改序 立型

童富清

[摘 要]教学的序，是在明确教材的序和学生认知的序的基础上形成的教学之路。教师应该遵循教材知识的序，尊重学生认知的序，一步步帮助学生解决问题。文章通过分析“打电话”一课的教材内容和学生的学情，重构了教学的序，重新铺就一条学生构建知识、形成能力的教学路径，为建立数学模型，提升数学学科素养铺就扎实的“明理”之路。

[关键词]学情分析;改序;立型

[中图分类号] G623.5[文献标识码] A[文章编号] 1007-9068（2021）29-0025-03

一、学情分析

“优化”是很重要的数学思想，人教版数学教材非常注重结合具体教学内容进行“优化”思想的渗透。四年级上册“数学广角——优化”借助烙饼、沏茶等简单事例，让学生尝试在多种方案中寻找最优方案。五年级教材中“打电话”虽然隶属“综合与实践”领域，但目的也是让学生进一步体会“优化”思想在生活中的应用。

那么，教材安排了怎样的序呢？教材在呈现了打电话的问题情境后，让学生探究交流、反馈，再发现规律、应用规律。笔者尝试用教材教学的序——例题、预设以及教学参考书中提供的探究表格展开教学。

1.研读教材的序，厘清教学逻辑的序

（1）材料呈现重学生的原认知。

教材呈现问题情境：一个合唱队共有15人，暑假期间有一个紧急演出， 老师需要尽快通知到每一个队员。如果用打电话的方式，每分钟通知1人，请帮助老师设计一个打电话的方案。

以文字描述创设情境，引导学生用自己喜欢的方式记录下来，这样的材料呈现重视学生的原认知，有利于学生形成表征，进行探究。

（2）问题推进重数学方式表征。

在反饋时，教材又安排了用怎样的序推进教学呢？首先反馈一个一个通知的方案（如图1），然后反馈分组通知的方案（如图2），最后反馈最优的通知方案（如图3）。

教材呈现了符号化表征，通过交流不同的记录方式，有利于学生获取数学表征的方法。

（3）规律探究重数学模型优化。

在学生找到最优通知方案后，教师引导学生通过观察、交流，去发现这种方案中隐含的规律，并用表格的方式来表示发现的规律。表格主要统计了三项内容：第几分钟后新接到通知的队员人数，第几分钟后所有接到通知的队员和老师的总人数，第几分钟后所有接到通知的队员总人数。这三项内容呈现了解决问题过程中的几个关键数据，如果学生能够完成这个表格，数学模型的建立就变得简单了。

2.剖析认知的序，厘清自主建构方式

笔者严格按照教材和教师参考用书上的材料、教学之序进行教学，但是发现其与学生认知的序不相匹配，主要问题有三个。

（1）怎样的素材呈现更有利于学生数学学习的发生？

打电话通知15人的数据太大，学生表征过程非常困难，即使能够完成表征，也会因为图示杂乱，影响了学生的观察和思考。

比如，图4的方案，这位学生显然知道最优方案是接到电话的每个人都不能空闲，可惜他的图画得不够有序、清楚，导致有个别人空闲了;图5的方案，这位学生能正确地表示出打电话的过程，但看上去仍旧比较乱。究其原因，是因为例题中的数据过大，影响了学生的表征过程。

（2）怎样的问题推进更有利于学生数学经验的积累？

围绕例题，学生一般都会得出如教材列举的三种打电话的方案。从理论上说，选择这三种方案的人数应该是从多到少的，因此教材也按照此序列进行反馈。但实际情况完全出乎预料，根据试教班级的统计（全班45人），结果如图6。

学生已经有了“优化”的经验，全班只有1人用“逐个通知”方案，虽然还有很多学生不能找到“最优通知”方案，但还是清楚接到电话后要马上通知其他人。

（3）怎样的模型构建更有利于学生数学模型的优化？

表格里的三项内容呈现了几个关键数据，但小学生思考问题的视角是比较单一的，他们擅长解决简单、表述清楚的问题，三项复杂的统计直接让探究后找规律的错误率上升到了60%左右（如图7）。

笔者发现学生认知的序和教材的序两者不相匹配，需要进行调整，学生模型的建立需要依赖符合认知规律的序。

二、设计思考

正是基于以上的学情分析，笔者认为有必要重新调整设计思路，改变教学的序，主要考虑以下三个方面。

1.让数学学习真实、有效发生

教材的问题情境中，教师要通知15人，因为数据过大，对学生画图及尝试不同的解决方案都有一定的困难。把要通知的学生人数改成7人，这样一来，大部分学生都能正确、清楚地表示出打电话的过程。材料的选择要有助于学生的表征顺利展开，让数学学习有效发生。

2.让数学经验合理、合情发展

从统计结果看，选择“逐个通知”方案的学生只有1人，更多的是选择了“分组通知”与“最优通知”方案。基于学情，教师可以改变反馈的序，从反馈“最优通知”方案入手，把最主要的方法在第一时间夯实，另外两种方案在比较中带过即可。学生已经有了优化的经验，改变了反馈的序，学生的数学经验就能合理、合情的发展。

3.让数学模型适度、适时建立

既然表格中的三项内容已经影响到学生的观察和归纳，笔者就试着精简其中的内容，改为“知道消息的总人数”一项内容。简化后的表格更有利于学生去探究规律、发现规律，数学模型就能适度、适时地建立。

