核心素养导向下的试题研究

张立

【摘要】教师在平时的教学或解题过程中，会遇到一些对提升学生数学素养有较大帮助的好题，我们不能仅局限于对问题的解决，也要关注问题本源的探究和结论的拓展，并在此基础上变式、衍生出一些相关问题，让学生进行训练，提升学生的数学核心素养.

【关键词】新高考;数学核心素养;定值

一、问题的提出

2021年江苏高考启用全新的全国高考试卷，试卷模式等同于2020年山东高考、海南高考的新高考卷.最近，我们认真分析了2020年山东高考数学试卷，其与老江苏高考数学试卷有明显不同.如山东数学卷最后一题是解析几何中常见的定点问题，而在最近几年的江苏高考中已经淡化了与之相关的问题.面对新的高考试卷模式，我们有必要对解析几何中一些常见的典型问题进行分析、研究，特别是定点、定值等一些解析几何中常见的问题.最近，我们在解答一道定值问题时，发现这道试题不仅命题角度比较新颖，而且对学生的数学运算和逻辑推理素养提出了较高要求，而这些核心素养贯穿于整个高中数学学习的始终，需要在平时就加强训练.我们通过研究，不仅得到了比较简单的、全新的解法，而且得到了一些有趣的结论.

评注：方法二与方法一相比，将点N到PQ的距离转化为点O到PQ的距离的4倍，这样在一定程度上减少了计算量.不管是方法一还是方法二，计算量都比较大，对学生的运算求解能力提出了较高的要求.圆锥曲线问题虽然运算量大，但是有一些步骤是大致相同的，学生在平时的训练过程中要达到内化于心的程度，在考试时才能外化于行.我们通过深入研究，如果采用椭圆的参数方法进行处理，计算量将明显减少.

运用它表示出△PQN的面积，极大地减少了运算量.

三、试题的溯源、拓展结论

1.竞赛题背景

本题是对2017年全国高中数学联赛贵州预赛题的改编.如图，已知三角形三个顶点在椭圆x212+y24=1上，坐标原点O为ΔABC的重心，试求ΔABC的面积.

2.拓展结论

解出一道题大家都会，关键是如何挖掘该题进而解决一类题才是关键.正如G·波利亚曾说：“拿一个有意义又不复杂的题目去帮助学生发掘问题的各个方面，使得通过这道题就好像通过一道门户，把学生引入一个完整的领域.”该题正是这样一道题，下面对该题进行结论拓展.

当然，证明过程也可以运用方法一的思路，即设出直线PQ的方程進行论证，只是运算量比较大，在此不再赘述.

这样的结论在双曲线中是否成立呢？经过探究，我们发现这个结论对于双曲线也是成立的.

限于篇幅，此结论在此不作证明.

四、结束语

单墫先生在《解题研究》中提出了12条解题要诀，其中一条为：解题或探究问题“应力求简单自然，直剖核心”.探究数学问题时，我们只有经过深度思考，才能洞察问题的本真结构，才能直剖核心，透出思路，发现美感.在平时的教学或者解题过程中，教师应该多深入研究数学问题，知道问题考查了学生哪方面的数学核心素养，知道问题的变式及本源.同时，我们还要将所研究的数学问题以某种恰当的方式和学生共同探究，这样不仅可以培养学生探究问题的能力，也可以潜移默化地提升学生的数学素养.

【参考文献】

[1]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版）[M].北京：人民教育出版社，2018.

[2] G·波利.怎样解题 [M].上海：上海科技教育出版社，2012：44.

[3]单墫.解题研究[M].上海：上海教育出版社，2002：27.