探究度：教学设计中一个重要课题*——以“正方体截面的探究”为例

任伟芳

(浙江省宁波市教育局教研室 315100)

《普通高中数学课程标准(2017年版)》(以下简称《标准》)把数学探究活动编入必修课程五个主题中，与数学建模活动一起建议安排6课时，在必修课程中要求学生完成一个课题的探究活动[1]，凸显了数学探究活动的重要性.但从探究教学现状调研中发现，一线数学教师在探究教学设计中普遍存在着没有教学实践经验、理论资料缺乏、示范课例较少等现象.为此近日某市直属在教坛新秀评审时把“正方体截面的探究”作为上课课题，在实践中对数学探究活动教学进行大胆的尝试.在课堂教学中发现设计探究教学时除了要考虑教学目标和教材内容等要素外，学生的探究度也是教师教学设计所要思考的一个重要课题，学生自主与教师指导的“度”的把握是影响达成探究学习目标的直接因素.本文就探究度这一课题在量化分析、课堂实践和教学建议等方面作了有益的探索，敬请批评指正.

1 探究度分析

所谓探究度是指学生进行自主探究的程度，探究度越高就意味教师指导得越少.国外学者认为探究学习有五个基本特征，即问题、证据、解释、评价和发表，同时为这5个基本特征设定了量化的探究度等级[2].结合有关文献和探究教学实践，笔者提出了数学探究过程的6个维度，分别是:1问题提出；2猜测结论；3拟定方案；4论证结论；5反思评价；6表达交流.其中前五个维度是探究学习基本过程的隐形量化，可以衡量学生自主探究的参与程度，第6个维度是贯穿探究全过程所反应出来的显性要素.每个维度按照学生自主探究程度由低到高设定三个水平等级，由此相对应分别是跟随者、模仿者和探索者的角色.如表1.

表1 学生数学探究度的水平划分

2 同课异构的探究教学

探究内容选自《标准》第123页案例11《正方体截面的探究》，用一个平面截正方体，截面的形状将会是什么样的？授课对象为某校高三年级的普通班和创新班学生.

2.1 普通班教学

片段1 源自生活，问题提出

一个几何体和一个平面相交所得到的平面图形(包含它的内部)叫做几何体的截面.生活中我们会遇到很多截面问题，比如用刀去切正方体的面包，它的截面是什么图形？怎样来研究截面问题呢？

片段2 直观感知，猜测结论

问题1用一个平面截正方体，截面的形状将会是什么样的？

说明：为了使学生能够直观感知，需要操作确认.教师预先做了一个几何画板正方体截面的动画，依次拖动三个动点，观察截面的形状发生了怎样的变化.

片段3 操作确认，拟定方案

问题2如果截面是四边形，可以截出几类不同的四边形？为什么？

问题3除了截面是三角形和四边形，你还能截出哪些多边形？为什么？

问题4根据“一平面与两平行平面相交，交线平行”的定理，及正方体的六个面相对面平行的特性，你可以得出哪些结论？

说明：通过师生讨论可以总结得到如图1所示的截面图形.

图1

为了研究截面的形状先拟定解决问题的方案，譬如要证明截面是锐角三角形，先拟定证明截面三角形的三个角都是锐角，就会联想到用余弦定理来解决问题的方案.

片段4 合作交流，论证结论

图2

问题5请大家按照四人组成小组进行讨论，如果截面是三角形，可以截出几类不同的三角形，请说明理由.

说明：能截出锐角三角形，截不出直角三角形和钝角三角形.

证明：设截出的三棱锥的三条侧棱DN、DM、DL的长分别为a、b、c.由余弦定理得

因此∠LNM为锐角，同理另二个角也为锐角.所以只能截出锐角三角形.

图3

问题6怎样截能截出最大截面的三角形？

片段5 课堂小结，反思评价

问题7请您谈谈本节课探究的收获，探究正方体截面您经历了怎样的过程？

说明：通过对正方体截面形状的探索，引导学生在交流、思考的过程中增强发现和提出问题的意识，在想象、解释的过程中提高分析和解决问题的能力，使学生积累数学探究活动经验，发展直观想象素养.数学探究活动一般流程，如图4所示.

