空间型上的近Yamabe孤立子

陈佳蕊, 刘建成

(西北师范大学 数学与统计学院, 兰州 730070)

1 引言与主要结果

若Riemann流形(Mn,g)上存在一个向量场v和一个常数λ, 使得(R-λ)g=Lvg/2, 则称Riemann流形(Mn,g)为Yamabe孤立子, 记为(Mn,g,v,λ), 其中:v称为孤子场;R表示流形Mn的数量曲率;Lvg表示流形Mn上度量g沿向量场v的李导数;λ∈. 当λ>0(λ=0或λ<0)时, 称Yamabe孤立子(Mn,g,v,λ)为收缩(稳定或扩张)Yamabe孤立子. 若向量场v是流形Mn上一些光滑函数f的梯度, 则称Yamabe孤立子(Mn,g,v,λ)为梯度Yamabe孤立子, 记为(Mn,g,f,ρ). Yamabe孤立子是Yamabe流的特解. 近年来, 关于Yamabe孤立子的研究已有很多成果[1-4]. 文献[5]介绍了Yamabe孤立子的一个推广, 即近Yamabe孤立子.

若Riemann流形(Mn,g)上存在一个向量场v和一个光滑函数ρ, 使得

(R-ρ)g=Lvg/2,

(1)

则称Riemann流形(Mn,g)为近Yamabe孤立子, 记为(Mn,g,v,ρ), 其中:v称为孤子场;ρ称为孤子函数;R表示流形Mn的数量曲率;Lvg表示流形Mn上度量g沿向量场v的李导数. 若向量场v是流形Mn上一些光滑函数f的梯度, 则称近Yamabe孤立子(Mn,g,v,ρ)为梯度近Yamabe孤立子, 记为(Mn,g,f,ρ). 当光滑函数ρ取常数时, 近Yamabe孤立子是Yamabe孤立子, 梯度近Yamabe孤立子是梯度Yamabe孤立子.

其中:V,W是流形Mn上的任意光滑切向量场;XN表示位置向量场X的法分量;R表示流形Mn的数量曲率;λ是一个常数. 文献[7]在相同的条件下, 将文献[6]的结果推广到了近Yamabe孤立子, 并得到了欧氏空间中超曲面上任意一个近Yamabe孤立子都被包含在超平面或球面中.

其中:V,W是流形Mm上的任意光滑切向量场;XN表示向量场X的法分量;R表示流形Mm的数量曲率;ρ表示流形Mm上任意一个光滑函数, 此时记近Yamabe孤立子为(Mm,g,XT,ρ).

注1对定理1, 当φ(r)=r,r∈[0,∞), 即截曲率k=0时, 空间型Nn+1(k)是欧氏空间n+1, 此时定理1与文献[7]中引理4.1的结果一致.

2 预备知识

(2)

(3)

(4)

3 主要结果的证明

X=XT+XN.

(5)

3.1 定理1的证明

先证明必要性. 一方面, 子流形(Mm,g)是以向量场X的切分量XT作为孤子场的近Yamabe孤立子, 由式(1)可知, 切分量XT满足

(6)

其中:R是子流形Mm的数量曲率;ρ是子流形Mm上的任意一个光滑函数.

另一方面, 由引理1知, 对子流形Mm上的任意光滑切向量场Y, 向量场X满足

(7)

代入式(5)可得

(8)

将式(8)代入式(2)和式(3)可得

φ′(r)Y=YXT+h(Y,XT)-AXNY+DYXN.

(9)

对比式(9)中的切分量和法分量, 有

YXT=φ′(r)Y+AXNY,

(10)

h(Y,XT)=-DYXN.

结合李导数的定义, 由式(4)和式(10)可知

其中V,W是子流形Mm上的任意光滑切向量场. 将式(11)与式(6)做对比可得

(12)

其中:V,W是子流形Mm上的任意光滑切向量场;R是子流形Mm的数量曲率;ρ是子流形Mm上任意一个光滑函数. 当φ(r)=r,r∈[0,∞)时, 截曲率k=0; 当φ(r)=sinr,r∈[0,π)时, 截曲率k=1; 当φ(r)=sinhr,r∈[0,∞)时, 截曲率k=-1.

另一方面, 由上述必要性的证明可知

(13)

结合式(12)和式(13)可得(R-ρ)g=LXTg/2, 即子流形(Mm,g)是以向量场X的切分量XT为孤子场的近Yamabe孤立子.

3.2 推论1的证明

(14)

将式(14)代入式(2)和式(7)可得

(15)

3.3 定理2的证明

(16)

其中i,j=1,2,…,n. 由式(16)可得

R-ρ-φ′(r)=ωki,

(17)

对式(17)求和可得

R-ρ-φ′(r)=ωα,

(18)

比较式(17)和式(18), 有ki=α, 因此Mn是全脐超曲面, 定理2得证.