数学教学应从三个方面培育学生思维的深刻性

孔德宇

【关键词】思维的深刻性;概念教学;知识网络结构;数学素材选用

【中图分类号】G633.6  【文献标志码】A  【文章编号】1005-6009（2021）71-0069-02

思维的深刻性是指思维活动的深度、 广度和难度，以及思维活动的抽象程度和逻辑水平。培育思维的深刻性对学生学习数学、形成数学思维具有至关重要的作用，也是落实学生核心素养的有效途径。因此，一线教师应当将培育学生思维的深刻性渗透于日常教学活动中，让数学教育为学生的终身发展奠定重要基础。

一、重视概念教学，为思维深刻性的培育提供土壤

概念是数学的基石，数学思考的本质是建立在数学概念上的思考，学生对概念的理解直接影响到其对数学和数學方法的认识。因此，教师要让学生在接触每一个概念伊始，便感受到数学思考的魅力，使概念教学成为培育思维深刻性的土壤。笔者以苏科版教材八年级下册“11.2 反比例函数的图象与性质”一课为例，探索“反比例函数的图象”这一概念生成过程中“由数想形”的方法，谈谈如何让思维的深刻性在概念教学中得到发展。

“由数想形”就是通过分析反比例函数表达式，判断函数图象的特征。其本质是将函数表达式中x、y的取值与坐标系中点的横纵坐标分别对应，满足关系式的x、y的值（数）即对应着点的坐标（形）。据此，我们可以依据x、y取值的特点来判断函数图象的特征。课堂上，教师可以以函数y = [6x]为例，进行“由数想形”的概念教学。根据分数的性质，引导学生明确该函数表达式中x的取值不能为零，说明函数图象上点的横坐标不能为零。由此，学生可以得出该函数图象与y轴没有交点的结论，同理可得出该函数图象与x轴没有交点的结论。

教学时教师要注重学生的体验，让学生参与到思考和解题的过程中，从而一步一步、有浅及深地明确概念的含义，培育学生思维的深刻性。本例中“由数想形”的过程能帮助学生理解函数表达式与函数图象之间的对应关系，加深其对“数形结合”思想的理解。这就为学生后续研究新的函数的图象及其特征提供了思路和参考，帮助学生建立起关于函数及其图象的整体概念和解题思路。

二、重视构建知识网络，为思维深刻性的发展提供信息支撑

数学中思维的深刻性就是运用数学概念、定理等，借助逻辑推理的方式，获得接近问题本质的结论。在这个过程中，主体的知识结构影响着逻辑推理的深度。因此，要发展学生思维的深刻性，需要重视构建全面、系统的知识网络，使学生在面对新的问题时能够从已有的知识网络中迅速提取与之相关的信息。下面，笔者以一道常见的数学题为例，谈谈知识网络构建及其对发展思维深刻性的重要作用。

如图1，已知一次函数y=2x+4的图象过点A（1，6），并与y轴相交于点B。若将该一次函数图象绕点A顺时针旋转45°得到直线CD，求直线CD的函数表达式。

考虑到旋转角是45°的特殊性，教师可引导学生回顾三角形所学知识，构造等腰直角三角形来解决问题。在学生根据三角形性质得出本题答案后，教师可以进一步提问：若直线绕点A旋转30°或60°，可以求出旋转后的直线解析式吗？引导学生沿着这一路径思考，最终可以发现：若将直线绕直线上（或直线外）的确定一点（已知坐标）旋转任意角度α（0°<α<180°），只需要知道这个角的某一三角函数值，便可求出旋转后直线的解析式。通过分析归纳，使直线在平面直角坐标系中绕点旋转的问题一般化，为学生今后的学习提供更高阶、立体的知识网。

该环节中，教师引导学生从特定的例题中归纳出解题的一般方法和思路，将特定情境下的问题推广到一般情境，体现了对学生的思维深刻性的培养。所以，教师在构建知识网时应注重知识辨析，强化知识网中知识点之间的横纵联系，培养学生的思维深刻性的同时，为其深度思考提供必要的信息库。

三、选择恰当素材，让思维的深刻性自然生长

在实际教学中，为了达到某种特定的教学效果，教师常根据实际需要编制合适的练习。为培养学生思维的深刻性，在学生掌握勾股定理后，笔者编制如下问题：

如图2，在网格图中（每个小正方形的边长为1个单位），线段AB经过平移运动到A'B'的位置，给出下列说法：

①沿网格线平移，点A到点A'的最短路径长为5;②在网格中任意平移，点B到点B'的最短路径长为[13];③在AB平移到A'B'的过程中，线段AB扫过的最小面积为8。

其中完全正确的有    。（填序号）

本题的本质是线段平移问题，常见的解题思路都是将图形沿网格线平移，这就导致学生形成思维定势，认为网格背景中的平移只能沿网格线进行。因此，笔者在学生学完勾股定理后设计了这一问题，将点移动的路径设置为“网格中任意平移”，抓住与固有思维之间的矛盾，引起认知冲突，使学生认识到只要“确定一对对应点的平移方向与距离”即可完成题目。

其实教学中，教师还会遇到其他具体的问题，譬如针对几何推理能力较弱的学生，可以选择切入口宽、方法多、综合性强的素材，引导学生对条件、结论进行深度分析;若学生对某一个或一类问题存在思维盲点时，可以选择相近的有梯度的素材形成题组或小专题，促使学生打破思维定式，学会举一反三。

（作者单位：江苏省江阴市青阳初级中学）