半张量积在线性映射中的应用

李东方，刘会彩，张 锦

(1.许昌电气职业学院公共教学部，许昌 461000；2.聊城大学数学科学学院，聊城 252059)

文[1]中，程代展给出了一种新的矩阵乘法——矩阵的左半张量积，并给出了它在Morgan问题中的应用.随后，程代展研究员把它应用于几何、代数、逻辑、图论、动态系统、故障检测、模糊控制、非线性控制等领域，效果显著，取得了丰硕的成果，并把部分成果总结于文献[2-3]中。在文献[4]中，程代展、齐洪胜、贺风华等把半张量积方法应用于有限集上的映射表示及动态系统的演化规律及控制，利用新的工具，从新的角度审视，给出了一系列新的结果。在文献[5-13]中，程研究员等把半张量积应用于布尔网络控制，先构造了它的代数形式，然后再返回逻辑形式。这与传统的直接构造布尔网络的逻辑动态方程的方法截然不同。

本文把程代展研究员定义的矩阵左半张量积应用于线性映射中，从新的视角解决了几类复杂的线性映射的矩阵表示问题，让我们看到了用半张量积研究线性映射的优越性。

1 预备知识

给定矩阵A∈Mm×n,B∈Mp×q，如果n=tp，我们记为A≻tB；反之，如果nt=p，我们记为AtB。那么左半张量积有如下等价定义：

定义1.3[2]换位矩阵W[m,n]是一个mn×mn矩阵，定义如下：它的行和列都是有双指标(i,j)标注，列是按照索引Id(i,j;m,n)排列，行是按照索引Id(J,I;n,m)排列，并且位于[(I,J),(i,j)]上的元素的值为

可以看出换位矩阵W[m,n]总是一个正交矩阵。

定理1.2[2]设A∈Mm×n,X∈Mn×q,Y∈Mp×m，则有Vr(AX)=A▷Vr(X)，Vc(YA)=AT▷Vc(Y)。

定理1.3设A是一个m×n维矩阵，则有(1)Vr(A)=Vc(AT),Vc(A)=Vr(AT)；

(2)W[m,n]Vr(A)=Vc(A),W[n,m]Vc(A)=Vr(A)。

推论1设A是一个m×n维矩阵，则有Vc(AT)=W[n,m]Vc(A),Vr(AT)=W[m,n]Vr(A)。

证明由定理1.3直接可得。

定理1.4[2]设A∈Mm×n,B∈Mp×q，则有A⊗B=W[p,m]▷B▷W[m,q]▷A=(Im⊗B)▷A。

特别地，有W[p,m]▷B▷W[m,q]=(Im⊗B)。

定理1.5[2]设A∈Mm×n,B∈Mp×q，则有

(1)(Ip⊗A)W[n,p]=W[m,p](A⊗Ip)；(2)W[m,p](A⊗B)W[q,n]=(B⊗A)。

定理1.6[4]设A∈Mm×n,B∈Mp×q,C∈Mn×r，以及D∈Mq×s。那么(A⊗B)(C⊗D)=(AC)⊗(BD)。

特别地，有(A⊗Ip)(In⊗D)=A⊗B。

在文献[2-3]中已表明左半张量积是普通矩阵乘法的推广，普通矩阵乘法是它的一种特殊情况。除非为了强调左半张量积，一般情况下我们省略半张量积符号▷。

2 主要结论

设X∈Mn×p，我们考虑一般的线性映射ρ:Mn×p→Mm×q，定义如下：

X→AXB+CXTD，

其中，A∈Mm×n,B∈Mp×q,C∈Mm×p,D∈Mn×q。

定理2.1设A∈Mm×n,X∈Mn×p，对于映射ρ:X→AX，则其行展开表示是Vr(ρ(X))=(A⊗Ip)Vr(X)。

证明由定理1.2可得：Vr(ρ(X))=Vr(AX)=A▷Vr(X)=(A⊗Ip)Vr(X)。

定理2.2设X∈Mn×p,B∈Mp×q,对于映射ρ:X→XB，则其行展开表示是Vr(ρ(X))=(In⊗BT)Vr(X)。

证明由定理1.2，1.3及1.5可得：

Vr(ρ(X))=Vr(XB)=Vc(XB)T=Vc(BTXT)=W[q,n]Vr(BTXT)=W[q,n](BT⊗In)Vr(XT)=W[q,n](BT⊗In)Vc(X)=W[q,n](BT⊗In)W[n,p]

Vr(X)=(In⊗BT)Vr(X)。

定理2.3设A∈Mm×n,X∈Mn×p,B∈Mp×q,对于复合映射ρ:X→AXB，则其行展开表示是

Vr(ρ(X))=(A⊗BT)Vr(X)

证明由定理2.1，2.2及1.6可得：

Vr(ρ(X))=Vr(AXB)=(A⊗Iq)Vr(XB)=(A⊗Iq)(In⊗BT)Vr(X)=(A⊗BT)Vr(X)

证明定理2.3中令B=A-1可得。

定理2.4设C∈Mm×p,X∈Mn×p，对于映射ρ:X→CXT，则其行展开表示是

Vr(ρ(X))=(C⊗In)W[n,p]Vr(X)

