“面积”单元整体设计及课时安排说明

邓庭燕

【摘 要】面积是对二维空间的定量刻画，其本质就是度量，也就是计算所要度量的图形包含多少个面积单位，着力于量感的培养。本文从北师大版数学教材“面积”单元的编排和实际学情出发，对面积的内容进行整体设计与教学实践，通过设计探索活动让学生深度学习，理解面积的本质。

【关键词】面积 单元整体设计 本质 度量

度量是数学的本质，是人们创造出来认识数学、进而认识现实世界的工具。线段的长度是一切度量的出发点，长度的测量是小学阶段对于一维空间的第一次定量刻画;面积是对二维空间的定量刻画，在小学阶段主要是指平面圖形的大小;体积则是标志三维图像大小的数。无论是一维、二维还是三维空间的刻画，最终都落在数值上，如包含标准单位的个数多，则度量对象就会“长一些、大一些”。定量刻画的过程就是从形象到抽象、从直觉到推理的过程，可以帮助学生逐步感悟度量的本质，提升空间观念，建立量感。

一、单元教材分析

“面积”单元安排在北师大版数学三年级下册第五单元，是“图形与几何”领域中图形测量方面的内容，主要包括：面积和面积单位、长方形和正方形的面积、面积单位间的进率、用所学的知识解决简单的实际问题四部分内容。在此之前，学生已经经历了长度的测量过程，学习了周长，总结出了长方形、正方形的周长计算公式，有一定的测量经验。面积的认识以及长方形、正方形面积测量的探索方法，都成为今后其他图形测量的基础知识和基本数学活动经验，也为学生后续学习体积的概念与测量提供了可迁移的知识经验。

“面积”这一单元是学生第一次定量刻画二维图形的大小，本单元强调学生对面积意义的理解，重视量的实际含义，以培养和发展学生的空间观念为目标。

教材将本单元的学习内容按如下顺序安排：认识面积—认识面积单位—用面积单位度量长方形的面积—用公式度量长方形的面积—估计面积大小—面积单位的换算。这样的学习顺序符合学生的认知发展水平，顺应学生学习心理，是比较合理、合适的学习过程，因此本单元的学习我们将遵循这一学习顺序，不做大的改变。在实际教学中，这样的内容安排和课时划分也存在着一定的不足：

（一）对“度量”学习内容没有建立联结

学生对于“长度”“面积”“体积”三个概念的学习，实际上就是从一维到二维再到三维的空间几何的认识过程，均属于具体“度量（图形与几何部分）”的学习，都包含度量的概念，度量的单位，度量的工具，本质上有相通之处，蕴含着相似的数学思想方法。从教材的对比分析看，三个概念的认识经历了相同的学习过程，是按照定义—单位—计算—单位换算—应用的顺序来进行的，遵循度量对象从一般到特殊，再到特定的学习模式。但是教材的编排过于孤立，缺乏知识间的联系和对比，学生难以将面积的学习与长度的学习建立联系，难以将现有的学习经验迁移到后续的学习中，形成“类化”的结构性知识，更难以发现度量知识的整体内在关联，形成完整的三维空间观念。

（二）对“度量”课时编排缺乏结构思考

“面积”单元是促使学生的思维从一维空间向二维空间转化的核心内容，是三维空间学习的基础，起着承上启下的作用。面积单位的构建相对于长度单位的构建更利于学生对度量思想的感悟，也可以为学生后继学习体积的度量、角的度量打好基础。但是教材中“面积”单元的课时编排孤立，对测量知识的思考局限于点状认识，并未建立针对测量知识的结构性思考，仅仅着眼于面积的概念、面积单位，度量面积的工具中的其一或其二，不利于学生以整体的眼光学习“面积”单元，学生难以进一步对度量学习的模式有整体的感知。

（三）对“度量”知识缺乏本质性理解

在比较两个图形面积的环节中，教材中有让学生用小正方形摆一摆的方法提示，但在比较两个面的大小时，摆正方形并非学生的首选和最优方法，此方法在教学中并没有得到足够的重视。后续在认识长方形面积的教学中也有提到摆方格的方法，但在教学中又快速过渡到面积公式环节，整个面积单元缺乏对测量知识体验式感悟的编写设计，学生缺乏足够的测量知识的基本活动经验，导致缺乏对面积的本质性理解。