三、教学设计

1.呈现素材，多元探究

（1）学习材料：一个合唱队共有7人，暑假期间有一个紧急演出，老师需要尽快通知到每一个队员。现在只能用打电话的方式，每分钟通知1人，所有队员接到通知至少需要几分钟？

（2）学生读题。

（3）尝试解答。

（4）整体反馈：教师课件展示“最优通知”方案的思考过程（如图8）。

（5）体会方法：“最优通知”方案与“逐个通知”“分组通知”这两种方案相比，为什么用时更少？

【设计意图：改变教材预设的教序，从相互转告的“最优通知”到“逐个通知”“分组通知”，让学生在列举和比较多种方案中强化最优的方案。】

2.启发质疑，引发思考

（1）启发质疑：刚才，同学们用画图的方法成功解决了一个打电话的问题，这样的思考方式到底有什么价值呢？

（2）引发思考：如果需要通知的人数是8人、10人，甚至更多人时，你有什么想法？

（3）达成共识：在数学学习中，我们可以从一道题入手，猜想这一类题背后是否隐藏着一定的规律。

【设计意图：通过一道题的研究，引导学生应用类似的方法去探究一类题背后隐藏的规律，在帮助学生解决一类问题的同时，使学生的思維走向深入。】

3.方法应用，提炼模型

（1）自主探究：如果要通知8人、9人或更多人时，至少需要几分钟？如果给你4分钟、5分钟或更多时间，最多可以通知几人？

（2）整体反馈：把探究的结果整理成表格。

[第几分钟后 1 2 3 4 5 6 … n 知道消息的总人数 2 4 8 16 32 64 … 2n ]

（3）提炼模型：通过刚才的研究，你发现了什么规律？1分钟后，知道消息的总人数是2，只有1个2;2分钟后，知道消息的总人数是2×2;3分钟后，知道消息的总人数是2×2×2……n分钟后，知道消息的总人数是n个2相乘，记作2的n次方。

（4）尝试应用模型：根据你发现的规律，10分钟最多可以通知多少人？我们班有50人，最少在几分钟里就能通知完全班同学？

【设计意图：用表格的形式，让学生观察、分析，抓住内在规律和本质特点，建立数学模型，再利用算式、图形进一步理解规律，最后尝试用规律解决打电话的实际问题，进一步体会优化思想，巩固建模。】

4.应用模型，解决问题

练习1：1棵浮萍漂流到一个池塘里，1天后变成2棵，2天后变成4棵……40天后就长满了整个池塘。5天后池塘里有几棵浮萍？

练习2：有人说“将一张足够大的纸连续对折30次，折出的纸的高度将超过珠穆朗玛峰的海拔高度”，这是真的吗？

【设计意图：在练习中进一步运用规律解决生活中的实际问题，巩固模型，培养学生的应用意识。】

5.比较异同，明晰主旨

这节课的教学内容是打电话，为什么练习的习题却是和打电话无关的问题？

【设计意图：通过比较、沟通后，让学生知道打电话不是一道题，而是一种解决问题的思路和方法，让学生真正从解题的技能走向解题的模型。】

四、课后反思

通过“打电话”的“综合与实践”课，学生不但增长了知识，更学习了解决问题的方法。通过教学，笔者有如下三点思考。

1.“循”知识之序，螺旋上升

数学知识一般是由易到难，呈螺旋上升的。知识之间有横向与纵向联系，教师要读懂联系，从立体宏观上看知识，厘清知识的序列，促进学生知识的建构。

这节课从打电话尽快通知7人的最优方案开始，激发了学生的探索欲望，让学生在观察、分析和归纳中发现规律，进而应用规律解决问题，最终促进学生知识的内化。

2.“询”认知之序，问题引领

奥苏伯尔曾说：“教育心理学用一句话概括，就是知道儿童已经知道了什么。”教师可以通过前测、问卷或当堂询问，明白学生“已知”的，提炼学生“未知、想知”的，再以大问题引领，层层探究剖析，建构新知。

在学生读懂题目意思，明白学习要求后，让学生用自己喜欢的方式表示出来，不论是分组通知，还是最优方案，鼓励学生大胆地运用文字、符号、算式或图示等不同的方式来表征自己的思维过程。在反馈的过程中，组织学生进行展示和交流：你是怎样设计的？你们有没有更好的建议？这些表示方式有什么不同？在交流的过程中逐步明晰最优化的表示方式，帮助学生形成有序、全面思考问题的好习惯。

3.“寻”教学之序，深度学习

理想的课堂应是教材的序和学生认知的序相结合，进行统筹思考和预设，探寻正确的教学之序，将学习引向深度。

在解决“一个老师通知7个学生至少要几分钟”的问题后，教师引导学生将规律和方法内化为活动经验，并按照“模式”重复运用这种经验，让学生自己举例“如果要通知8人、9人或更多人时，至少需要几分钟？如果给你4分钟、5分钟或更多时间，最多可以通知几人？”在数据较大时，图示法显然不是最佳方案，这时就需要学生在理解规律的基础上利用表格、算式或图示来解决，促进学生思维向更高层次发展。

教师“教”的主旨是为了更好地促进学生的“学”，在以“学为中心”教学观的指引下，以合理的学习之序为蓝本，恰当地组合相关的学习素材，方能演绎出精彩的课堂，提升学生的核心素养。

（责编 李琪琦）