图4

2.2 创新班教学

为了促使学生数学探究度从水平二向水平三提高，将学生从学习模仿者逐步培养成为知识的探索者.采用本原性问题驱动下的探究型教学，即选取正方体截面中的本原性问题为引子，模拟数学家做数学研究的情境，经历数学问题发现、分析和解决的过程，回归教学的本真.上课前一周发下《课前自主探究作业》给学生，全班分成五个小组，要求小组长课前组织半个小时小组集中讨论交流时间.把学生自主探究放在上课之前，确保有足够的探究时间，提高探究质量，课堂上以展示探究成果为主.

活动一：问题驱动，课前探究

课前自主探究作业：思考并完成表2中的探究任务，请提出新问题，并加以证明.

表2 用平面截正方体截面的形状

活动二：展示交流，猜证结论

由学生代表上讲台展示(部分探究结论整理如下)：

探究1：截面有没有可能是直角三角形？

说明：截面不可能是直角三角形.

探究2：截出的截面不能是正五边形？

证明(反证法)：假设截出截面是正五边形D1EFGH，如图5.

图5

由面面平行的性质定理可知，EF∥D1H,D1E∥GH，而正五边形不存在对边平行的性质，故矛盾.所以截面是正五边形不存在.

探究3：截面有没有可能是正六边形？

说明：截面有可能是正六边形，选取棱的中点依次相连构成正六边形.

探究4：截面有可能是直角梯形吗？

图6

证明：不妨假设∠QMN=∠MNP=90°.

由正方体可知CB⊥面

ABFE,BF⊥面ABCD，

因为MN⊂面ABFE，

所以CB⊥MN；

又因为CB∩NP=P,

CB,NP⊂面ABCD，

所以MN⊥面ABCD，MN∥BF；

因为MN⊄面BCGF,BF⊂面BCGF，

所以MN∥面BCGF；

因为MN⊂面NPQM，

面NPQM∩面BCGF=QP，

所以MN∥QP.这与截面是梯形相矛盾.

所以截面不可能是直角梯形.

探究5：任意一个平面截正方体，怎样截使得截面的面积最大？

图7

图8

1=DM+MC=GM-GD+EF·cosα

故T=1-(EFcosα)(EFsinα)

②当截面形状为五边形时，如图9，固定E,F，显然截面过顶点C1时面积会尽可能大，此时是情况①的一种特殊情形(C,M,N共点)，故截面为五边形时不会取到最大值.

图9

活动三：小结收获，继续探究

小结：用一个平面截正方体，截面的形状将会是什么样的图形?因为正方体有六个面，截面与六个面最多产生六条交线，所以截面形状可以是锐角三角形，四边形(平行四边形，梯形)，五边形和六边形，不存在六边形以上的截面.

探究6：类比平面截正方体探究过程，您还想继续提出怎样的新问题？

说明：学生提出了如下新问题并进行部分论证：平面截正三棱柱，截面是什么图形？

新问题1：用一个截面截该正三棱柱，截面的形状有哪几种可能？

新问题2：平面截正三棱柱，如果截面是三角形可以截出任意的三角形吗？

说明：存在正三角形截面，截面平行于底面.存在一般的等腰三角形，截面的一条交线与底面平行.可截得钝角三角形截面.