二、学生情况分析

从前测、后测的数据与分析可以得出：学生在学习面积单元之前已经对面积有生活经验和直觉的感知，大部分学生已经知道面积指物体的哪部分，能与周长概念区分开。有的学生在解决问题的过程中会将周长公式与面积公式混淆错用，我们认为学生对两者定义的错误理解不是主要原因，其根本原因在于学生虽然在二年级时学习了长度的测量，在三年级上册认识了周长，但不清楚测量学习的要点，缺乏度量的意识，缺乏对概念的本质理解。通过对学生的学习认知水平的整体评估，有助于将单元的内容进行科学的单元整体设计，助力学生对面积本质的深度理解，实现学习能力的提升，根据学情，我们需要思考以下两个问题：

（一）如何才能帮助学生深入理解面积的本质

在平时的教学中，我们可以看出，学生将面积的定义背得滚瓜烂熟，但对概念的理解仅停留在记忆阶段，对面积定义的本质理解不够准确和全面;对图形公式的计算记忆最深刻，对规则图形的面积度量依赖于公式，但不知公式背后的道理。在教学中，有的教师往往抓住教材给的面积定义死抠字眼，但面积的定义并非最重要的，对于面积定义的理解是可以基于直觉的感知，不必追求严格的定义;还有的教师在教学中不够重视用面积单位度量图形的过程，过早地引入了公式计算，导致学生对面积度量过程印象不深，说不清楚为什么长方形的面积是长乘宽，这种过于强化公式而弱化对概念理解的现象，忽略了对面积本质的追寻，这也是学生常会将长度与面积计算混淆的原因之一。那么，我们要如何调整教材例题和教学素材让学生真正理解面积的本质，为后续的迁移学习做好铺垫呢？

（二）如何从度量角度建立“长度”“面积”“体积”的联系，感悟度量的本质

北师大版数学教材从二年级开始就设置了“测量”单元，但内容只是介绍毫米、厘米、分米等，学生也只是经历了长度测量的过程，教材没有介绍什么是“测量”，如何测量，很多教师在教学中也并没有总结就设置了测量的学习要素，学生认为长度、面积的学习是独立不相干的。如何才能自然唤醒学生的类比经验？如何在“面积”的学习中与“长度”的学习建立联系，让“长度”的测量经验为面积、体积、角度的学习提供更大的正迁移，感悟度量的本质呢？

三、单元目标定位及课时划分

数学教育家弗赖登塔尔曾说过：数学学习中，联系得越紧密，记得越牢，学得越快，因此关联是衡量认知水平的标准。单元为设计过程提供了恰当而实际的切入点，教师要将原本的单元内容进行统整或者透视衍化，让这个单元的每一节课都能被包含在更大的单元和课型设计中，使之更有目的性和连接性。我们结合教材和学生的学情分析发现，按照原有的教材编排已经无法满足学生内在的学习需求，所以，我们从大概念出发，确定基本问题和单元总目标，从而将面积的知识进行单元统整，重新设计单元的整体框架。大概念：测量是对实物大小的刻画，测量的基本方法是用统一单位不断累加或细分。基本问题：万物可测吗？测量的基本方法和基本工具是什么？基于核心概念与基本问题，从知识与技能，过程、方法与能力这两个维度确定教学目标：（1）“知”：知道面积的含义，认识面积单位，能进行面积单位的换算;能估计图形的面积;掌握长方形、正方形的面积公式，并能解决简单的实际问题。（2）“能”：能积极参与探索面积大小的活动，积累度量的学习经验;理解面积的本质是图形包含面积单位的个数，理解用边长求面积的意义，勾连长度与面积的学习。

