巧设妙解 殊途同归

摘要：平面内圆与多边形问题是中考，高考常见题型，中考常以平面图形中几何方法处理解决，高考中常与三角、不等式、向量等代数问题结合求解，是一类难度较大的题目.解决此类题目的方法多样，但选取不同的策略，会造成求解的难度不一，本文一道高三诊断性试题的求解出发，谈谈此类问题的解题策略.

关键词：最值;圆;策略

中图分类号：G632文献标识码：A 文章编号：1008-0333（2021）28-0031-02

问题呈现如图1，两同心圓圆心为O，r=6，r=8，矩形ABCD内接于圆，AB，CD分别为两圆的弦，求矩形ABCD面积最大值？（2021年四川省数学会高三模拟测试题）

分析本题为2021年四川省数学会命制的高三文科模拟测试题填空压轴题，求解本题时学生对平面几何相关知识忘记太多，对问题转化的能力欠缺，求解四边形面积策略单一（转化为长度之积），计算量大，利用不等式相关知识不易处理.下面我们从不同角度探究一下本题的解法策略.

评注将四边形面积转化为三角形面积，利用三角形面积公式S=1/2ah.本题易知三角形AOD的一边为定值，高在变化过程中有最大值为另一条边，将面积最值问题转化为三角最值问题，简洁明了，思维清晰，是初中学生最易想到解决问题的方法.

评注将四边形面积转化为三角形面积，利用三角形面积公式S=1/2absinC.本题易知三角形AOD有两条边为定值，故将三角形面积最值转化为角度的正弦值最值，将面积最值问题转化为三角最值问题，简洁明了，思维清晰

评注直接利用边长之积求四边形面积直观明晰，利用题目中圆内相关关系找到两边之间关系，通过同一未知数代换，这一种求解策略解题时易思维入手，但运算较为不易，若不利用柯西不等式则极不方便求解最值，对考生不等式知识要求较高.

评注将几何问题转化为代数中三角问题求解，是由初中到高中思维能力提升的一个标志，利用同一长度建立不同角度之间的等量关系，进而将几何问题转化为三角函数最值求解.充分利用角度之间的等量关系，利用三角变换，辅助角公式将三角函数化为“三个一”（同一角度、同一函数、一次式）便于求解.

从初中平面几何到高中解析几何的学习，实质上是从几何到代数的一个学习大一统，从不同角度去思考平面图形的相关性质，充分利用数形结合，简化思维，提升运算能力.利用三角，向量，不等式、函数等策略去思考与圆相关问题，其本质上殊途同归，但能起到事半功倍的效果，虽解法策略有所不同，但本质上均利用了化归与转化的思想，殊途同归.

参考文献：

[1]李良.初等数学最值问题的解法探讨[J].中学教学参考，2021（02）：20-22.

[责任编辑：李璟]

作者简介：李小蛟（1984.10-），男，本科，中学高级教师，从事高中数学教学研究.

基金项目：本文为成都市名师专项课题《初高中数学衔接与教材整合实践探究》（编号CY2018M30）研究成果.