工科线性代数教学方法研究

孔 翔 宇

(咸阳师范学院数学与信息科学学院，陕西 咸阳 712000)

《线性代数》课程是理工经管类专业的专业基础课，如何上好《线性代数》对于大学生教育教学质量起到了至关重要的作用[1-5]。目前在《线性代数》课程的教学方法上有许多种建议，主流思想是伴随着现在“互联网+”的出现，教师和学生应该充分应用互联网、多媒体等资源，颠覆传统的教学方法，充分利用慕课、翻转课堂等手段，以及利用微信、公众号等资源进行教学和学习，完全颠覆了传统的板书式教学方法，忽略了《线性代数》特点。本文以理工科同济大学第七版的《线性代数》教学内容为主，采用板书式教学方法对教学内容进行分析研究。

一、行列式

在同济大学第七版的《线性代数》的教学内容中，与第四版不同之处在于将克拉默法则由第一章放到了第二章，这样第一章的教学内容就只剩下5小节，主要是讲述行列式的定义、行列式的性质和行列式按行或按列展开定理。在这一章的教学过程中，以往作者也采用过多媒体课件教学方法，可以通过多媒体课件更形象化进行教学，同时由于高阶行列式的书写非常麻烦，利用多媒体课件就可以不用书写，直接在ppt上进行展示，课堂教学进度也得到了很大的提升，教师在上课的时候相对传统的板书式教学减轻了很大一部分工作量，但在利用多媒体课件进行教学时，不能忽略的一个缺点是没有仔细精致的分步骤演算过程。在介绍n阶行列式的定义时，如果利用板书式教学方法，就可以非常形象的由2阶行列式和3阶行列式出发，进一步的推导出n阶行列式的定义。对于行列式的性质，每一个性质及其推论都需要进行详细的推导，在板书上进行教学，学生可以仔细观察推演过程，同时教师推导，就会留有时间给学生进行充分的思考，保证了教学效果。在行列式按行或按列展开定理的讲授中，利用板书式教学方法能有效的区分行列式的余子式和代数余子式之间的区别和联系，如果利用多媒体课件进行教学，有可能只是在ppt上进行简单演示，而忽略了教学内容的重点。利用板书则能通过具体小例子的引入加深同学们对行列式的余子式和代数余子式的认识，更深刻地理解行列式按行或按列展开定理。

二、矩阵及其运算

在矩阵的教学中，首先介绍矩阵与行列式之间的区别和联系，矩阵的是一个数表，而行列式是一个数。既然矩阵表示的是一个数表，那么对于矩阵而言，如果两个矩阵相等，就需要两个矩阵的行数和列数一定要相等，并且对应元素也要一样。而行列式的相等是只要两个行列式的最终结果是一样的就可以，没有要求两个行列式的阶数必须相同。在矩阵和行列式的对比中，可以发现矩阵的行数和列数不一定相等，既可以行数大，也可以列数大，也可以相等，但行列式要求行数和列数一定要相等，这就自然而然的带来一个思考行数和列数相等的矩阵与同阶数的行列式之间有什么样的关系，这就需要我们引入行列式与方阵之间的性质。一定要注意矩阵的阶数在计算过程中起到的作用，在此处教学中可以在板书上进行计算，阐述数和矩阵相乘等价于矩阵的每个元素都乘与这个数，而数与行列式相乘等价于数和行列式的某一行或某一列相乘，这是矩阵和行列式的本质差别。在计算矩阵的逆矩阵时，需要注意矩阵的逆矩阵的计算和矩阵的行列式和伴随矩阵有关系，其中矩阵的行列式作为了分母，这就说明如果矩阵的行列式等于零，那么矩阵的逆矩阵不存在，也即矩阵可逆的充要条件是矩阵行列式不等于零。同时要注意伴随矩阵是元素代数余子式的转置构成的，这个就需要掌握行列式的代数余子式的概念。在矩阵的分块法的教学中，可以通过板书展示，对于矩阵而言其分块方法有很多种，不要局限于某一固定方法，只要是有利于计算的分块方法都可行的。

