深水表面有限振幅周期波的稳定性

Zakharov VE

1 正则变量

考虑均匀重力场中无限深理想流体的有势流动, 选择如下坐标系:xy平面与未受扰动的流体表面重合, 而z轴则沿着远离该平面的方向. 在下文中, 所有矢量均为xy平面中的二维矢量.

记η(r,t)为 流体表面的波形函数,Φ(r,z,t)为速度势函数. 流体的流动可用Laplace方程描述

在自由面上满足两个条件

以及在无穷远处有条件

式中g为重力加速度,α为表面张力系数.

方程(1.1) ~ (1.3)满足流体的总能量守恒

式中, 等号右边第一项为动能, 第二项为重力势能, 第三项为表面张力势能. 引入物理量Ψ(r,t)=Φ(z=η(r,t),r,t). 由于拉普拉斯方程的边值问题有唯一解, 因此只需要两个物理量η与Ψ即可以确定流体的流动. 考虑到

可得到

方程(1.2)和(1.5), 连同拉普拉斯方程, 等价于方程(1.1) ~ (1.3). 可以证明方程(1.1)和(1.5)可以写

式中E是能 量, 符号表示变分导数.

首先考虑关于Ψ的变分. 显然, 势能对Ψ的变分为0. 利用格林公式, 动能可改写成

式中 ds是 面积微元, 可以利用拉普拉斯方程边值问题的格林函数, 将法向导数∂Φ/∂n与Ψ联系起来

式中s和s1是 表面上的点. 格林函数G是 对称的, 即动能的变分有两项

根据式(1.7)和格林函数的对称性, 可以发现这两项是相等的

由此立即得到式(1.2).

现在考虑对η的变分 (这个简单的证明由Garipov R M给出) .

对势能做变分立即给出式(1.5)①译者注: 原文为式(2.5), 应为式(1.5).的左侧项. 动能的变分给出

式中,δΦ为 边界的改变而引起的变分. 由于Φ满足拉普拉斯方程, 可以对第二个积分使用格林定理

最后我们有

于是得到式(1.5).

因此, 方程(1.2)和方程(1.5)是哈密顿方程,Ψ和η为 正则变量, 其中Ψ为广义坐标, 而η为广义动量. 流体的能量E为哈密顿量.

为了使方程(1.1)和(1.5)封闭, 必须求解拉普拉斯方程的边值问题, 找到该问题关于η的幂级数形式的解. 如果对变量x和y作傅里叶变换

将得到更为合适的级数形式.

省略细节, 立即给出展开的结果 (展到二阶项)

式中δ为狄拉克函数.

如果线性化式(1.2)和式(1.5)并仅考虑式(1.8)中的第一项, 将获得流体的小振幅表面波理论, 用于描述具备如下色散关系的波传播

通过下面的方程实现到复变量的变换

于是

变换(1.9)可视为到变量 ia∗(k)和a∗(k)的正则变换 (带有复系数) ; 则哈密顿方程(1.6)变为单个方程

利用方程(1.4), (1.8)和(1.10), 可以将能量表示为关于a(k)和a∗(k)的级数形式

其中

式中还有关于其他的四阶项, 与α∗ααα和αααα形式的乘积及其共轭成正比. 如第3节所示, 由于这些项的贡献很小, 因此将会被忽略掉.

注意到函数V和W满足以下方程

因此关于a(k)的方程具有如下形式

从 式(1.15)中可以看出,a(k)是小振幅问题的正态变量.

2 简化方程

方程(1.15)是一个适用于弱非线性的近似方程. 粗略地讲, 该方程适用于a/λ≪1的情况, 其中a为波的特征振幅,λ为特征波长. 在这种近似中, 可以对方程(1.12)进行简化. 为此, 将a(k)写为

显然, 哈密顿量(1.11)中忽略的那些项对式(2.4)没有贡献.

在使用式(2.3)时, 必须假设f≪A. 为使这一条件成立, 式(2.2)和式(2.4)中的分母不为 0是必须的. 当方程

有解时, 分母为0.

