“证明举例”单元任务设计的实践与思考

◎ 毛 健

一、实行单元教学设计的意义

教学设计是教师根据课程标准的要求和教学对象的特点，将教学诸要素有序安排，确定合适的教学方案的设想和计划。过去教学设计多为基于单课时的研究和探索，深入挖掘某一个数学问题的教学策略。近年来，关于单元教学设计的研究愈加深入，在《初中数学单元教学设计指南》中明确指出：“加强对单元的活动设计、实施和评价的研究，就是对于如何落实好‘指向学生数学核心能力发展的过程与方法目标’与‘彰显学科育人价值的情感态度价值观目标’的深入实践。”

学生数学核心能力应是基于数学本质和数学思想的内化反应，是在数学学习过程中逐步形成的。其中，逻辑推理素养在形成人的科学精神、理性思维等方面起着重要作用。“课时教学设计”在某种程度上，将原本连贯的几何证明进行了分割，使得学生对于某些定理的研究路径和研究结果“碎片化”，不利于学生掌握系统的学科知识，更不利于学生掌握迁移和运用探究知识的方法，容易造成学生狭隘的知识视野。而“单元教学设计”则能够很好地规避这些问题，整合单元中每个课时的内容，使之前后连贯，或教法一致，或内容一致，使学生在学习过程中不断巩固提升，最后内化为个人数学学习能力。

依据单元设计的教学模式，能够更多地关注到知识生成的过程与方法，把握学生思维过程，促进数学表达。教师自身也能从关注学科基本知识和基本技能的掌握，逐渐深化到注重课程意识和专业素养的提升。因此，本研究尝试对初中数学教师在进行单元教学研究过程中存在的困难进行分析，以沪教版初中数学教材八年级上册第十九章“几何证明”中“证明举例”单元的任务设计为例，重新建构单元框架，重点剖析第七课时“借助图形的旋转添加辅助线”的教学任务设计，通过探讨其设计流程、依据、内涵和策略，为教师初探单元教学视角下的课时任务设计提供参考。

二、数学单元教学设计的难点

（一）需重新组合学习内容

课前精准分析学生学情，一直以来都是教学设计的重要依据之一。教材教学内容符合大部分学生的学习能力和认知需求，但由于班情差异大，实施教学过程需要教师根据学生学情，重组学习内容，保障高效的学习。

（二）需重新设计学习过程

在原有的课堂模式下，学生已经习惯了“接受学习”和“被动学习”的模式，不少教学设计也是“牵”着学生往前走，缺少自主性、探究性和合作性。在单元化教学中，掌握知识的研究路径比掌握知识本身更加重要，因此，设计环节需要让学生的主体性得到充分展现，不论是通过自我展示、独立探究或是合作交流，将方法迁移和运用的教学设计更需要教师的智慧和对课堂的操控能力。

（三）需重新调整教学评价

从课时设计转变为单元设计，应增加与之匹配的长期型教学评价，采用单课时作业和长课时作业统一结合的方法。每个单课时作业需要结合前几个课时的知识点，进行循序渐进式的练习。长课时作业则需要将多个课时的知识点串联起来，采用思维导图、鱼骨图、表格、探究型问题、分类讨论型问题等多种形式，达到将单元知识联系和区别的目的。

三、数学单元设计的实施策略

为了提高数学单元设计的可操作性，通过查阅文献资料、经过教研组合作探究，笔者以“证明举例”单元为例，进行基本设计策略的探究。由于几何证明是学生在初中数学学习过程中的难点，学生知道分析几何问题的一般方法：从条件出发、从结论出发、两头凑。但根据所需结论可思考怎样的条件，是大部分学生的薄弱点。因此，笔者将原本按几何分析方法分类的7个课时转为按照几何证明结果分类的8个课时。通过拉长教学时间，增加配套练习，整理证明某一结论的相关依据，与学生共同探究几何证明的方法。

