浅析初中数学教学中线段中点、角平分线题型的解题策略

谭极阳　谭杰中　李杰　杨文

【摘 要】面对几何问题，许多学生往往不会书写解题过程、解题思维混乱、解题格式不规范。究其原因，主要是学生没能把握此类问题中题目或图形的特点，没能抓住不同问题的共同特征。笔者通过对有关线段中点、角平分线问题的梳理，发现只要能找到题目中存在的公共端点或公共射线，就能够知道是将所求线段或角相加还是相减，此举有利于扫清学生认知障碍，确定书写步骤，达到高效解题的目的。

【关键词】线段中点;角平分线;解题策略;公共端点;公共射线

【中图分类号】G633.6  【文献标识码】A  【文章编号】1671-8437（2021）28-0081-03

求解或证明几何问题，需要提炼题目中的关键信息，分析同种类型题目的不同之处，并能找到不同题目的相似之处。解决几何图形题需要注意积累基本图形，学会将复杂几何图形问题转换成已掌握的一个或多個基本图形，并逐个击破，从而高效解题。

下面，笔者主要对北师大版数学教材七年级上册第四章“基本平面图形”中常见的考题进行归类，并加以分析。以期让学生准确把握这类题型的特点，找到图形的关键信息，明确书写步骤，并掌握相关题型的思考方式，为以后初中数学几何部分的学习打好基础。

1   找到公共端点或公共射线

1.1  寻找线段中点类型题目的公共端点

何为公共端点？当题目出现多条已知线段，这些线段中重复多次出现的点即为公共端点，而公共端点就是一个很好的解题突破口。如已知线段AB、BC，则点B为公共端点，这是解决这类问题或者以后研究几何题目首先需要关注的地方。

1.1.1  公共端点在内部

例1：如图1，已知M是AC的中点，N是BC的中点。若AC=2 cm，BC=4 cm，求MN的长。

解析：例1为本章常规题型，大部分学生能求出MN的长度，但是在思考和书写上面就相对混乱，不知道由线段中点的定义，到底是要得到AM=MC=AC，还是AC=2AM=2MC;也不清楚MN是通过怎样的加、减转换得到;更加不能推导出MN与AB的数量关系。

其实在解决此类问题时，只要抓住题目中M、N到底是哪两条线段的中点，找到这两条线段的公共端点，所有的书写难点都可以一一突破。

回顾题目“已知M是AC的中点，N是BC的中点”，按照笔者的思路，发现相邻两条线段AC、BC的公共端点为“点C”，而点C位于所求线段MN的内部，则所求线段MN一定是表示成MC+NC。这样分析后，思维障碍得以消除，书写难度得以降低。下面将解答过程附上，以验证笔者的观点。

解：∵ M是AC的中点，N是BC的中点（已知），

∴ MC=AC，NC=BC（线段中点的定义），

∴ MN=MC+NC

=AC+BC（等量代换）

=（AC+BC）（乘法分配律逆用）

=AB。

只要是上述类似的题目，都可以借鉴上面的书写格式，进而得到正确答案。

1.1.2  公共端点在外部

例2：如图2，已知M是AC的中点，N是BC的中点。若AB=6 cm，BC=4 cm，求MN的长。

解析：面对例2这类题时，学生往往不善于分析题目信息，盲目地认为B点就是公共端点，但其实不然，学生太过关注已知长度的线段，而忽视产生中点的线段。教师可以引导学生再次审视题目，并与例1进行对比，发现“M是AC的中点，N是BC的中点”是这两道例题的相同部分，所以点C才是公共端点。

例2与例1的题干可以说是一模一样，只是题目所给数据和图形有所区别。按照笔者的思路，也能够发现两条重叠的已知线段AC、BC的公共端点为“点C”，而点C位于所求线段MN的外部，所求线段MN一定是表示成MC?NC。通过对比，发现例2与例1的区别只是将“+”变成了“?”，其他步骤过程应该保持不变。

解：∵ M是AC的中点，N是BC的中点（已知），

∴ MC=AC，NC=BC（线段中点的定义），

∴ MN=MC?NC

=AC?BC（等量代换）

=（AC?BC）（乘法分配律逆用）

=AB。

上述两例均为求解由两条已知线段的中点构成一条新线段长的问题，笔者对这类问题的求解步骤进行了如下总结：

（1）首先找到两条已知线段的公共端点。

（2）如果公共端点在所求线段内部，则将所求线段书写成加法运算;如果公共端点在所求线段外部，则将所求线段书写成减法运算。

（3）通过乘法分配律的逆用，得到所求线段为剩下两个非公共端点构成的线段的一半。

上述两种图形称为线段中点类问题的基本图形，分析较复杂题目时，首先考虑分解出此类图形。

1.2  寻找角平分线类型题目的公共射线

何为公共射线？可以类比给出解释：当题目出现多个已知角，这些角中重复多次出现的射线即为公共射线。如已知∠AOB、∠BOC，则可以先关注公共射线OB。

1.2.1  公共射线在内部

例3：如图3，已知OE平分∠BOC，OD平分∠AOC。若∠BOC=40°，∠AOC=70°，求∠DOE的度数。

运用类似于上面找公共端点的方法来找公共射线。观察图形可以知道相邻两个角∠BOC、∠AOC的公共射线为“射线OC”，而射线OC位于所求∠DOE的内部，所求∠DOE一定是表示成∠DOC+∠EOC。

