二阶p- 拉普拉斯阻尼差分方程的快速同宿解

蒋鼎宏, 柏传志

(1.江苏省淮阴中学, 江苏 淮安 223002； 2.淮阴师范学院 数学与统计学院, 江苏 淮安 223300)

0 引言

本文考虑以下二阶p-Laplacian阻尼差分方程的非平凡同宿解的存在性

-Δ(a(n)φp(Δu(n-1)))+ca(n)φp(Δu(n-1))+b(n)φp(u(n))=f(n,u(n)),n∈Z

(1)

其中p>1是个实数,φp(t)=|t|p-2t,t∈R.Δ是由Δu(n)=u(n+1)-u(n)定义的正向差分算子,n∈Z,c>-1是个实数,a:Z→(0,∞),b:Z→(0,∞)是个强制函数,f:Z×Z→R关于第二个变量是连续的.如一般文献所言,方程(1)的一个解u:Z→R,如果u≠0,且当|n|→∞时u(n)→0, 则称为方程(1)的一个同宿解.差分方程是常微分方程的离散形式,通常用于研究许多领域中出现的离散模型, 如：计算、动力系统、经济学、统计学、生物学等[1-11]．

Daouas和Boujlida研究了下列二阶微分方程正同宿解的存在性[12].

x″+cx′-a(t)x+f(t,x)=0

(2)

该方程与Fisher-Kolmogorov方程有关,最初由生物学模型驱动,由下式给出

ut=uxx+f(u)

(3)

寻找式(3)的行波解u(t,x)=φ(x-ct),简单的计算表明φ是下列常微分方程的解

x″+cx′+f(x)=0

(4)

通过使用步长为h>0的有限差分对方程(4)进行离散,可以得到差分方程[13]

Δ2u(n-1))+cΔu(n-1)+f(u(n))=0,

其中u(n)是x(nh)的一个逼近.

Ma和Guo研究了下列对a和f无周期性假设的非线性差分方程[4]

Δ2u(n-1))-a(n)u(n)+f(n,u(n))=0,n∈Z

(5)

他们的结果后来在许多方面得到了扩展.

最近,通过对方程(2)进行离散化,Daouas和Guefrej研究了下列阻尼二阶差分方程同宿解的存在性和多重性[14]

Δ2u(n-1))-cΔu(n-1)-a(n)u(n)+f(n,u(n))=0,n∈Z

(6)

其中c>-1是个常数.显然,如果c=0, 方程(6)就化归为方程(5).

在文[7]中,基于临界点理论,Iannizzotto和Tersian研究了以下带p-Laplacian二阶差分方程的多个同宿解的存在性

-Δ(φp(Δu(k-1)))+a(k)φp(u(k))=λf(k,u(k)),k∈Z

(7)

其中p>1是个实数,φp(t)=|t|p-2t,t∈R,而λ>0是个参数.

Kong[6]得到了新的条件,在该条件下,下列带p-拉普拉斯算子的二阶差分方程

-Δ(a(n)φp(Δu(n-1)))+b(n)φp(u(n))=λf(n,u(n)),n∈Z

(8)

有无穷多个同宿解.

当c=0时,式(1)化归为式(8)(λ=1)．此外,如果c=0,p=2,a≡1,且b被a替换,则式(1)化归为式(6).

本文受[6-7，14]的启发,将研究式(1)在对f和c>-1的一些条件下同宿解的存在性, 这些解满足以下性质

(1+c)-n|u(n)|p→0,|n|→∞，

称为式(1)的快速同宿解.

假设函数a、b和f满足下列条件:

(A) 存在一个常数a1>0,使得所有n∈Z,a(n)≤a1;

(B)b(n)(1+c)-n≥b0>0,∀n∈Z,b(n)→+∞, |n|→∞;

(F1) 存在μ>p使得

μF(n,x)≤f(n,x)x,∀n∈Z, ∀x∈R,

(F1′) 存在μ>p使得

0<μF(n,x)≤f(n,x)x,∀n∈Z, ∀x∈R;

(F3) 存在n0∈Z,x0∈R, 使得F(n0,±x0)>0;

(F4)f(n,-x)=-f(n,x),∀n∈Z, ∀x∈R.

本文的目的是应用变分方法和山路定理获得方程(1)的快速同宿解的存在性和多重性,以及无穷多个快速同宿解的存在性.推广了文[14]中的一些结果.