如果ω(k)是单调函数, 注意到方程(2.5)有解的一个充分条件是

其中k和k1共 线. 事实上, 如果式(2.6)成立, 可以通过把垂直于k的k1分 量添加到k1中, 放大方程(2.6)的右侧从而将其转化为等式. 另一方面, 如果与式(2.6)相反的不等式成立, 则该条件即为方程(2.5)无解的充分条件. 对于重力波, 有色散关系

为了进一步简化方程, 引入变量ξ=x−ct(这相当于转换到一个以群速度移动的坐标系); 假设解仅依赖于t和z=ξcosα+ysinα; 于是得到

方程(2.3)具有精确解

式中b0为 任意常数. 对于变量η和Ψ, 解式(2.10)具有如下形式

通过计算可以得到

在极限情况下, 对于k值较小时有Ω(k)=1/2(ka)2ω(k), 这与Stokes在1847年获得的表达式一致.因此, 解式(2.9)近似为一个有限振幅的周期波.

当

频率的偏移变为无穷大; 对于k值较大时, 频率偏移为负值.

在极限情形k→∞下, 可得

3 有限振幅波的稳定性

考虑在定常周期波背景下小扰动的发展. 寻找以下形式的a(k)

假设α在如下不等式中足够小

现将方程(1.15)对α(k)线性化. 为此仅考虑方程右侧随时间缓慢变化的项. 可得

从式(3.2)中消去α∗(k0−k), 可得

方程(3.3)有以下形式的解

如果根号内的表达式为正, 则将会产生不稳定. 为了使对于任意小的b0系统都会产生不稳定,方程γ=0应 当有一个解. 如果忽略了方程中的小量Ω(k0), 可得到方程组(2.5). 如第二节中建立的那样, 该系统对于毛细波问题可解; 因此, 该类型的不稳定性会在毛细波中产生. 不稳定的波矢量集中在面ω(k)=ω(k1)+ω(k−k1)附近的薄层中, 其厚度与振幅成比例. 不稳定性的最大增量的量阶为Req∼(ka)ω(k).

对重力波而言, 这种类型的不稳定性是不存在的. 但是重力波可能会出现较为缓慢的不稳定.将具有如下形式的A(k)代入方程(2.3)

如果对α(k)线性化, 有

该式可以简化为式(3.2)形式的方程; 该方程存在一个与 exp(qt)成比例的解, 其中q为

考虑第一种情况

与b2成 比例的项可从式(3.5)中舍弃. 对于任意小振幅, 存在不稳定性的条件是δ=0, 该条件等价于下面方程解的存在性条件

显然, 这些方程有解的一个充分条件为

其中式中向量k1与k2平 行. 不等式(3.8)要求ω(k)是上凸的. 对于重力波

该不等式必然成立.

相反地, 对于毛细波, 反向不等式成立, 表明该类型的不稳定性是不可能的.

方程(3.7)在k空间中定义了一个面. 不稳定的波矢位于该面附近, 其厚与b2成比例. 重力波不稳定性的最大增长率的量阶为

存在与n的守恒律相对应的高阶不稳定性

这种不稳定性增长率的量阶为γ∼(ka)nω(k).

以上这些不稳定性都可以称为破坏性的.

对应于一个有限的振幅.

寻找以下形式的解

对于ω有

从式(3.9)可以看出, 如果ωλ<0, 则可能产生不稳定性, 但是只有足够小的波矢才会激发不稳定

考虑表面波在不同波数下的情况.

(1) 波数区间

及其渐近线之间.

(2) 波数区间

其中w>0,λ⊥>0,λ∥>0, 此时不稳定性一般不可能产生.

(3) 毛细波区间

不稳定的区域为椭圆内部

可以对方程(2.9)作变量变换

方程(2.9)可化为

这些方程与压力和密度具有绝热关系的气体动力学方程

类似, 它们的区别在于毛细波包含了对z的三阶导数项. 如果考虑特征尺度为L的充分大尺度的运动, 则对于

三阶导数项即可被忽略. 对于正压力wλ>0 , 方程(3.10)描述了波速为的声波. 对于负压力, 此时声波的速度为虚数, 这意味着初始扰动会呈指数增长

由此, 得到了负压型不稳定性的情况.

注意到如果在式(3.6)中令k→k0, 则式(3.9)可从负压不稳定性的增量得到. 因此, 负压不稳定性是重力波缓慢破坏不稳定性的极限情况.

感谢与Ovsyannikov L V和Sagdeev R Z收获颇丰的讨论.