“操作”让学生在矛盾冲突中提升数学思维——以《三角形的三边关系》为例

江苏省苏州市吴中区郭巷实验小学 张丽娟

《三角形的三边关系》是在学生初步了解三角形定义的基础上，进一步研究三角形边的特征。受已有知识经验的支撑，学生对于怎样的三条线段才能围出三角形是模糊的，需要通过观察、操作、对比、验证、归纳等探索过程逐步去把握本质。而在这一探索过程中，对于两边之和等于第三边的这种情况的判断，无论是在得出了三边关系之前研究还是之后研究，都不可避免会受操作思维的影响。同样的，掌握了三角形三边关系后，更进一步对于“只要两条较短的边的长度之和大于最长边”也就符合了任意两边之和大于第三边的推导，对四年级学生来说也是比较抽象的。因此，在学习的过程中需要学生带着问题，在活动操作中将数和形有机融合、借形顿悟、以数释形，才能抓住图形的本质，增进对三角形三边关系的本质理解。

一、实验操作，促进理解

苏教版四年级上册学生已经知道了“两点之间线段最短”，那么为什么不能直接利用这一结论让学生理解“三角形任意两边长度和大于第三边”？看似紧密联系，学生接受起来简单易懂，但他们往往难以洞悉结论背后隐藏的数学推理。因此，在教学过程中得还原数学的思考过程，巧妙地化数为形、以形观数，将枯燥的推理形象化、直观化。

本节课，从学生动手操作、收集实验数据、观察比较起始，通过任意选三根不同长度的小棒围三角形，引导学生操作实验并判断“能否围成三角形”，再观察三根小棒的长度和围的结果，说说有什么发现。

【教学片段一】

谈话：3cm、4cm、8cm这三根小棒大家一致认为是围不成的，想一想：究竟是什么原因围不成三角形呢？

学生交流：黄色和蓝色小棒的长度和小于红色小棒的长度。

谈话：黄色和蓝色小棒的长度和小于第三根小棒，三根小棒不能首尾相接，所以不能围成三角形。（课件演示）

提问：你能用一个式子表示围不成三角形的原因吗？（结合回答板书“3+4＜8”）

学生通过亲身体验，发现“3厘米、4厘米、8厘米”这三根小棒不能围成三角形，虽然只是学生操作的直观感受，却为学生探究三角形三边关系提供了方向支持。进而产生质疑“为什么围不成”，由此展开思考。这些直观的表象和感受为学生进一步探索知识积累了丰富的活动经验，为进一步理解三角形三边的关系奠定了基础。

二、冲突思辨，深入理解

【教学片段二】

谈话：3cm、5cm、8cm这三根小棒有的小组认为可以围成，有的小组认为不可以围成，认为不能围成的，你们是怎么想的？

表4和表5是实证结果的稳健性检验。本文根据人均工资水平来判断哪些企业受到了最低工资规定的影响。据Draca 等(2005，2011)[18,19]以及Rebecca Riley等(2017)[20]的研究，最有可能受到最低工资规定影响的是那些劳动力成本较低的企业。虽然无法基于本文的研究样本对其进行检验(需要企业员工个体工资数据，本文样本并不具备)，但是根据稳健性检验结果来看，这种判断方式具有一定的合理性。

学生交流：两根小棒的长度和正好等于最长的小棒，那么这三根小棒就会重合在一起。

谈话：你能借用生活经验进一步说明为什么围不成三角形吗？

生1：弯路肯定比直路长。

生2：两根小棒加起来等于下面的小棒，那么直路和弯路肯定会重合在一起。

生3：既然重合在一起了，不能围成一个三角形。

小结：是的，当两根小棒的长度和等于第三根小棒时，它们首尾相接时必定会重合。（课件动态演示）

在探究3厘米、5厘米、8厘米这三根小棒能否围成三角形时，为了减少围时产生的误差，很多课例为选取合适的实验材料动足了脑筋，但始终不能保证每个孩子在实验过程中都能避免误差。

按照教材的设计意图，在刚开始的教学过程中，我遇到了这样几种情况。第一，通过前面的探索、验证，学生已经知道“三角形任意两边之和一定要大于第三边才能围成三角形”，由此学生顺理成章地想到“两边之和等于第三边肯定围不成三角形”。既然规律已经得出并得到了验证，再要求学生想象、证明，意义何在？第二，为了避免操作的影响，教学中让学生通过想象理解“当两边之和等于第三边时，三边正好重合，是围不成三角形的”。但实际课堂中还是有部分学生产生质疑，并生出了想动手操作来证实的欲望。绕开错误就是绕开认知过程的丰富性，既然始终不能让每个学生信服，为什么不在一开始就将问题暴露出来呢？