新问题3：平面截正三棱柱，怎样截出一个面积最大的三角形？

图11

3 教学建议

3.1 探究度分析有助于选用恰当的教学方式

弗赖登塔尔认为：“数学教育方式要结合学生的生活现实与数学现实”.生活现实即学生生活中有过的体验，数学现实就是学生已具备的数学知识与素养[3].两节同课异构教学方式的选取充分考虑到学生的生活和数学现实.普通班学生采用问题链教学方法，即教师结合正方体截面有可能几种情况来设计问题链，在问题的引导下学生完成猜测、分析、论证和反思的探究过程.问题情境由浅入深，学生数学探究度从水平一向水平二发展，促使学生从跟随者到模仿者角色的转变.教学流程先从教师启发引导开始，接着学生自主探究，最后通过四人小组探索出截面图形特征，在探究过程中使学生体验问题得到证实后带来的成功喜悦.而创新班则采用本原性问题驱动下的研究型教学，所谓本原性问题是指促使一个概念、一个原理、一门理论产生的那些原始的问题[3].本原性问题驱动下的探究活动教学设计，关键在于本原性问题的选取，最终指向学生的数学核心素养的培育.一般需要引导学生经历四个探究步骤：首先，研究截面形状的分类及特征，也就是研究了“是什么”；其次，研究截面所具有的性质，在这个过程中遵循从特殊到一般的认知规律，对这些“特殊”的情形进行大胆猜想，严谨论证，也就是解决了“为什么”.第三，回顾探究5的开始阶段先猜测三种特殊情形面积的数值，再建立一般情况的函数模型，通过函数单调性求出函数的最值，这为解决空间几何体任意截面所得面积问题的新思路，也就是得到了“怎么做”.第四，解决问题后，学生又提出平面截正三棱柱(或者圆柱、圆锥等)截面是什么图形等创新性问题.在新的问题情境下进行继续探究，也就是提出了“还想做什么”.尽管研究型教学展现出来的问题未见得是历史上解决这类问题的真实情境，但设计本原性问题驱动教学能诱发学生猜证问题的欲望，通过类比推理提出新的问题，让学生掌握并运用数学研究的基本途径与方法.

3.2 探究度量化分析促进教师的精准教学

“教之道在于度”，学生自主与教师指导的“度”的把握需要探究度量化分析，其作用在于实现教学设计精细化：一是促进教师在教学设计时精准地确定探究活动的教学目标.譬如该班级整体学生的探究度学情为1低2高3中4中5中6低，教师在教学设计制定目标时，对1问题提出和6表达交流这二个维度，上课时老师需要特别作针对性指导.教学目标实现并非要在一节课中面面俱到，对于该班级教学中在创设问题情境和多给学生表达与交流机会方面要实施“精准教学”，达成这两个维度由低级向中级发展的教学目标.二是促进教师进行因材施教.譬如根据探究度量化分析该生为1中2低3中4高5中6高，说明2猜测结论能力相对较弱，因此教师在猜测合理的数学结论时加强方法上的有效引导，设计一些“猜测结论”问题有针对性训练，告诉该位同学对于数学问题需要大胆猜想，小心求证.三是促进探究分组成员之间探究能力的互补.探究学习往往需要学生分组合作进行探究，教师要优化组合分组，把探究度水平等级不同学生组合在一起进行分组讨论，综合协调教学内容、学生能力水平和探究课时时间三者之间的关系，同时给探究能力不同学生的探究时间也要有所区别．这样有利于按时完成课程所要求的探究任务.只有在合作探究研究中各取所需、优势互补、分头共进，才能使学生探究能力不断地提高.

3.3 采集分析探究度实现学生的深度学习

“为学而教，教学设计中了解学情永远是第一位”[4].探究教学设计除了要考虑教学目标、教材内容等这些固有的要素外，还要分析学生的探究度现状，因此课前探究度调查可以帮助教师选择适合学生的教学方法.基本策略应先收集再分析，在实践中采集探究度数据的常用途径有：学生自评、同学互评、老师点评、问卷调查、个别访谈等，采集有关的6个维度数据后，接着评价每个学生探究度三个水平，再建立个人档案详细记录学生当时探究度数据，最后用六维雷达统计图或折线统计图等信息技术手段分析某个学生或整个班级学生探究度的发展变化状况.为了提高探究度6个维探究度量化数据的准确性，要采用多种途径采集学生探究度的数据,尽力排除一切干扰因素.学生真实准确的探究度数据是实施因材施教的前提，也是教师教学设计选择最恰当的教学方法的依据.纵观上面两节同课异构教学课例的教学设计，探究方式采用由教师指导下学习型探究还是完全开放研究型教学，如果不准确采集分析学生6维探究度数据，就很难实现学生探究活动的深度学习.

总之，“教为了不教”，自主探究学习能力的培养可以为学生终身学习奠定扎实的基础．对学生进行探究度水平分析，并不能完全概括数学探究活动的复杂内涵，但其意义和作用深远，它有助于教师确定合理的教学目标，选择恰当的教学方法，准确把握学生自主与教师指导的“度”，更有效地培育学生的数学核心素养.通过探究度量化分析在教学设计中的运用，使数学探究活动这朵绚丽多彩之花，成为数学教学百花园中的一枝奇葩．