“问题意识”促进高中生数学逻辑推理素养发展研究*

广东省中山市实验中学(528400) 郭立祥

广东省东莞市第八高级中学(523000) 李鸿艳

《普通高中数学课程标准(2017年版)》提出培养学生具有数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象和数据分析这六大数学核心素养.重视培养具有自主学习能力,以及分析问题、解决问题、提出问题能力和具有创新能力的数学人,其中培养学生具有“问题意识”又是体现数学核心素养的一个重要方面,正如我国古代著名教育家孔子所说:“疑是思之始,学之端”.数学学习的过程始终绕不开“问题”,往往通过探究问题、分析问题来解决问题,并在此基础上提出新问题.国外在进行思维发展研究的时候往往也是把“问题意识”作为探究的一个重要抓手,古希腊学者亚里士多德曾说过:“思维是从疑问和惊奇开始的”.因此“问题意识”是体现思维活动的主动性、自我性和合作性,促使学生主动去探究问题,作为数学学习灵魂的问题意识也是当前教育教学改革的一个重要方向.课堂教学崇尚以学生为中心,调动学生学习的积极性,建立在问题意识基础上能够让学生更多自主融入到知识获取与技能形成过程.笔者以“函数的单调性”为例,高三年级普通班学生为研究对象,从培养学生问题意识角度来探究高中生数学逻辑推理素养发展.

1 预习中的“问题意识”

课堂的教学活动只是高中数学学习的一个部分,当一节课结束的时候,起到承上启下的课外作业布置就显得非常重要,它包括对于课堂学习中所涉及到的重要知识和技能巩固,以及下一节课所要学习的新内容预习.例如在新授课“函数的单调性”学习之前一节课的作业布置中,关于预习部分设置如下问题: 若函数f(x) =kx −lnx在区间(1,+∞)内单调递增,求k的取值范围,并思考: 解决这类问题容易出错的地方在哪里?

2 课堂中的“问题意识”

2.1 营造良好氛围,在问题意识中奠定互动基础

良好的氛围有助于学生带着浓厚兴趣主动去探究问题,在课前预习中布置一些探究问题或者在新课导入中创设特定情境,营造一种探究氛围,有效引发学生自主学习、自主探索和合作探究, 并逐步引导学生进行类比推理和归纳总结,给出解决一类问题的通法,进而促进数学创新思维及创新能力的全面提升.例如: 针对新授课“函数的单调性”之前布置的预习作业,解决这个问题会驱使学生复习函数单调性判断方法,特殊函数的导数求法,以及恒成立等问题,大部分学生认为要想完全搞清楚这个问题还是具有一定挑战性的,因此对于新授课“函数的单调性”学习需要去准备大量预备知识,这也为新授课的课堂探究奠定互动基础.

课堂上营造恰当的问题氛围有助于学生带着兴趣主动探究,在检查学生作业中,发现很多同学都是下面的解法:

解:f′(x) =k −因为函数在区间(1,+∞) 内单调递增,所以k≥在区间(1,+∞)上恒成立,令g(x) =x ∈(1,+∞),则g(x)<[g(x)]max=g(1)=1,因此k的取值范围为(1,+∞).

很明显,该种解法结果有问题,如何让学生能对作业中出现的问题引起反思,起到警醒,以及掌握同类问题处理技巧,就成为课堂教学探究问题的突破口.课堂中首先在屏幕上投影了张三同学的作业,并提出:

【问题1】g(x)=在区间(1,+∞)内取不到g(1),即[g(x)]max不存在.然而k可不可以取到1?

通过同学们小组合作讨论和小组代表发言, 最后大家形成一致意见:“函数g(x) =在区间(1,+∞)内取不到g(1),k可以取到1,因此k的取值范围为[1,+∞).”

虽然课前作业出现的共性问题解决了,但教学决不能就题论题,对问题进行拓展或变式练习,探究出同类问题的通法或通解,进而达到促进学生的数学思维创新能力提升.在此基础上进一步引导学生如果把条件变化为单调递减呢? 因此课堂中教师又设计了下面的问题:

【问题2】若函数f(x) =kx −lnx在区间(1,e)内单调递减,求k的取值范围.

基于问题意识上的深度学习提倡学生从“要我学”向“我要学”转变,围绕课前问题和教学重难点在课堂教学过程中创设问题情境,探究“已知函数的单调性求参数所涉及的恒成立问题”所蕴含知识的本质,推进了学生思维的深度和广度,培养了学生逻辑推理的严密性.同时,在教师的适度引导下,学生进行阶段性归纳总结,从特殊到一般,做到融会贯通,从而突破教学重难点,夯实基础知识,提高学习效率.