因此，我在之后的教学过程中做了调整，让学生仍然经历围的过程，产生矛盾冲突，通过思辩、想象、说理，结合公理“两点之间线段最短”与生活中的路线问题，通过两点之间“弯路”肯定比“直路”长的常识，引导学生沟通两根较短小棒的长度和就相当于“弯路”，较长的小棒长度就相当于“直路”。如果两边之和等于第三边，那就必定是重合在一起，是拱不起来的。以此让学生深刻感悟数学知识的探索不仅需要举例验证，也需要说理验证，实验操作可以辅助我们发现规律，但同时也不能忘记用数学的眼光更深入地思考问题，而这两者本身并不矛盾。

三、激发需求，主动理解

【教学片段三】

提问：那能围成三角形的三根小棒的长度间又有什么关系呢？

学生交流：两边之和大于第三边。

追问：你指的是哪两条边与哪条边相比？

生1交流。

追问：还有补充吗？

生2补充。

提问：你能用式子表示出你的发现吗？

学生交流：3＋4＞5，3＋5＞4，4＋5＞3。

追问：在这个三角形中，你也能得出这样的式子吗？

学生交流：4＋5＞8，4＋8＞5，5＋8＞4。

提问：观察这两组式子，你有什么发现？

学生交流：能围成三角形的三根小棒，任意两根小棒的长度之和都大于第三根小棒。

提问：是不是所有的三角形三边之间都有这样的规律呢？我们需要进一步验证！怎样验证呢？

通过前面两种情况的认知与理解，学生产生强烈的学习需求与欲望，即究竟“怎样的三根小棒才能围成三角形”？接下来的探索即是学生的“再创造”过程。同时，“能围成三角形的三根小棒长度间有什么关系”是本节课学生理解三角形三边关系所需要探索的核心问题。但在实际教学过程中，学生往往不能主动想到只有当三根小棒中任意两根长度的和大于第三根时，才能围成一个三角形。可能一开始学生考虑的都是两根较短的小棒长度大于较长的小棒就能围出三角形，但此时的认知恰巧是因为“两根较短边长度和大于较长边也就符合任意两边之和大于第三边”产生的错误表象，没有真正意义上理解什么是任意两边之和大于第三边。因此，在组织学生讨论、交流时，可以适时引导学生“你发现这两根小棒的长度和大于这一根小棒，还有其他发现吗”？引导学生逐步发现：三角形任意两边的长度和大于第三边。进而再产生质疑“是不是所有的三角形三边之间都有这样的关系呢”？这个问题让学生进一步产生探索需求，在众多的实例中顺理成章地得出结论。

用“数”分析“形”，使直观的图形更形象，凸显图形的本质特征，又促进学生有效理解知识，培养数学思维的条理性和严密性。

四、全面认知，有效理解

在实际教学过程中，往往还会出现这样的情况：根据三边数据，学生观察、比较、思考后，部分学生很自然地归纳出“三角形两短边之和大于最长边就能围成三角形”这个结论。如果直接利用这个结论继续下面的学习活动，不向学生揭示“任意”也没带来什么学习上的困扰和麻烦。那么，在这样的结论出来后，是否一定要再引导学生继续观察其他两边和第三边的关系，从而得出“三角形任意两边长度的和大于第三边”，突出“任意”一词？况且，学生利用自己归纳出的结论也能比较顺利地开展接下去的学习活动。教材何不遵循学生的认知规律和教学的演进逻辑，直接出示“三角形两短边之和大于长边”这一结论，而非要舍近求远、弃易求难？

随着教学研究的深入，我逐步感悟到：“三角形两短边之和大于长边”这种说法有它的局限性，如等腰三角形、等边三角形，而数学讲究知识的科学性、严谨性。另外，这两者本身并不矛盾与冲突，“三角形两短边之和大于长边”，也就保证了“三角形任意两边长度的和大于第三边”，即：短边＋长边＞短边。反之，理解了“三角形任意两边长度的和大于第三边”，就能发现判断时只要看“两短边之和大于长边”即可。因此，在练习中则需要引导学生把“任意两边之和大于第三边”延伸到“只要判断两条短边之和大于第三边”上。当然，这里的延伸并不是回到学生认知的原初，而恰恰是认知的升华，是进一步逻辑推理的呈现。

总之，一节数学课应最大限度地引导学生参与教学全过程，在知识的探索过程中发展学生的数学核心素养，充分发挥学生的主体作用，激活学生的数学思维。