解：∵ OE平分∠BOC，OD平分∠AOC（已知），

∴ ∠EOC=∠BOC，∠DOC=∠AOC（角平分线的定义），

∴ ∠DOE=∠EOC+∠DOC

=∠BOC+∠AOC（等量代換）

=（∠BOC+∠AOC）（乘法分配律逆用）

=∠AOB。

1.2.2  公共射线在外部

例4：如图4，已知OE平分∠BOC，OD平分∠AOC。若∠BOC=40°，∠AOC=130°，求∠DOE的度数。

解析：由图可知∠BOC、∠AOC的公共射线为“射线OC”，而射线OC位于所求∠DOE的外部，所求∠DOE一定应该是表示成∠DOC?∠EOC。这里需要特别注意，因为观察图形发现∠DOC比∠EOC大，所以只能用∠DOC减∠EOC。

解：∵ OE平分∠BOC，OD平分∠AOC（已知），

∴ ∠EOC=∠BOC，∠DOC=∠AOC（角平分线的定义），

∴ ∠DOE=∠DOC?∠EOC

=∠AOC?∠BOC（等量代换）

=（∠AOC?∠BOC）（乘法分配律逆用）

=∠AOB。

上述两例均为求解由两个已知角的角平分线构成一个新角的问题，笔者通过对其分析，对这类问题也进行了步骤总结：

（1）首先找到两个已知角的公共射线。

（2）如果公共射线在所求角的内部，则将所求角书写成加法运算;如果公共射线在所求角的外部，则将所求角书写成减法运算。

（3）通过乘法分配律的逆用，得到所求角为剩下两条非公共射线构成角的一半。

上述两种图形称为角平分线类问题的基本图形，分析较复杂题目时，首先考虑分解出此类图形。

2   通过作辅助线转化成上述基本图形

有一类题目无法直接找到图形中的公共端点或公共射线，但是已知条件又和上面的类型完全一样，同样也是求“两条已知线段中点构成一条新线段”或“两个已知角的角平分线构成的一个新角”与已知条件之间的数量关系。学生碰到此类问题往往不知所措，因为他们没有掌握将复杂问题转化为多个简单问题的方法。

2.1  涉及线段中点但无公共端点的题型

例5：如图5，已知AB=12 cm，CD=5 cm，E为AC的中点，F为BD的中点，求EF的长度。

解析：学生完成这类题目时，常出现书写不规范的情况。为帮助学生掌握使用基本几何图形解决复杂问题的思路，本题采用构造中点的方式进行解答。

通过作CD的中点G，将EF转化为EG+FG，然后再将原图形看成两个与上述总结的基本图形完全一样的图形（如图6、图7）。在图6中，由于点C为线段AC、CD的公共端点，使用前面的结论很容易得到EG=AD;在图7中，点D为线段CD、BD的公共端点，所以得到FG=BC。从而有EF=EG+FG=AD+BC=（AB+CD）。

2.2  涉及角平分线但无公共射线的题型

例6：如图8，已知∠AOD=160°，∠BOC=160°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOD。求∠MON的大小。

解析：通过作∠BOC的角平分线OE，将∠MON转化为∠NOE+∠MOE，然后再将原图形看成两个与上述总结的基本图形完全一样的图形（如图9、图10）。在图9中，由于射线OB为∠BOD、∠BOC公共射线，使用上面的结论很容易得到∠NOE=∠DOC;图10中，同样射线OC也为∠AOC、∠BOC公共射线，所以得到∠MOE=∠AOB。从而有∠MON=∠NOE+∠MOE

=∠DOC+∠AOB

=（∠AOD?∠BOC）。

3   引导学生抓住题型特点

3.1  回顾反思

回顾上述例5、例6这两个较复杂的题目，一个结果中是已知线段相加，而另一个是已知角相减，看上去没有前面4个例子介绍的直观结论。其实在研究这些题目的时候，只需要引导学生找到题目中含有哪些常见的基本几何图形，接着再观察本题中线段或角的大小关系、位置关系，就可以得到完整的正确的解答（证明）过程。

在给学生讲解几何问题时，教师不能就题讲题，只让学生掌握本题的书写或记住此题的结果，而是要教会学生学会挖掘类似题目的相关信息，找到其中的特点并加以研究。解决复杂几何问题时，让学生能从中提取出一些自己已经掌握的基本图形，再用已学知识进行分析，从而达到降低解题难度，增强学习信心，提高解题效率的效果。

3.2  总结提升

3.2.1  有助于学生准确把握题型特点

本类型题目不存在特别复杂的情况，主要是把握本题的特点——双中点或双角平分线。如果学生以后碰到类似问题，完全能够准确把握题目给出的公共端点或公共射线，进行思考和解题。

3.2.2  有助于学生发现图形关键信息

本类型题目作为初中几何的开始章节，有助于学生在图形中标记关键信息（公共端点或公共射线），通过几何图形直观发现问题的解决途径。

3.2.3  有助于学生正确且清晰地书写

学生往往不能够十分简洁、正确的进行步骤的书写，本文通过“角平分线的定义、确定加（减）运算、使用等量代换、利用乘法分配律”等步骤，引导学生正确且清晰地书写几何问题解题步骤。

3.2.4  有助于学生掌握高效思考方法

能够快速找到最为简洁的解题方法，是学生通过教师的指导应该达到的水平。本文既为教师提供了帮助，也有助于学生通过这类题型的学习，提升自己思维能力，掌握高效思考方法。