拨开迷雾看本质

詹嘉玲

【摘要】导数的综合运用是历年来高考数学卷中的难点题目，而通过导数方法解决函数的单调性问题为其重要考点之一，尤其是含参单调性的讨论更是高考的热点问题。本文主要通过分析、总结近几年高考真题，对高中数学教学中如何开展“含参单调性的讨论”的教学策略进行研究，并提出按照“趋势→根→端点”的知识脉络，形成一个有章可循、化难为简、操作性强的解题思路。

【关键词】含参单调性;解题思路

改革后的新高考提出，要“重思维、重应用”，要“以生考熟”，用陌生的问题考查熟悉的知识。而在学生眼中，数学的导数题考查的内容就非常陌生——尽是自己不熟悉的函数，这部分内容灵活多变，内容庞杂，逻辑思维要求高，甚至连答案都看不懂、想不到，所以一说到导数题，他们都是望而却步，避之如蛇蝎。

作为一名一线数学教育工作者，我非常想突破这样的瓶颈。题目再灵活，也有不变的东西，那就是必备知识和关键能力。事实上，导数压轴题中涉及的概念公式等往往比较少，每一个考生基本都能理解掌握，真正让各位考生觉得难以下笔的，其实是导数压轴题中复杂的式子处理技巧。高考导数题中，经常考查“讨论函数的单调性”，其实就是考查学生能否利用导数这一工具，剥开函数复杂的外衣，找出它与已学的基本初等函数之间的联系，并运用所学知识去分析、认识这个函数。而几乎所有的导数压轴题目都是有参数的，有参数就会导致不确定性，必然就会导致正常的思考受阻。

然而，在笔者接触的学生中，即便完成了“求定义域”“求导”两个基本步骤，也难以找到正确的方向对函数进行进一步研究。究其原因，要么没能看出导函数与基本初等函数的联系，要么学了很多的分析方法步骤，却不知从哪个方向先下手。

那么，如果能分析、总结出一套讨论含参单调性的简单易上手的“套路”，则可以帮助学生形成良好的思维模式;也可以培养他们综合解题能力，使他们在研究函数单调性时能够有的放矢。本文通过研究近几年高考的导数题，谈谈“含参单调性的讨论”的典型套路。

在对需要讨论单调性的函数进行简单的分析定义域和求导后，最关键的是“绘制出导函数的图像”，这是我们建立分析体系的立足点。此时，我们可以对函数作如下分析：

一、讨论函数的“趋势”

高考导数题的导函数，都是立足于已学的基本初等函数，而对含有参数的二次函数、指数函数、对数函数的考察尤为常见。学生在课堂上已经学习过如何对这些函数及其相关变形进行初步的认识，其中，研究导函数的单调性应该是第一步，学生可从导函数的最高次系数下手，如二次函数最高次系数会影响其开口方向，指数函数前的系数的正负会影响其单调性等等：

【2017年新课标Ⅰ卷，理21】已知函数.

（1）讨论的单调性;

解：（1）的定义域为，，

（ⅰ）若，则，所以在单调递减。

（ⅱ）若，则由得。

当时，;当时，，所以在单调递减，在单调递增。

评析：通过求导，将看作，同时将看成自变量（经常采用换元法：令），便可发现导函数是一个最高次系数不确定的仿二次函数（若不为0）。

由于最高次系数的不确定性，对其进行分类讨论，在学生对方法还不够熟悉的情况下，可以引导他们将其简单分为：①系数=0;②系数<0;③系数>0三类，最后再将相似的情况加以合并即可。

二、讨论的“根”

确定好导函数的“趋势”之后，如何进一步绘制出导函数的图像呢？这时我们应当考虑这个函数的图像与轴是否有交点，有几个交点，这些交点之间的摆放次序应当是怎样的。于是又有了以下讨论：

1.根是否存在（是否能因式分解）

【2017课标1，文21】已知函

（1）讨论的单调性;