（一）单元核心概念

度量可分为抽象度量和具象度量，本单元的学习属于具象度量的内容，着力于量感的培养。那么，什么是度量的本质？面积单元教学中应延续的大概念又是什么呢？先看度量的定义：度是公度，指统一的单位;量是测量;度量就是用统一的单位去测量。史宁中教授指出：度量是數学的本质，是人创造出来的数学语言，是人认识、理解和表达现实世界的工具。张奠宙先生认为：测量，不仅仅是拿刻度尺去量一条线段的长短，数学测量的本质是给每一条线段以合适的数。如在教学参考资料以及相关教师培训材料中将面积定义为：数m是一个平面图形A的面积，就是指能用m个单位正方形不重叠地恰好填满A。可见：所谓度量，就是计算所要度量的图形包含多少个度量单位，其核心要素是度量单位及单位的个数。在学习面积的相关知识时，是否有一个明确的定义给学生其实并不重要，重要的是让学生体会到长度是几个长度单位累加的结果;面积是几个面积单位拼接的结果;体积是几个体积单位堆积的结果。度量的本质才是学生理解概念的核心。因此，确定“面积”这一单元的核心概念是：从“度量”的角度理解面积，将度量单位及单位的个数作为此单元的教学主线，理解面积的大小就是计算所要度量的图形包含了多少个面积单位这一本质，度量的方法是用统一的单位不断累加或细分。

（二）基本问题

好的问题能使教师更好地专注于大概念，避免基于活动的设计和基于灌输的设计误区。我们确定“面积”单元的基本问题是：万物可测吗？测量的基本方法和基本工具是什么？我们试图通过基本问题引发学生更多的思考和探究，激励学生揭示更多的问题，围绕基本问题来架构学习。

（三）整合后单元整体课时安排的前后对比

基于“单元整合”的教学，不是课时内容的简单叠加，而需要调整后具有相互承接、融合的内在联系，课堂结构设计需要给学生有更强劲的、自主探索的学习动力，满足不同学生的学习需求，帮助全班学生实现相对高水平的数学理解和能力发展。我们没有对本单元的课时顺序做调整，而是对课时内容做了整合，调整了其中部分内容的侧重点，对某些知识点的学习进行了重新设计（见下表）。

我们整合的思路是：淡化面积的定义，在用公式间接度量长方形面积的教学中，应使学生理解算理，培养他们的度量意识。在教学中，教师要重视单位度量，重视计数，沟通联系。“画格子”“数格子”的方法是面积问题的本源，让学生充分经历用面积单位度量图形的过程，经历本单元的学习后，学生看到一个“面”的时候，想到的应是用“单位面”覆盖它，而不是用尺子量长度，理解刻画面积大小的本质是度量，公式计算只是便于操作的形式。“画格子”“数格子”的方法也是后续体积问题的本源，本单元的学习经验将正迁移到体积的学习中。在面积单元的教学中，适当融入长度的测量的素材，两者进行对比联系，揭示测量学习的要素：确定度量对象（线段，面），确定度量单位（一维的长度单位，二维的面积单位），确定度量的结果（一个数）。感悟度量学习都是用度量单位覆盖度量对象，列式、公式只是度量单位计数方法的简便形式，为后续体积的学习提供经验基础，也有利于其他的度量学习，如角度、重量、时间等的感悟，实现知识间更多的联结。

四、单元教学建议

调整后的单元教学结构更加注重从度量的角度认识面积，用面积单位贯穿整个单元的学习，希望通过这样的设计能够帮助学生更好地理解面积的意义，感悟度量的本质。

（一）由具体到抽象，从一般到特定，深度理解面积的意义

从生活中的物体抽象出几何概念，从一般的物体感知到特定的图形（长方形、正方形）计算，再到不规则物体面积的测量，然后才进行单位之间的换算，在整个单元的学习中特别注重学生测量经验的积累，使其理解面积的真正意义，感悟度量的本质。

（二）在对比中联系，构建整体视野

通过对比长度测量与面积测量的学习，我们设置疑问激发学生思考后续体积、角度的学习模式，引导学生从度量的角度理解测量教学的过程也就是记录度量单位个数的过程，使学生清晰地认识到这几个不同的概念，实际上有着相同的本质，有着相同的学习方法，在以后有关体积、角度的学习中，学生也可以按照类似的知识线索进行自主学习，感受知识的关联性，真正体会知识的内涵。

（三）提供学材支架，创设自主空间

在学生理解面积的本质后，我们在课堂上给足学生空间和时间用不同方式学习不同类型的习题，学生能够通过自主编题、变题、比题、用题、理题学习各种面积的应用类型，并与长度测量进行联系与区分，在学与练中逐渐建立测量学习的内在结构，发展空间观念，提升“量感”。