基于COVID-19传染病SIR模型的稳定性分析

成红胜, 成 诚

(1.盐城师范学院 信息工程学院， 江苏 盐城 224001; 2.江苏师范大学 数学与统计学院， 江苏 徐州 221116)

0 引言

2020年年初，一种类似于“非典”的新型冠状病毒肺炎在武汉被发现并迅速传播开来，这场疫情给全人类的生命健康造成了重大威胁.在全民抗击疫情的过程中，运用数学模型预测疫情的走势在防控疫情过程中发挥了重要的作用，为一线的医护人员提供了科学的理论指导和精准的预测.新冠疫情爆发已经过去一年多，世界各地陆续发现感染新冠病毒康复后复阳的病例.基于这种实际情况，研究一类具有饱和发生率和暂时免疫力的传染病SIR模型，得到平衡点的相关性质，有望从科学的角度研究传染病的传播机制.

长久以来，人们对于传染病模型的研究已经取得了一些显著的成果.Wen等学者研究了一类具有暂时免疫力的SIR模型[1]：

(1)

其中:S(t)的表示容易被传染该种疾病的总人数；I(t)表示已经被传染该种疾病的人数；R(t)表示因接种疫苗从而获得暂时免疫力的人数;μ表示由易感染变成感染者的速率.参数μ1、μ2、μ3均为非负常数，μ1表示易感染人群的死亡率；μ2表示感染者的死亡率；μ3表示从该种传染病康复者的死亡率.从生物学的角度来看，μ1

(2)

系统(2)中的初始条件表示如下：

(3)

1 无病平衡点的稳定性

(4)

分离变量可得

(5)

等式两边同时积分可得方程的解为

(6)

假设ξ表示感染者的平均寿命，可得概率函数为

(7)

其中的概率密度函数为

(8)

由此计算得到数学期望

(9)

因此系统(2)存在一个无病平衡点E0.通过计算E0处的Jacobi矩阵，得到特征方程为

(10)

求解得到三个特征值分别为

定理3 当R0<1且μ1=μ2=μ3时，系统(2)在E0(S0,0,0)处在全局的性质是渐近稳定的.

证明构造如下的Lyapunov函数：

(11)

等式两端同时对时间t求导得

[S(t)+I(t)+R(t)-S0](μ-μ1S(t)-μ2I(t)-μ3R(t))

(12)

因为μ1=μ2=μ3，进一步简化式(12)得

[S(t)+I(t)+R(t)-S0](μS(0)-μ1S(t)-μ2I(t)=

-μ1[S(t)+I(t)+R(t)-S0]2=

-μ1[[S(t)-S0]+I(t)+R(t)]2

(13)

2 地方病平衡点的稳定性

定理4 系统(2)存在一个地方病平衡点E*(S*,I*,R*)，当R0>1时，系统(2)在E*处是局部性质渐近稳定的；当R0<1时，系统(2)在E*处是不稳定的.

证明证明方法与定理2的证明过程类似.

令系统(2)中等式左侧等于零，即可求得这个系统的地方病平衡点为E*(S*,I*,R*)， 具体为

通过计算系统(2)在E*处的Jacobi矩阵，得到特征方程满足如下的形式：

[λ2+p0(τ)+p1(τ)λ+q0(τ)eλτ](λ+μ3)=0

(14)

其中

显然，特征方程(14)有一个特征值-μ3且其实部为负数. 其余的特征值由以下方程所确定

λ2+p0(τ)+p1(τ)λ+q0(τ)eλτ

(15)

下面将τ分为τ=0和τ>0两种情况进行讨论：

1) 当τ=0时，方程(15)可以写成：

λ2+p1(0)λ+p0(0)+q0(0)=0

(16)

2) 当τ>0时，假设iω(ω>0)是方程(15)的一个解，将iω代入方程，分离实部和虚部得到如下的等价方程：

(17)

将两个方程分别平方再相加，得到

(18)

其中

因此

综合1)和2)两种情况可知，当R0>1，对任意的τ≥0，地方病平衡点E*(S*,I*,R*)是局部渐近稳定的.当R0<1时，特征方程(15)必有一解是正数，故存在一个特征值的实部是正数，此时系统在E*处是不稳定的.证毕.

定理5当R0>1且μ1=μ2=μ3时，系统(2)在E*(S*,I*.R*)处是全局渐近稳定的.

证明构造Lyapunov泛函：

(19)

等式两端同时对时间t求导得

[(S(t)-S*)+(I(t)-I*)+(R(t)-R*)](μ-μ1S(t)-βS(t)I(t)+

γI(t-τ)e-μ3τ+βS(t)I(t)-(μ2+γ)I(t)+γI(t)-μ3R(t)-γI(t-τ)e-μ3τ=

[(S(t)-S*)+(I(t)-I*)+(R(t)-R*)](μ-μ1S(t)-μ2I(t)-μ3R(t))

将μ1=μ2=μ3代入，上面的式子可以写成

[(S(t)-S*)+(I(t)-I*)+(R(t)-R*)][μ-μ(S(t)-S*)-μ(I(t)-I*)-

μ(R(t)-R*)-μ(S*+I*+R*)]=

[(S(t)-S*)+(I(t)-I*)+(R(t)-R*)][-μ(S(t)-S*)+(I(t)-I*)+

(R(t)-R*)]=-μ[(S(t)-S*)+(I(t)-I*)+(R(t)-R*)]2

3 全局稳定性的数值模拟

1) 选取μ=0.3，α=2，β=0.1，γ=0.3，μ1=0.1，μ2=0.1，μ3=0.1，τ=15.计算得到R0=0.6<1，无病平衡点E0=(3,0,0).由定理3可知，系统(2)在E0处是全局渐近稳定的.通过Matlab进行数值模拟验证了该结论，结果如图1所示.

图1 无病平衡点的稳定性 图2 地方病平衡点的稳定性

4 结论

基于疫情常态化的实际情况，研究了一种传染病SIR模型，这种模型具有饱和发生率和暂时免疫力. 通过分析特征函数和特征值，得到当R0<1时，无病平衡点E0在局部的性质是渐近稳定的，该传染病并不会传播，也不会变成一种流行病；当R0>1时，地方病平衡点E*在局部的性质是渐近稳定的，这种传染病最终会传播开来.通过建立Lyapunov函数，得到当R0<1且μ1=μ2=μ3时，无病平衡点E0在全局的性质是渐近稳定的；当R0>1且μ1=μ2=μ3时，地方病平衡点在全局的性质是渐近稳定的.最后通过Matlab进行模拟，验证所得到的结果.