抓住典型例题，深化问题研究

文／蒋 飞

平均数、中位数和众数都反映了一组数据的集中趋势，但在实际问题中，我们该如何选用平均数、中位数和众数呢？下面，我们将一起围绕教材例题，开展相关问题的探究。

一、例题呈现，抓住本质

例1 某公司职工的月工资情况如下：

____________________________人数______________________1（总经理）_____________________2（副总经理）_____________________5（部门经理）______________________________10 17______________________________23_______________________________28_______________________________10________________________________4月工资/元______________________20000_______________________12000_______________________8000________________________6000________________________3000 2000________________________1800_________________________1500_________________________1200________________________

根据上表，可以算得该公司职工月工资的平均数、中位数和众数分别为3112 元、2000 元、1800 元。如果你是该公司的一员，那么会更加关注其中的哪一个数据呢？

【分析】这是一道开放性问题，解决此类问题需要同学们理解以下两点。（1）平均数、中位数和众数是度量一组数据集中趋势的3个统计量，它们具有各自的特点，有助于我们从不同的角度描述一组数据的集中趋势。计算平均数时，所有的数据都参与运算，能较充分地利用数据所提供的信息，反映一组数据的平均水平，但是易受一组数据中极端值的影响；中位数是一组数据按大小顺序排列后中间位置的代表值，它不受异常值影响，但是不能充分利用数据的信息；众数是一组数据中出现次数最多的数据，往往是人们尤为关心的统计量，但它不具有唯一性。（2）在实际应用中，用哪一个统计量来描述数据的集中趋势，需要根据数据的特征和问题的具体情况做出恰当的选择。

二、变式拓展，深入探究

例2 某公司月工资情况如下：

___________________________员工_____________________________经理______副经理___________________________职员A____________________________职员B____________________________职员C___________________________职员D___________________________职员E___________________________职员F_____________________________杂工月工资/元____20000______10000______5800_______4000_______3200_______3000_______3000_______3000_______2000_______

该公司三位职员对收入情况作出如下评价。

甲：我的月工资是3200 元，在公司中算中等收入；

乙：我们好几个人的月工资都是3000元；

丙：我们公司员工收入很高，月工资为6000元。

请你用所学知识回答下列问题：

（1）甲所说的数据3200 元，我们称之为该组数据的________；（填平均数、众数或中位数）

（2）乙所说的数据3000 元，我们称之为该组数据的________；（填平均数、众数或中位数）

（3）丙是用什么方法得出6000元的？

（4）甲、乙、丙三人的说法中，谁的说法可以较好地反映该公司职员收入的一般水平。

【分析】本题主要考查平均数、中位数、众数的意义，需根据实际情况分析得出答案。

解：（1）甲所说的数据3200 元，我们称之为该组数据的中位数。

（2）乙所说的数据3000 元，我们称之为该组数据的众数。

（3）由（20000+10000+5800+4000+3200+3000×3+2000）÷9=6000（元），可知，丙是用计算平均数的方法得出6000元的。

（4）因为平均数受到了这组数据中极端值的影响（经理、副经理月工资），所以不能反映该公司职员收入的一般水平。根据中位数和众数的意义可得：甲、乙两人的说法能较好地反映公司员工收入的一般水平。

三、中考链接，总结提升

例3 （2019·浙江温州）车间有20 名工人，某一天他们生产的零件个数统计如下表：

__生产零件个数（_______个）_____________________________________9_____________________________________10_____________________________________11 12___________________________________13___________________________________15___________________________________16___________________________________19____________________________________20工人人数（人）1_______1_______6_______4 2_______2_______2_______1_______1_______

（1）求这一天20 名工人生产零件的平均个数。

（2）为了提高大多数工人的积极性，管理者准备实行“每天定额生产，超产有奖”的措施。如果你是管理者，从平均数、中位数、众数的角度进行分析，你将如何确定这个“定额”？

【分析】（1）根据平均数的计算方法进行计算即可；（2）求出中位数、众数、平均数，从大多数员工能够完成任务来确定“定额”。

答：这一天20 名工人生产零件的平均个数为13个。

（2）中位数为12个，众数为11个。当定额为13 个时，有8 人达标，6 人获奖，不利于提高工人的积极性；当定额为12 个时，有12 人达标，8 人获奖，不利于提高大多数工人的积极性；当定额为11 个时，有18 人达标，12 人获奖，有利于提高大多数工人的积极性。因此，定额为11 个时，有利于提高大多数工人的积极性。

通过以上探究，我们深知，只有熟知平均数、中位数、众数的概念及意义，才能在解决实际问题时根据具体情况做出适合的选择。

（作者单位：江苏省常州市武进区湖塘实验中学）

挑 战 压 轴 题

为了防控新冠疫情，某地区积极推广疫苗接种工作，卫生防疫部门对该地区八周以来的相关数据进行收集整理，绘制得到图表如下：

该地区每周接种疫苗人数统计表

该地区全民接种疫苗情况扇形统计图

根据统计表中的数据，建立以周次为横坐标，接种人数为纵坐标的平面直角坐标系，并根据以上统计表中的数据描出对应的点，发现从第3 周开始这些点大致分布在一条直线附近，现过其中两点（3，12）、（8，42）作一条直线（如图所示，该直线的函数表达式为y=6x-6），那么这条直线可近似反映该地区接种人数的变化趋势。

请根据以上信息，解答下列问题：

（1）这8 周中每周接种人数的平均数为____万人；该地区的总人口约为____万人。

（2）若从第9 周开始，每周的接种人数仍符合上述变化趋势。

①估计第9 周的接种人数约为____万人；

②专家表示，疫苗接种率至少达60%，才能实现全民免疫。那么，从推广疫苗接种工作开始，最早到第几周，该地区可达到全民免疫的标准？