2.2 设计有效提问,在归纳总结中推进互动进程

课堂中的问题设置遵循水到渠成,无缝对接,层层推进,将思维向纵深方向延伸,从条件或结论变化,转换问题的内容和形式,多角度开展探究研究对象的本质属性.

教师: 通过上面的学习大家对于恒成立已经有了基本的思路和结论,但是任何问题不是一成不变的.亚里士多德说过“思维是从疑问开始的”,“恒成立与存在性”是应用导数知识解决“已知函数的单调性求参数”问题中所涉及的两个不同问题,对于下面的问题又该如何解决呢?

【问题3】若函数f(x) =kx −lnx在区间(1,e)内存在单调增区间,求k的取值范围.

【问题4】若函数f(x) =kx −lnx在区间(1,e)内存在单调减区间,求k的取值范围.

教师: 通过对比, 同学们能发现用导数求解“恒成立问题”和“存在性问题”有什么区别吗?

学生: 恒成立是指对于定义域范围内每一个自变量x都成立,而存在性强调的是有解.

在前面提问的基础上,教师进一步提出如果不单调呢?

【问题5】若函数f(x)=kx −lnx在区间[1,e]内不单调,求k的取值范围.

教师: 由题意可知当x ∈[1,e]时,f′(x) =k −,因此有解,∴

在前面五个问题探究基础上, 学生对于函数涉及到的“已知函数的单调性求参数”存在性与恒成立解决思路和易错点就比较清楚了,教师顺势引导学生对结论进行了归纳整合:

(1)若a≥p(x),x ∈(m,n)涉及到存在性,则求p(x)在区间[m,n]内的最小值.

(2)若a≥p(x),x ∈(m,n)涉及到恒成立,则求p(x)在区间[m,n]内的最大值.

(3)若a≤p(x),x ∈(m,n)涉及到存在性,则求p(x)在区间[m,n]内的最大值.

(4)若a≤p(x),x ∈(m,n)涉及到恒成立,则求p(x)在区间[m,n]内的最小值.

以某个问题为支点在“变”中归纳总结出同类问题的解决方法,做到对所学习知识融会贯通,不仅可提高学习效率,而且学生在对知识的获得感和成就感中无形也提升了学习数学的兴趣.与此同时以学生为中心的教学,把问题作为教学的灵魂,培养了学生的问题意识、质疑能力和思维的严密性,拓广了他们的思维维度,促进了学生的逻辑思维素养发展.

2.3 注重互动反馈,在质疑反思中完善逻辑推理

在质疑基础上的反思,是学生融入学习过程的一种重要学习方法,可以进一步优化学生的思维品质,让学生的思维走向深入.反思解决这一类问题以后,需要对于这个通法进行检验,进行补缺补差,达到逻辑思维的完备性.因此,教师又提出下面的问题: 在归纳总结基础上大家对于“已知函数的单调性求参数所涉及的存在性与恒成立问题”,那么所有涉及到的此类问题是否都需要通过求最大值和最小值来解决呢?

【问题6】若函数f(x) =x3+x2+mx+1 是R上单调增函数,求m的取值范围.

学生:f′(x) = 3x2+2x+m≥0 是R上恒成立, 即Δ=4−12m≤0,所以m≥

由此学生对于“已知函数的单调性求参数所涉及的恒成立与存在性问题”,推断出不一定都是涉及求最大值或者最小值问题,从而进一步培养学生逻辑推理的完备性.

3 课后的“问题意识”

课后“问题意识”,通常以巩固性作业、探究性作业、实践性作业等来呈现,一般课后的问题设置要注意以下几个方面:第一,问题设置以训练基础知识和基本技能为主.围绕复习和巩固教学重难点为中心,以及与下一节内容有关联,而且是所学过的重要知识点进行设置.第二,问题设置的梯度性.学情是问题设置一个重要的参考,可以采用必做题和选做题相结合,难度逐步增加,避免出现“不能吃”或“吃不饱”现象,让不同阶梯学生都能够充分享受解决问题所带来的成功喜悦.第三,课后问题解决的及时性.及时反馈、及时批改能够让教师第一时间掌握班级学生的学习情况,老师在批改中发现问题,也让下节课、下阶段的教学做到有的放矢.

总之,“问题意识”促进高中生数学逻辑推理素养发展过程中,通过教师围绕教学重难点设置问题,不断变式,不断总结反思,来掌握学生的基本知识和技能获得程度,并在问题探究过程中不断优化互动方式和问题设置的层次度,为学生逻辑推理能力发展提供更大的空间.