1 预备知识和引理

为获得本文的主要结果,本节给出一些基本概念和证明中需要的引理.

对于1≤p<∞, 令lp(Z)是满足下列条件的函数u:Z→R的集合

定义l∞(Z)为满足下列条件的函数u:Z→R的集合

对于1≤p≤q<∞, 有lp(Z)⊂lq(Z),|u|q≤|u|p.

设

其范数为

由条件(B)容易得到

(9)

且存在m>0使得

(10)

(11)

令

Y={((1+c)-(n+1)/p(b(n))1/pu(n),(1+c)-n/p(a(n))1/pΔu(n-1)):u∈Ec,n∈Z}.

定义算子T:Ec→Y如下

Tu=((1+c)-(n+1)/p(b(n))1/pu(n),(1+c)-n/p(a(n))1/pΔu(n-1)),∀u∈Ec.

(12)

从条件(B)和(1+c)-n>0(∀n∈Z),得到在EI上,uj⇀0,其中

EI={u∈E|u(n)∈R,n∈I} ，I=Z(-h,h)=Z∩[-h,h].

(13)

由式(12)得

(14)

类似于[14]中的引理2.4,可以证明以下引理.

定义J:Ec→R

类似于文[14], 可以证明下列引理.

引理4对于J1,J2,有

(i) 如果(A)与(B)成立, 那么J1∈C1(Ec,R), 且∀u,v∈Ec

(ii) 假设(F2)成立,则J2∈C1(lp(Z),R),且

引理5假设(A)、(B)和(F2)成立.则J∈C1(Ec),且J的每个临界点u∈Ec都是方程(1)的一个同宿解.

引理6假设(A),(B),(F1)与(F2)成立.则J满足Palais-Smale条件.

引理7假设条件(F1)或(F1′)成立.那么∀(n,x)∈Z×R,s-μF(n,sx)在区间(0,+∞)上是增函数.

为了证明本文的主要结果,需要以下定理

定理1[16](Mountain Pass定理) 设E是一个实Banach空间,I∈C1(E,R)满足 Palais-Smale条件.假设I(0)=0且

(I1) 存在常数ρ,α>0使得I|∂Bρ≥α;

(I2) 存在e∈EBρ使得I(e)≤0.

那么I必有一个临界值c≥α如下

其中

Γ={g∈C([0,1],E):g(0)=0,g(1)=e}.

则I必有一列无界的临界值.

2 主要结果

定理3 假设条件(A)、(B)、(F1)～(F3)满足.那么方程(1)至少有一个非平凡的快速同宿解.

证明根据J的定义,显然J(0)=0.利用引理5和引理6,J∈C1(Ec,R)并满足PS条件.下面,将证明存在常数ρ,α>0满足定理1的条件(I1).由(F2),对于任何给定的ε>0,存在η>0使得

|f(n,x)|≤ε|x|p-1,∀n∈Z,|x|≤η

(15)

由式(15),有

(16)

运用式(9)及引理1,得

(17)

对于使式(16)成立的η>0及u∈Ec,则有

(18)

结合式(17)与式(18),得

|u(n)|≤η,∀n∈Z

(19)

由式(10)、(16)及式(19)得

(20)

因为ε是任意的,则由式(20)得

于是

从而J满足定理1(I1).下面证明存在e∈EcBρ使得J(e)≤0.不失一般性,可以假设在(F3)中x0=1且设α0:=min{F(n0,±1)}.根据引理7,容易验证

F(n0,x)≥α0|x|μ,∀|x|≥1

(21)

根据式(21),对于δ≥1,有

定理4假设条件(A),(B),(F1′),(F2)与(F4)满足.则方程(1)存在一个无界的快速同宿解列.

证明显然,J∈C1(Ec,R),J(0)=0,J是偶的(由(F4)可得)且J满足PS条件.下面,将利用对称山路定理证明定理2的条件(I3)成立.

(22)

(23)

由式(23)与引理7,有

(24)

根据式(24)和引理7,对于u∈Θ与σ>1,得

因为μ>p,可以选取σ0=σ0(C,τ)>1充分大，使得

J(σu)≤0,u∈Θ,σ≥σ0.

因此

可得定理2的条件(I3)成立.故J存在一无界序列临界值{dj}j∈N,这里dj=J(uj),其中uj满足

根据(F1′),有

(25)

因为dj→∞(j→∞),式(25)说明{uj}j∈N在Ec上是无界的.