关于最值问题与经济类专业结合的教学设计

赖新兴

(江西理工大学 理学院，江西 赣州 341000)

高等数学是高等院校的公共数学基础课程之一，也是后续专业课程的一门必备工具课程。在高等数学的教学过程中如何有效地与专业课程结合起来，明确学生学习的目的，激发学生学习的兴趣，调动学生学习的主动性，是高等数学教学改革的方向之一。

1 最值问题与经济类专业结合的教学设计

最值问题是高等数学中重要的教学内容，以经济类专业为例，提供教学设计思路，融入经济类专业特色，给出教学设计的具体过程，对高等数学教学与专业结合方面起到抛砖引玉的作用。

1.1 创设情境，提出问题

在经济类专业中，常常会遇到这样一类问题：在一定条件下，怎样使“产品最多”“用料最省”“成本最低”“利润最大”等问题，这类问题在数学上有时归纳为求某一函数（通常称为目标函数）的最值问题，最值问题包括最大值问题和最小值问题[1]。结合经济类专业创设情境，引入问题，引例取自学生所在专业中涉及的问题，让学生体会到学习高等数学是有用的，培养学生用数学方法解决专业问题的能力。引导学生思考下面的引例，

已知条件：[1]假设某工厂生产某产品x千件的成本是 C（x）＝x3－6x2＋15x，售出该产品 x 千件的收入是 r（x）＝9x。

老师提问1：是否存在一个能取得最大利润的生产水平？

老师提问2：如果存在的话，如何找出这个生产水平？

【设计思想】引例问题紧扣专业特色，经济类专业学生对经济类问题存在浓厚的求知欲，引导学生发现问题，激发学生主动探索解决实际问题的方法。

1.2 师生互动，探究问题

以上问题是经济类专业中比较常见的“利润最大”问题，引导学生从专业问题中挖掘出数学模型，其实就是最值问题，为了解决这类问题，我们需要讨论

问题：函数在一定条件下如何求解最大值和最小值？

【设计思想】引导学生在专业实际问题中寻找数学模型，培养学生数学建模的能力，训练学生用数学方法解决专业中碰到的问题。

假定满足条件：函数 f（x）在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内除有限个点外可导，且至多有有限个驻点。积极鼓励学生思考为什么要假设满足这些条件。

引导学生思考以下两个问题：

问题1：最大值和最小值是否存在？

引导学生回顾闭区间上连续函数的性质可知，f（x）在闭区间[a,b]上的最大值和最小值一定存在。

问题2：如果存在，在哪里取到最大值和最小值？

引导学生分两种情况思考最大值和最小值取得之处，

（1）第一种情况在区间端点处取得；

（2）第二种情况在开区间[a,b]内的点x0处取得，那么，按 f（x）在开区间(a,b)内除有限个点外可导且至多有有限个驻点的假定，可知f（x0）一定也是 f（x）的极大值（或极小值），从而 x0一定是 f（x）的驻点或不可导点。

【设计思想】引导学生掌握解决实际问题的方法，首先从实际问题中抽象出数学问题，利用数学知识解决实际问题，让学生体会到数学的价值性，从中感受学习数学的愉悦感。

根据以上讨论的情况，我们可用如下方法求f（x）在[a,b]上的最大值和最小值。

（1）求出 f（x）在(a,b)内的驻点或不可导点；

（2）计算 f（x）在上述驻点、不可导点处的函数值及 f（a），f（b）；

（3）比较（2）中诸值得大小，其中最大的便是f（x）在[a,b]上的最大值，最小的便是 f（x）在[a,b]上的最小值。

【设计思想】经过苦思冥想之后，通过自己的艰辛努力，问题终于得以解决，让学生感受到成功的喜悦，学习数学的信心倍增，进而激发学习数学的兴趣。

1.3 类比联想，解决问题

利用以上一般情况求解最大值和最小值的方法，引导学生类比联想，解决引例问题。[1]售出千件产品的利润是

如果 p（x）取得最大值，那么它一定在使得 p＇（x）=0的生产水平处获得。因此，令

故在 x2＝3.414处达到最大利润， 而在 x1＝0.586处发生局部最大亏损。

【设计思想】把前面提出的问题一一解决，解除学生心中的疑问，让学生理清思路，引导学生进一步深入思考。

在经济学中，称 C＇（x）为边际成本，r＇（x）为边际收入，p＇（x）为边际利润。上述结果表明：在给出最大利润的生产水平上，r＇（x）＝C＇（x），即边际收入等于边际成本。上面的结果也可以从图1的成本曲线和收入曲线中看出。

图1

【设计思想】在学习过程中介绍经济类专业中涉及到的概念，让学生在学习过程中潜移默化地接受新知识。

1.4 讨论交流，举一反三

和学生一起讨论以上解决问题的方法，鼓励学生之间互相交流，并且通过设计专业的实际例子和学生举一反三。

举一反三[1]一房地产公司有50套公寓要出租。当月租金定位4000元时，公寓会全部租出去。当月租金每增加200元时，就会多一套公寓租不出去，而租出去的公寓平均每月需花费400元的维修费。试问房租定为多少可获得最大收入？