证明由定理1.2，1.3可得：

Vr(ρ(X))=Vr(CXT)=C▷Vr(XT)=(C⊗In)Vr(XT)=(C⊗In)W[n,p]Vc(XT)=(C⊗In)W[n,p]Vr(X)

定理2.5设D∈Mn×q,X∈Mn×p，对于映射ρ:X→XTD，则其行展开表示是

Vr(ρ(X))=(Ip⊗DT)W[n,p]Vr(X)

证明由定理1.3，2.1可得：

Vr(ρ(X))=Vr(XTD)=Vc(DTX)=W[q,p]

Vr(DTX)=W[q,p](DT⊗Ip)Vr(X)=W[q,p](DT⊗Ip)Vc(XT)=W[q,p](DT⊗Ip)W[p,n]W[n,p]

Vc(XT)=(Ip⊗DT)W[n,p]Vc(XT)=(Ip⊗DT)W[n,p]Vr(X)。

定理2.6设C∈Mm×p,X∈Mn×p,D∈Mn×q,对于复合映射ρ:X→CXTD，则其行展开表示是

Vr(ρ(X))=(C⊗DT)W[n,p]Vr(X)

证明由定理2.4，2.5及1.6可得：

Vr(ρ(X))=Vr(CXTD)=(C⊗Iq)Vr(XTD)=(C⊗Iq)(Ip⊗DT)W[n,p]Vr(X)=(C⊗DT)W[n,p]Vr(X)

推论3(Lyapunov映射)设A∈Mn×n考虑映射LA:Mn→Mn，定义如下：LA(X)=AX+XAT，则其行展开表示是Vr(LA(X))=(A⊗I+I⊗A)Vr(X)。

证明由定理2.1，2.2可得：

Vr(LA(X))=Vr(AX+XAT)=Vr(AX)+Vr(XAT)=(A⊗I)Vr(X)+(I⊗A)Vr(X)=(A⊗I+I⊗A)Vr(X)。

推论4(辛映射)设A∈Mn×n考虑映射SA:Mn→Mn，定义如下：SA(X)=AX+XTA，则其行展开表示是Vr(SA(X))=(A⊗I+(I⊗AT)W[n])Vr(X)。

证明由定理2.1，2.5可得：

Vr(SA(X))=Vr(AX+XTA)=Vr(AX)+Vr(XTA)=(A⊗I)Vr(X)+(I⊗AT)W[n]Vr(X)=(A⊗I+(I⊗AT)W[n])Vr(X)

推论5(伴随映射)设A∈Mn×n考虑映射adA:Mn→Mn，定义如下：adA(X)=AX-XA，则其行展开表示是Vr(adA(X))=(A⊗I-I⊗AT)Vr(X)。

证明由定理2.1，2.2可得：

Vr(adA(X))=Vr(AX-XA)=Vr(AX)-Vr(XA)=(A⊗I)Vr(X)-(I⊗AT)Vr(X)=(A⊗I-I⊗AT)Vr(X)

定理2.7设A∈Mn×n,X∈Mn×n,对于复合映射ρ:X→XAX，则其行展开表示是

Vr(ρ(X))=(In⊗VrT(In))(AT⊗In)

证明Vr(ρ(X))=Vr(XAX)=XA▷Vr(X)

对于XA，我们有

定理2.8设A,B,C,X∈Mn×n，对于复合映射ρ:X→AXBXC，则其行展开表示是

证明由定理2.3可得

Vr(ρ(X))=Vr(AXBXC)=(A⊗CT)▷

Vr(XBX)=(A⊗CT)▷XB▷Vr(X)

对于XB，我们有

本文讨论的几种线性映射都是按矩阵的行展开Vr(X)表示。相应的，对于线性映射的列展开Vc(X)表示也有类似的结论成立，这里不再赘述。

3 应用

作为应用，下面我们给出计算一般线性群的李代数。一般线性群记作GL(n,R)，把它看作Rn×n的一个开子集，它是一个解析流形。在这个流形结构下，乘法和逆运算都是解析的。因此，它是一个李群。李群的所有左不变向量场构成它的李代数。

又因为F(X)是左不变的，A左平移到X的向量正好是F在该点的值，故

上式最后一个等号由定理2.1得到。因此，F(X)在X的矩阵形式是XA。

接着给定两个左不变向量场F和W，分别由A和B生成。由上面的过程可知，F和W的矩阵形式分别是F(X)=XA和W(X)=XB。利用定理2.1，在向量形式下，它们可以分别表示成

F(x)=(In⊗AT)x，W(x)=(In⊗BT)x

这里x=Vr(X)。

根据公式[14]

我们有

[F(x),W(x)]=(In⊗BT)(In⊗AT)x-(In⊗AT)(In⊗BT)x=((In⊗BT)(In⊗AT)-(In⊗AT)(In⊗BT))x=(In⊗BTAT-In⊗ATBT)x=(In⊗(BTAT-ATBT))x=(In⊗(AB-BA)T)x

再次利用定理2.1，[F(x),W(x)]的矩阵表示是(AB-BA)X，也就是由AB-BA生成的左不变向量场。因此，李群GL(n,R)的李代数gl(n,R)上的李括号是[A,B]=AB-BA。