1）关于y轴的对称点（1，1）仍在图像上，点（–2，0.62）关于y轴的对称点（2，0.62）也在图像上。一般地，函数图像上的所有点关于y轴的对称点是否仍在函数的图像上？选一个一般化的点，判断点是否满足，引导学生抽象出代数说理的方法。这样不仅借助技术帮助学生清晰地建立幂函数的整体的直观形象，巩固学生对图像对称性的代数说理，同时也为函数y=ax与、y=loga x与及y=ax与y=loga x（a＞0，a≠1）图像之间的关系的代数说理打下了基础，有助于学生逻辑推理素养的提升。

再如对幂函数第二课时中例5、例6的教学，多数学生会根据初中阶段已有知识直观地说出“左加右减、上加下减”的平移规律，但讲不清楚为什么是这样。在直观认识的基础上，为了进一步帮助学生增强对图像平移的代数理解，教师可以利用TI图形计算器的分屏与列表功能，引导学生观察两个函数图像上的点的横、纵坐标之间的关系，体会图像之间的平移关系。函数的图像上的点（1，1）向右平移2个单位后的点（3，1）在函数的图像上，点向右平移2个单位后的点也在函数的图像上，那么一般地，函数的图像上所有的点向右平移2个单位后的点都在函数的图像上吗？选一个一般化的点，判断点的坐标是否满足。这样不仅抽象出图像平移的代数运算的说理方法，也可以帮助学生用集合的观点体会为什么需分两个方面加以说明，同时巩固了关于函数图像对称性的代数运算的说理方法，发展了学生的逻辑推理素养。

整体思考、整体设计，以知识链为主线，融合数学思想方法，发展数学学科核心素养，是落实新课标理念的基本思路。类比幂函数的学习，继续沿用几何直观和代数运算的方法来探究指数函数、对数函数的性质，在感知图像特征及性质的过程中，发展学生数学抽象、直观想象素养；在用代数运算的方法证明的过程中提升学生逻辑推理素养；在利用函数模型解决科学领域和日常生活中的一些实际问题的过程中，发展学生数学建模素养。这是函数单元落实核心素养的基本做法。

如在形成幂函数单调性的代数说理的过程中，按照“特殊到一般”的原则，可通过分别证明y=x2、是（0，+∞）上的严格增函数，引导学生从中体会幂的指数已经扩充到了实数，而且在扩充的过程中，到了分数指数幂和无理数指数幂，结合、，学生体会到作差比较法没有作商比较法来得更直接；到了无理数指数幂，不等式的基本性质不好用了；按照正难则反的原则，还有学生会想到反证法，而反证法更是困难重重。这就凸显引进幂的基本不等式的必要性。此时，再去证明a＞0时幂函数y=xa是（0，+∞）上的严格增函数必定顺理成章、水到渠成。这也为指数函数、对数函数的单调性的证明打下基础。

学生在感知函数的图像特征及性质、形成抽象思维的过程中，借助TI图形计算器亲历知识的形成过程，丰富学习体验，主动进行知识建构，掌握研究函数的基本方法，提升数学学科核心素养，从中我们可以体会到技术改善教学的重要意义，体会到新课标、新教材更加重视信息技术与教学的深度融合。当然在运用技术的过程中，教师也要遵循认知规律、把握数学本质，把技术用得恰到好处，不能淡化数学本质，不能代替学生的数学思维过程，不能缺少必要的逻辑推理。