引导学生根据实际问题先进行假设，设每套月房租为元，则租不出去的房子套数为

租出去的套数为

租出的每套房子获利（x－400）元。故总利润为

令 y＇＝0，得驻点 x＝7200。 由 y＂＜0 知 x＝7200为极大值，又驻点唯一，这极大值点就是最大值点。即当每套月房租定在元时，可获得最大收入。

【设计思想】举一反三能够让学生巩固所学知识，讲授完一个知识点，布置相同类型的问题，让学生互相讨论交流，把刚学的知识应用起来，训练学生灵活应用知识的能力。

1.5 变式训练，巩固提高

在讲授高等数学知识时，需要通过变换相关例子，以达到巩固提高的效果。应当根据学生所学专业，设计高等数学的教学方案，结合学生专业，选择适当相关例子。在讲解变换例子时，以学生训练和思考为主，让全体学生全部参与，教师只是在恰当的时候给予提醒引导，培养学生主动解决实际问题的能力。

变式训练[1]已知制作一个背包的成本为40元。如果每一个背包的售出价为元，售出的背包数由

给出，其中a，b为正常数。问什么样的售出价格能带来最大利润？

我们可以设利润函数为p（x），则

令 p＇（x）＝0，得 x＝60（元）。 由 p＂（x）＝－2b＜0 知 x＝60为极大值点，又驻点唯一，这极大值点就是最大值点，即售出价格定在60元时能带来最大利润。

【设计思想】通过变换题型，巩固所学知识，提高应用知识的能力。以问题的方式，引导学生思考问题，促使学生主动探索问题，引导学生观察现象，从现象中发现解决问题的方法，培养学生的数学思维，对学生的思维发展有促进作用。

1.6 总结归纳，加深理解

讲解完内容后，要善于总结归纳，鼓励学生积极总结，并且要从数学方法和专业应用两方面总结。根据问题引导学生回忆所涉及的数学知识，默写数学公式，演算推导过程，引导学生解决专业实际问题，提高学生应用数学的能力[2]。

1.6.1 情境设置专业化

本着高等数学与学生所学专业相结合的教学理念，注意到高等数学与学生所学专业的关系，让学生能够在自己所学专业中发现问题，并且用所学数学知识解决问题，因此老师在举例子时要以专业为背景，传授数学方法，在有限的课堂教学中传承数学思想，体现数学的实用性[3]。

1.6.2 问题探究活动化

教学中本着以学生发展为本的思想，生活中虽然碰到的是特殊问题，但我们需要学会解决一般问题，再用解决一般问题的方法去解决特殊问题，引导学生从特殊到一般的思考方式，意在引导学生善于思考，激发学生积极探究问题。

探究活动过程中，首先给予学生充裕的独立思考时间，并且提供学生表达的机会，让学生分享解决问题的方法，体验成功的喜悦。其次提供互相讨论交流的平台，师生互相讨论，学生和学生之间互相讨论，交流思考方式，培养学生的交流能力，锻炼学生的数学应用能力。

1.6.3 思路拓广数学化

数学教学的目标终究是为了人的发展，教师要培养学生用数学的方法去分析问题和解决问题，数学具有很强的应用价值。高等数学教学与专业有机地结合，注重高等数学在学生专业的应用，同时在问题的设置中巧妙渗透数学方法，加深了学生对高等数学的本质认识，从而有利于培养学生思维的应用性。

从整理知识提升到强化方法，从探究问题到举一反三，由提出问题到解决问题，通过数学的学习提高学生的综合能力。高等数学的教学中提供学生所学专业相关的实例，提供具有专业背景的问题，让学生从专业中挖掘出数学模型，并且用数学知识解决专业问题，让学生体会到数学的魅力。

2 结论

最值问题与经济类专业结合只是高等数学知识与学生专业结合的一个具体例子，抛砖引玉，在教学过程中，注重发挥学生的学习主体作用，培养学生分析问题和解决问题的能力。适时地将高等数学知识融入学生专业，从而达到激发学习兴趣，提高思维品质，培养学生数学素养的创新人才培养目标[4-5]。

高等数学教学与学生所学专业相互结合的模式有利于培养学生应用数学的能力，是一项高校教师需要长期实践并不断改进的教学模式，也是高校教学改革探索的一种新型教学模式。教师需要了解学生所学专业的相关知识，根据学生所学专业设计教案，改变讲课方式，将学生所学专业融入高等数学的教学中，既要求学生掌握高等数学的知识内容，也要求学生掌握应用数学的能力。培养学生在所学专业中发现问题的能力，培养学生建立数学模型的能力，培养学生灵活应用数学知识的能力，同时提高学生解决实际问题的能力[6]。