集优化问题近似解的非线性刻画

欧阳磊，聂水晶，徐义红

(1.南昌大学数学系，江西 南昌 330031；2江西工程学院公共课教学部，江西 新余 338000)

集值优化是向量优化的推广,在博弈论、工程学、控制理论和金融学等领域有广泛的应用。集优化由Kuroiwa[1]首次提出，这种方法依赖于集值映射的值之间的关系，同时依赖于集合的序关系。Kuroiwa等[2]首先提出了6种集合的序关系, Jahn和Ha[3]定义了一类新的集合序关系，并给出了它们的一些性质。

标量化方法是求解集值优化问题的一类重要方法，其核心思想是用数值优化问题刻画原来的集值优化问题。基于集合的less序关系，Hernández和Rodríguez-Marín[4]利用广义的Gerstewitz泛函刻画了集优化问题的解。Kuwano等[5]对集值优化问题和一些序关系进行了统一标量化。Karaman等[6]利用Minkowsi差在集族上定义了一类新的序关系。借助新引进的非线性泛函刻画了集优化问题的相应解。

Küçük等[7]提出了另外一种求解集值优化问题的方法：向量化。这种方法的目的是把集值优化问题转化为向量优化问题。基于集合的less序关系，Jahn[8]提出了集优化问题的两种向量化方法。在向量优化问题中，由像空间的序锥所定义的各种不同的解概念扮演了十分重要的角色，其中主要包括有效解、弱有效解[9]、全局真有效解[10]。在广义凸性条件下，杨新民等[11-12]利用线性标量化方法给出了弱有效解的一些新刻画。

另一方面，序锥的拓扑内部可能是空的，Chinaie等[13]举例明说了在无限维空间中，凸集的拓扑内部为空集时，代数内部[14]可能非空。因此，当序锥代数内部非空时，如何提出集优化问题的解，并研究它们的性质，是十分有意义的研究课题。

当序锥的代数内部非空时，本文拟引进集优化问题的近似有效解和近似弱有效解，并研究它们的若干性质。

1 预备知识

设X和Y为实赋范线性空间，K是Y中的点凸锥，且0Y∈K，用P(Y)和B(Y)分别表示Y的非空子集族和非空有界子集族。设A是Y中的非空子集，集合A的代数内部、向量闭包和拓扑闭包[14]分别定义为

corA：={y∈A：∀h∈Y,∃δ>0,使得∀λ∈[0,δ],y+λh∈A}

vclA：={y∈Y:∃h∈Y,∀δ>0,∃λ∈(0,δ],使得y+λh∈A}

clA:={y∈Y:对零的任意邻域U，满足(y+U)∩A≠∅}

定义1.1[6]设A，B∈P(Y)，Minkowski差定义为

引理1.1[6]若A，B∈P(Y)且c∈Y，则

引理1.3[15]若A是凸集且corA≠∅，则cor(corA)=corA。

引理1.4[15]若A是凸锥且corA≠∅，则

(ⅰ) vclA+corA=corA;

(ⅱ)A+corA=corA。

下面利用代数内部引进一类新的序关系。

2 一类非线性泛函及其性质

命题2.1设A,B∈P(Y)，且r∈，则

且

(2.1)

(2.2)

注2.1当intK非空且ξ=0Y时，命题2.1(ⅰ)就是[6]中命题14(ⅰ)。

证明由K⊆vclK⊆clK得K=vclK=clK。因而由命题2.1(ⅱ)(ⅲ)可知结论成立。

(2.3)

注2.2当intK非空且ξ=0Y时，命题2.3就是[6]中命题19(ⅰ)。

3 集优化问题的近似有效解和近似弱有效解

设集值映射F：X→2Y，∅≠S⊆X，∀x∈X，都有F(x)∈P(Y)。

考虑下面的集优化问题

(PK) minF(x)

s.t.x∈S。

下面我们引进一类弱有效解、近似有效解和近似弱有效解。

定义3.2设x0∈S,ξ∈K。

定理3.1设ξ∈K，则下面命题成立。

(ⅰ)若F(x0)∈B(Y)，则E(F,S,K)⊆ξ-E(F,S,K);

(ⅱ)设F(x0)∈B(Y)，若x0∈ξ-E(F,S,K)，则x0∈ξ-W(F,S,K);

(ⅲ)W(F,S,K)⊆ξ-W(F,S,K);

证明(ⅰ)①若ξ=0，由定义知E(F,S,K)=0-E(F,S,K)。

②若ξ≠0，设x0∈E(F,S,K)。∀x∈S，

若F(x)+ξ=F(x0)，由定义知x0∈ξ-E(F,S,K)。

(3.1)

这与(3.1)式矛盾，因此

(ⅱ)设x0∈ξ-E(F,S,K)。∀x∈S,

由corK⊆K得

由①②得x0∈ξ-W(F,S,K)。

(3.2)

y0=k1+ξ∈corK+K⊆corK

(ⅳ)由(ⅲ)得

(3.3)

4 最优性条件

考虑集优化问题

(PK) minF(x)

s.t.x∈S

(ⅰ)T(F(x0)-ξ)=0;

(ⅱ)当F(x)+ξ≠F(x0)时，T(F(x))>0。

“⟸”反证法。若x0∈S不是(PK)的ξ-有效解，则存在x1∈S，使得

F(x)=conv{(x,x),(x+1,x),(x,x+1)}，∀x∈S

5 结论

本文在序锥的代数内部非空时引进了集优化问题的ξ-有效解和ξ-弱有效解，由定理3.1(ⅰ)(ⅲ)可知它们分别是有效解和弱有效解的推广。由定理3.1(ⅳ)知即在一定条件下，近似弱有效解集等于弱有效解集。利用非线性泛函给出了集优化问题的ξ-有效解的最优性条件，本文的定理4.1从以下两方面推广了[6]的定理2:(ⅰ)由拓扑内部非空推广到代数内部非空;(ⅱ)由有效解推广到近似有效解。