数值大小比较“招招鲜”

■王佩其

在指数函数和对数函数的学习中,我们常常会遇到一类指数值(幂)和对数值大小比较的选择题。大家知道,当两个数值都是指数式(对数式),且底数相同时,可以直接构造对应的指数函数(对数函数),并利用函数单调性比较大小。那么,当这些数值的底数不一致或结构不相同时,它们的大小又该如何比较呢? 下面为同学们“支招”。

一、利用作差(商)比较

例1 设x>0,y>0,z>0,且3x=4y=6z,比较3x,4y,6z的大小。

解:令3x=4y=6z=k。

由x>0,y>0,z>0,可得k>1。

二、利用“中间值”为桥梁进行比较

评析:对于同底数的幂或对数式,可根据指数函数或对数函数的单调性比较大小;对于不同底数的幂或对数式,可化为同底数的幂或对数式,再进行比较大小,或找中间量(通常找0和1)进行比较大小。

三、利用图像法比较

例3 已知2a+a=log2b+b=log3c+c=k(k<1),则a,b,c的大小关系是( )。

A.a

C.b

解:由2a+a=log2b+b=log3c+c=k(k<1),可得2a=-a+k,log2b=-b+k,log3c=-c+k,且k<1。分别作出函数y=2x,y=log2x,y=log3x和y=-x+k(k<1)的图像,如图1所示。

图1

由图可得,其图像交点的横坐标a,b,c满足a

评析:图像是函数的灵魂,利用图像法比较大小体现了数形结合思想的应用。需要注意的是,画图要尽量准确。

四、用特殊值法比较

例4 已知x∈(1,2),a=2x2,b=(2x)2,c=22x,则a,b,c的大小关系为( )。

A.a>b>cB.b>c>a

C.b>a>cD.c>a>b

解:因为b=(2x)2=22x,又函数y=2x是单调递增函数,所以要比较a,b,c的大小,只需比较当x∈(1,2)时,x2,2x,2x的大小即可。

评析:解答本题的关键是将所求问题转化为比较x2,2x,2x的大小。

五、通过换底进行比较

误。应选A,B。

评析:化异为同,是数学解题的一个基本原则。如何消除这类问题的“差异性”,换底公式是利器,只要确定好底数,这类问题就会轻松获解。

六、用反证法比较

例6 设实数a,b满足5a+11b=18a,7a+9b=15b,则a,b的大小关系为( )。

A.a

C.a>bD.无法比较

由上可得a<1

评析:利用反证法解题时,必须先否定结论,把结论的反面作为条件,且必须依照这一条件进行推理,否则,仅否定结论,不从结论的反面出发进行推理,就不是反证法。