渗透数形结合思想，提升数学解题能力

韩辉

摘  要：学生的数学解题能力培养要通过合理有效的途径来实现，而数形结合思想的理解与领会可以有效提升学生的数学解题能力，通过以数解形引导学生发现数学题目中的规律，通过以形助数，映射数形结合思维，让学生结合题目中的条件需求、抓住隐含条件进行题目解答，通过题目的转化实现数学知识的融会贯通，最终让学生习得数形结合思想的精髓，切实提升学生的数学解题能力。

关键词： 初中数学;数形结合;解题能力

数形结合思想是数学学习过程中必不可少的思想之一，它是通过将定量的数字和形象图形相结合的方式，利用两方面的条件进行综合思索，最后实现题目解答的目的。通过让学生习得数形结合思想，能够有效促进学生的数学解题能力提高，让学生真正对数学学习的方法技巧形成自己的正确经验和认知，促进学生的数学学习。

一、以数解形，发现规律

（一）解计算题，联动转化

在教学过程中渗透数形结合思想，首先要引导学生以数解形，通过数字解出图形的相关元素，发现题目规律，在这一步骤中，首先要针对计算题目进行联动转化，让学生实现对于图形结合的计算题目的解答，实现自身解题能力的提高，这属于渗透数形结合思想的基础步骤，为后续教学策略的开展打下良好基础。

如在“矩形、菱形、正方形”这一节中，学生需要学习到与矩形、正方形面积计算相关的数学知识，此时教师就可以让学生针对计算题目进行练习，将数字转化为图形中的参数进行解题规律的发现。教师首先向学生讲述正方形、长方形的面积如何计算，正方形的四条边都相等，因此可以转化为面积S=边长a×边长a，而长方形的面積可以转化为S=长a×宽b，在学生理解这两个面积公式后，教师为学生出计算题让学生进行计算：“在这一长方形中，其中一条边的边长为8cm，与之相邻的一条边边长为4cm，求这一长方形的面积，以4cm的边进行正方形的绘制，求正方形的面积。”学生此时就会将题目条件中给出的数据转化为图形中的参数，发现可以将给出的8cm、4cm变为长方形的长和宽，因此长方形的面积就比较容易求得为8×4=32cm2，而正方形的边长是相等的，因此一条边的边长为4cm，就可以看作边长a=4cm，因此面积就是S=4×4=16cm2。这样就实现了通过数字解答图形问题，让课本中的知识转化为解题能力的过程，让学生的数形结合思想得到初步积累和发扬，奠定了基础。

计算题目锻炼的是学生的计算能力，让学生能够根据基本的图形进行较为复杂的数学计算，为学生的数形结合打下较为深厚的计算基础，从而促进学生的数学题目解答，帮助学生在数字方面实现能力增长和进步。

（二）解证明题，联动比较

证明题锻炼的是学生的逻辑思维能力，教师要在进行数学教学的过程中为学生引入证明题目，让学生在其中进行较为深入的线索寻找和比较证明，实现数学知识的联动比较，通过对证明题目的解答实现自身逻辑思维能力的提高。在这一步骤中，学生在习得数形结合思想时所需的思维能力也得到了有效培养。

如在“轴对称图形”这一节中，学生要学习到与轴对称相关的数学知识，此时教师就可以引导学生进行证明题的解答，联动比较几种图形不同的变换特点和操作方式。教师首先为学生讲解平移、旋转、轴对称三种平面图形变换的基本概念，接着为学生出一道证明题：“图中的三角形经过了平移、旋转、轴对称三种图形变化后变为了右侧三角形，请证明这一命题。”学生此时就会开始观察，首先由于图中右侧三角形和原图形存在一定距离，因此学生可以肯定的是这一图形进行了平移变化，学生计算出向右平移了6格，接着就需要证明这一图像经过了旋转，由于给出的图形为直角三角形，而右侧三角形的直角明显不在原位置，因此学生可以判断进行了轴对称或者旋转，学生首先将图形进行旋转，发现依旧无法和原图形重合，但是经过180°旋转后的图形，在经过轴对称变换可以与原图形重合，这样就证明了这一图形总共经过了3种变换才形成了右侧三角形，就实现了证明题的解答。教师此时让学生针对这三种方式进行比较：“这三种图形变化的方式存在哪些不同？”学生此时就会进行联动比较，回答教师：“平移是只针对图形的位置进行移动，而旋转是针对图形的角度进行变化，轴对称则是依照某一对称轴进行对折，三种属于不同的变换方式。”这样学生就实现了对证明题解答后的知识比较。

这样让学生进行证明题的思考，让学生能够联系题目中的各类条件，形成综合思维解答数学题目，有效促进学生的数学逻辑思维能力培养，为数形结合思想的形成打下良好的基础，促进学生对逻辑梳理方法和模型的建立，提升学生的数学解题能力。

二、以形助数，映射思维

（一）结合条件需求，化数为图

在教学过程中渗透数形结合思想，不仅仅需要以数解形，发现题目中的规律，还需要教师引导学生以形助数，将数学思维有效映射出来。首先教师要在为学生讲解题目时，教会学生结合题目中的条件需求，将数字化为图形，通过图形实现数学题目的解答，这种方法既可以运用于数学题题目的讲解，也可以运用于数学原理的领会。