三、矩阵的初等变换与线性方程组

首先要讲授的是矩阵的初等变换，初等行变换和初等列变换各有三种：交换两行、用不等于零的数乘矩阵的某一行和用数乘某一行加到另一行上去。每一种初等变换对应于一种初等矩阵，并且初等矩阵都是可逆矩阵，左乘一个初等矩阵等于对矩阵进行了一次初等行变换，右乘一个初等矩阵等于对矩阵进行了一次初等列变换。对于任何一个可逆矩阵而言，逆矩阵是有限个初等矩阵的乘积。矩阵的初等变换里面通过板书进行行阶梯形矩阵和行最简形矩阵的介绍，说明这两种形式的矩阵在以后的教学中占有重要的地位。矩阵的秩等于行阶梯形矩阵的非零行的行数，同时要给出矩阵的秩的相关证明。在矩阵的秩的证明过程中，一定要用板书进行教学，一方面对证明过程进行梳理，另一方面要给出相应的小例子来说明结果的正确性，使学生真正掌握知识。在线性方程组的教学过程中，首先需要学生分清楚什么是齐次线性方程组，什么是非齐次线性方程组。对于齐次线性方程组而言，它的解一定存在，因为至少零是它的一个解，那我们对于齐次线性方程组就需要考虑在什么时候有非零解的存在，这就需要联系矩阵秩的定义。而对于非齐次线性方程组而言，它的解情况就可以有三种，一种是无解、一种是唯一解、一种是无穷多解，这三种解也和方程组的系数矩阵的秩和增广矩阵的秩有直接关系。通过板书式教学，逐步迭代运算，加强学生逻辑推理能力和计算能力的培养。

四、向量组的线性相关性

首先讲授的是向量组和线性组合，在这里面需要注意的是矩阵是由若干个行向量组构成的，也可以看成是由若干个列向量组组成的，因此对于向量组的讨论也可以转化为对矩阵的讨论，这就等价于第二章、第三章的矩阵相关的知识在第四章仍然是适用的。在这一章的教学中，第一个需要掌握的知识点就是向量组的最大无关组，本质是因为矩阵都是有限维的向量构成的集合，但对于无限维的向量构成的向量组的研究，就需要引入向量组的最大无关组的定义，将有限维向量组拓展到无限维向量组，通过这一工具就能研究更广阔空间的向量组。在讲授线性方程组的结构时，重点讲授基础解系的概念，需要强调的是线性方程组的基础解系不唯一，只要是相互线性无关的向量就可以，通过写出线性方程组的基础解系可以给出线性方程组的通解。本章最重要的一个知识点就是向量组的线性相关性。在介绍向量组建的线性相关性时，阐述线性相关与线性无关的定义。对于只有一个向量的向量组而言，只要它不是零向量，那就一定是线性无关的，而如果是零向量那就一定是线性相关的。对于两个向量构成的向量组如果线性相关，那么这两个向量对应成比例，同时这两个向量也是共线向量。对于三个向量构成的向量组如果线性相关，那么这三四个向量是共面向量。在讲授式可以采用板书式教学方法，引导学生理解向量组的线性相关性。

五、相似矩阵及二次型

首先由高中阶段的向量的内积、夹角、长度等定义出发将其过度到向量空间中的内积、夹角、长度，同时需要学生掌握向量组的正交性以及向量组的施密特正交化过程的计算方法。其次就是讲授方阵的特征值与特征向量，对于方阵而言，在复数域内方阵是几阶的其特征值就有几个，同时对于方阵的相应于特征值的特征向量一定是非零向量，这里面说明特征向量也不是唯一的，特征向量有很多，但一定不能用零乘特征向量作为矩阵的特征向量。在讲授相似矩阵对角化时，要通过引入正交矩阵的概念来阐述怎样将对称矩阵对角化，最后需要讲授的是矩阵的二次型，在二次型的讲授中，需要说明什么是正定二次型，什么是负定二次型以及如何判断。可以通过矩阵的顺序主子式来判定二次型，只要顺序主子式都大于等于零，则是正半定二次型，若顺序主子式全部都大于零，则是正定二次型。同时需要学生掌握配方法化二次型为标准型。上述内容通过板书式教学展示，学生能充分理解问题的推导过程以及计算过程，有利于培养学生的学习能力和学习兴趣，能够促进《线性代数》这门课程的教学，对学生后续专业课的学习起到推动作用。