（一）把握单元在知识体系中的主体地位，搭建单元框架体系

1.把握单元来源，明确单元重点

根据课本编写以及知识之间的内部关联，我们可以将本章分为三个单元：命题和证明、证明举例、直角三角形有关概念和性质（包含阅读材料二：勾股定理万花筒）。

通过阅读《义务教育数学课程标准（2011年版）》可知，本单元对应的学习主题是图形与几何模块中的“定义、命题、定理”。综合运用六、七年级所学习的“相交线与平行线”“三角形”“图形的变化”等相关知识，知道证明的意义和证明的必要性，知道证明要合乎逻辑，知道证明的过程可以有不同的表达形式，会综合法证明的形式。

本单元是论证几何学的入门，从实验几何到论证几何，是从感性认识到理性认识的一个重大跨越。通过直观观察和操作实验形成的几何直觉是很宝贵的，它能帮助我们洞察几何图形的性质，做出猜想，给出进行演绎推理的目标和步骤。论证几何采用逻辑的方法进行严密的推理，使所得的结论具有高度可靠性。

“证明举例”单元重点研究教材上的14个例题，通过这些例题和相应的习题，初步掌握演绎推理的规则和规范表达的格式，如“由因导果” “执果索因” “两头凑”等。而笔者在教学中发现，学生解决同一问题的过程存在差异，若按照分析路径来划分课时并不科学，且课时与课时之间缺乏内在联系。因此，笔者通过对例题内容进行划分，结合分析策略对单元进行重新建构，以帮助学生学会分析问题，同时也达到了演绎证明策略的教学要求。

2.形成设计方案，搭建知识架构

以教学内容分类，本单元共设计8个课时（见图1），分别以不同的结论为载体，将获得结论的一般方法和研究路径进行整体总结，提升学生思维有效性。

图1 “证明举例”单元设计课时安排

本单元重点需要掌握分析几何问题的一般方法：由“因”导“果”；执“果”索“因”；“两头凑”。掌握方法是目标，掌握的过程则需要借助五个证明类型的具体实践：证明角、线段相等的方法；证明两直线位置关系的方法；证明边边边定理的方法；借助图形运动的思想添加辅助线：真命题的证明。在第一课时“证明线段相等的方法”时，选用教材中的例3和例6，引出三种分析几何问题的一般方法，并对证明线段相等的方法进行总结。在后续的课程中，不断加强三种分析方法的合理选取，并对不同证明结果所需要的几何条件和思路进行总结。

以其中“借助图形运动的思想添加辅助线”课时为例，图形运动分为旋转和翻折两个部分，两个课时的教法均是利用图形的运动把一些分散的元素集中在一个图形中，体会在图形运动思想的指导下添置辅助线的方法和构造基本图形的方法。

（二）课时任务设计关联单元任务设计

1.整体规划

本单元注重于调动学生已有的知识经验和建立必要的逻辑知识基础，架起从实验几何到论证几何的桥梁，引导学生平稳过渡，让学生进行演绎推理证明的初步训练。本单元安排了14道例题，落实到每一课时中，例题的组织，循序渐进，由易到难。前一个课时的结论能够为下一个课时做铺垫，前一个课时的研究方法能够沿用到下一个课时。

2.同类型任务设计的多课时沿用

针对本单元的每一个课时，笔者均以五个任务为设计链，由浅至深，由特殊到一般，从个人思考到团队合作，从学生小结到教师总结。接下来，笔者以本单元第7课时 “借助图形的旋转添加辅助线”为例，大致讲述任务设计的方法和目的。

（1）任务一：利用等腰三角形的三线合一条件重组导出疑惑。

导入：在ΔABC中，AB=AC，AD⊥BC，可以得到哪些结论？

已知：如图2所示，在ΔABC中，点D是线段BC上一点，请在下列条件中任选两个作为已知条件：a. AD⊥BC；b.∠1=∠2；c. BD=CD。

图2 示意图

求证：AB=AC。

① 选取条件，分析依据。

② 个人感悟：证明线段相等的方法是构造全等三角形（或利用等腰三角形的判定）。

③ 提出问题：可否根据∠1=∠2，BD=CD，得到AB=AC？

学生从自己熟知的知识进行分析，在等腰三角形的前提下，在三个条件中，任意结合一个条件，就可推出另外两个，那如果把这三个条件任意结合两个，是否能得出两边相等呢？学生通过独立思考，很快解决了情况1和情况2，而且都是通过全等或是等角对等边进行证明的，但第三种情况就遇到了困难，没有恰当的全等三角形，那就要继续进行任务了。