如在“丰富的图形世界”这一节中，学生初次接触到与长方体、正方体相关的数学概念，此时教师就可以引导学生结合条件需求，化数为图。教师首先让学生了解长方形和正方形的概念：“大家看到我黑板上画出的图形，长方形有四条边，对边相等，有四个角都是直角，由长方形构成了我们要学习的长方体。而正方形的四条边都相等，四个角都是直角，所有面都是正方形的几何体就是正方体。”为学生展示两个几何体的图片，教师在这一过程中讲述：“我们只有把握好了正方形、长方形的概念才能进一步把握长方体、正方体的概念，两个图形主要是通过边长进行区分，例如长为4cm、宽为3cm的长方形，我们是这样对图形进行量化区分。”待学生理解教师所说后，教师为学生出题，让学生结合条件需求将数字转化为图形：“请同学们在纸上画出一个边长5cm的正方形和长为8cm，宽为4cm的长方形。”学生此时就会开始在笔记本上进行绘画，在绘制完成后，教师让学生继续进行绘制：“画出以刚刚图形为底面的长方体和正方体。”这样学生就结合教师给出的几何图形边长的这一条件需求，实现了将数字转化为图形的基本操作，这样学生就能够对长方体、正方体的边长产生一定敏感，以后更好地实现数形结合思想的有效运用。

条件需求为学生的数学学习指明了思考的目标和中心，教师要告知学生数学题目的解答要时刻围绕题目中的条件需求进行，在这一前提下将题目中的数字变为图片，实现对数形结合思想的领会，促进自身数学思维能力的提高。

（二）抓住隐含条件，追溯线索

让学生进行以形助数，映射思维，同样需要教师引导学生抓住题目中的隐含条件，进行线索的追溯，在追溯线索、梳理解题方法的过程中，学生能够自主的将图形和数字相结合，实现数形结合思想的运用，培养自身的数形结合能力。

如在“角”这一节中，学生要学习到与角大小相关的数学知识，此时教师就可以让学生抓住隐含的条件进行解题线索的追溯。教师首先带领学生了解课本中的直角、平角等概念，让学生了解直角为90°，平角为180°这类定量知识，接着为学生出题：“在一个直角中，角一为45°，那么角二为多少度？你能够不使用量角器进行解答吗？”学生此时就会开始思考，如果不使用量角器进行测量，就必須通过题目中的条件进行解答，但是题目中没有明确给出相关角的度数，突然学生发现题目中存在着隐含条件“在一个直角中”，因此学生就理解了外部的大角为90°，若要计算其中的角二，用90°-45°即可，最后得出了相关答案45°，这就让学生实现了利用题目中的隐含条件进行解题。

引导学生抓住题目中的隐含条件，可以让学生学会在解答题目时通过线索的梳理发现题目中隐藏的解题思路，让学生通过追溯线索实现数形结合。

三、相互转变，融会贯通

（一）分析数量关系，直观展示

运用数形结合思想的最终步骤，就是让学生学会数字和图形之间相互转化，帮助学生真正实现数形结合思想的融会贯通。在这一过程中，教师要引导学生分析数学题目中的数量关系，让学生通过图形实现数据的直观展示，培养学生的数形结合思想，促进学生数学知识的有效学习。

如在“数据的收集、整理、描述”这一节中，学生要学习到与统计图相关的数学知识，此时教师就可以让学生进行数据收集，让学生通过分析数量关系制作图表进行直观展示。教师首先让学生收集全班同学的身高数据，接着让学生以10cm为一区间，将同学们的身高绘制在统计图中，此时学生就开始绘制图表，例如身高在130～139cm的同学有5人，学生就会在统计图上绘制出5人的条块来表示，当学生将所有同学的身高都归入统计图中后，就实现了对数据的直观展示。

分析数量关系不仅仅是对数学题目中条件的分析，同样是在进行解题思路和线索的寻找，教师将这种数量关系直观展示给学生，可以让学生清晰判断出应当采用何种计算方式针对这样的数量关系进行计算。

（二）尝试整体代入，凸显思路

进行数形结合，还可以直接将数字整体带入图形，实现对图形中各个条件进行全面的梳理和归纳，从而找出相应的解题思路，这种方法主要是通过数字条件辅助图形进行解题，有效促进了学生数形结合思想的培养。

如在“对称图形——圆”这一节中，学生要学习到与计算圆面积相关的数学知识，此时教师就可以让学生利用圆的面积公式将题目条件直接带入，例如在进行圆环面积计算时，不需要先计算大圆面积再减去小圆面积，而是直接可以通过半径相减R-r整体带入面积公式实现计算，这就凸现了较为简便的解题思路。

这样尝试整体带入后，全部的图形条件和数量条件都呈现在了学生面前，有效促进了学生对解题思路的思考，帮助学生实现了数学题目的解答，锻炼并培养了学生的数形结合思想。

在数学教学的过程中渗透数形结合思想，可以有效提升学生的数学解题能力。未来期待有更多学者针对这一理念展开更深层次的研究，探索出更加有效可行的方法促进学生的数形结合思想培养，为学生的数学学习打开高效之门。