（2）任务二：以问题为中心的小组讨论。

已知：如图3所示，在ΔABC中，点D是线段BC上一点，∠1=∠2且BD=CD。

图3 示意图

求证：AB=AC。

①独立思考：寻求解决问题的方法。

②小组讨论（任务单）：交流困难→互助解决→完善过程→小组汇报。

这个任务的作用是进行新知构建，也就是引导学生合理添加辅助线，构造全等三角形进行推理论证的。所以是在独立思考后进行有任务的小组合作，把任务作为支持工具，促进不同层次的学生都积极参与活动，提高单元活动的效益。

（3）任务三：提供再创造的数学活动机会。

已知：如图4所示，在ΔABC中，点D是线段BC上一点，∠1=∠2，BD=CD。

图4 示意图

求证：AB=AC。

① 这样做辅助线的作用是什么？

② 这样做辅助线的依据是什么？

这个任务的作用是进行小结提升，也就是通过追问引导学生如何合理添加辅助线，构造全等三角形进行推理论证，以及这样添加的作用和依据。为学生提供合适的“再创造”情境，把分散条件进行集中，获得全等三角形或等腰三角形，目的是让学生有机会了解数学结论背后的丰富内涵——线段的中心对称性，对自己的思维层次进行一次提升。

（4）任务四：方法迁移。

已知：如图5所示，AD‖BC，E是线段CD的中点，AE平分∠BAD。

图5 示意图

求证：BE平分∠ABC。

归纳添加辅助线的一般方法：依据线段中点，借助图形的旋转添置辅助线，构造基本图形。这个支架的作用是将掌握的方法运用到一般的图形中去，让学生了解“倍长中线”只是借助旋转添加辅助线的方法之一，其本质为已知“中点”构造旋转，找到合适的方式添加辅助线。把分散条件进行集中，获得全等三角形或等腰三角形，将特殊问题一般化。

（5）任务五：从一般问题中提炼一般方法。

已知：如图6所示，四边形ABCD中，AB=AD，∠B与∠D互补。

图6 示意图

求证：CA平分∠BCD。

归纳添加辅助线的一般方法：依据线段相等，借助图形的旋转添置辅助线，构造基本图形。这个任务的作用是让学生了解“中点”的本质在于线段相等，线段的中点是特殊的旋转中心，而根据一般的线段相等和特殊的角的关系，我们同样可以借助旋转，添加辅助线，构造基本图形。将特殊的“中点”情况一般化，寻求普遍方法来解决问题。

四、数学单元设计的基本原则

（一）立足学科课程标准，借助学科基本要求

教师的主要任务是将数学知识的学术形态转化为教育形态。课程标准、基本要求、教学参考，都是我们研究单元教学设计的重要理论基础。脱离理论的实践往往是鲁莽的，而脱离实践的理论是不可靠的。我们进行单元设计之前，既要纵观整个单元在初中数学系统中的地位，胸怀全局，高屋建瓴；又要把握学情，积极解决重难点问题。

（二）落实同伴互助学习，培养学生合作意识

由于学生之间存在一定差异，在单元设计中更需要关注不同层次学生的学习目标。探究性自主学习对于部分后进生而言，确实比较困难，因此分课时设置个人使用任务单和小组合作任务单，明确小组合作的内容和要求，通过小组代表汇报促进组内交流，实现有效果、有目的、实际发生的小组合作探究学习模式，能够让不同层次学生共同进步。

（三）注重交流表达，突出思维过程

从“说理”推进到“演绎证明”，并且最终的学习是落实到“证明”。这是高层次的几何学习，不仅注重于运用逻辑推理的方法获得更系统的几何学知识，而且将成为一种极为重要的思维方式，是培养学生逻辑推理能力的非常好的时机。

单元化的教学环节设计，能避免“只见树木不见森林”的教学误区，提高教学的有效性和数学知识网络的系统性，整体为学生谋发展。