解：（1）函数的定义域为，，

①若，则由得。

当时，;当时，，所以在单调递减，在单调递增。

②若，则由得。

当时，;当时，，故在单调递减，在单调递增。

③若，则，在单调递增。

评析：求导后，开始套用解题模板：

趋势：依然可以将将看作，那么导函数可以看作一个开口向上的二次函数;

根：为了进一步绘制出导函数图像，学生可以通过令求出它的两个根，分别是和，但这种写法就会引发思考：根据对数的真数大于0的原理，我们知道

①存在的前提是，此时不存在，即“”这一部分为正，不影响对导函数正负的判断，学生只需绘制的图像，即可通过分析導函数的正负得到原函数的单调性;

②存在的前提是，分析方法同（1）;

③当时，这两个根都不存在，此时，这个“二次函数”与轴不存在交点，根据开口方向，可得。

这样，通过根的真数形式，触发学生对导函数的“根是否存在”的思考，可以清晰明确地确定分类讨论的标准，减轻学生对此类题目的恐惧感。

2.两根大小

如果确定了导函数与轴的交点都是存在的，那么是不是就可以直接绘制导函数图像了呢？让我们来看看下面这道高考题：

【2016课标1，21】已知函

（1）讨论的单调性;

解： （I）

（i）设，则当时，;当时，。

所以在单调递减，在单调递增。

（ii）设，由得x=1或x=ln（-2a）。

①若，则，所以在单调递增。

②若，则ln（-2a）<1，时，;

当时，，所以在单调递增，在单调递减。

③若，则，故当时，，当时，，所以在单调递增，在单调递减。

评析：这一题乍看之下比较复杂，分类情况达到4种，让我们来研究下它的本质：

（1）趋势：求导后向学生强调要提取公因式，得到，这样方便后续的分析和处理。这个函数式子结构非常特殊，并不是学生学过的基本初等函数，但仿照前面我们可以先研究它的“趋势”：我们发现这一部分的图像事实上是通过函数的图像上下平移得到，二者图像“趋势”相同，都是在上单调递增，而这个“趋势”跟的趋势也是相似的。也就是说，可以近似的看成开口向上的二次函数，“趋势”是确定的，不需要讨论。

（2）根：考虑完“趋势”后，就要看看这个函数的图像与轴的交点问题。通过令求出它的两个根，分别是或，经过前面的学习可以知道，存在的前提是，也就产生了对“根是否存在”的分类讨论：

（i）由前面可知，当，“”恒正，不影响导函数的正负，只需绘制出的图像，即可得原函数的单调性;

（ii）当时，两根和都有意义，那么是否可以直接绘制导函数的图像了呢？答案是否定的。由于两根的大小并不确定，画图时就带来了图像与x轴的交点如何放置的问题，于是又引发了新的讨论：

①当，即时，导函数图像与x轴只有一个交点，此时;

②当，即时，导函数图像与x轴有2个交点，且大小确定，可以分析绘制出导函数图像;

③当，即时，分析方法与②类似。

尽管题目看起来相对复杂，但通过强化“趋势→交点”的思路来分析、绘制导函数的图像，层层剖析，化繁为简，最终简洁高效地解决问题。

三、讨论函数（定义域的）“端点”

在前面的分析中，我们讨论的都是定义域为的函数的单调性，但高中阶段学生还学习了指、对、幂、三角函数，其中，对数函数更是命题者的“宠儿”。对于含对数的函数的讨论，关键就是要注意其定义域的限制，那么，在研究单调性方面又有什么方法技巧呢？让我们一起来看下面这道题：

【2018年新课标Ⅰ卷，21】已知函数。

（1）讨论的单调性;

解：（1）的定义域为，。

（i）若，则，所以在单调递减。

（ii）若，令得，或。

当

∈（，）∪（，+）时，;

当时，。

所以在单调递减，在单调递增。

评析：此题看似较为常规，导函数是学生非常熟悉的二次函数，但答案看起来无从下手，为何一上来就分析≤？别急，按照前面“趋势→根”的套路来分析：

（1）趋势：开口向下，无需讨论;

（2）根：导函数无法进行因式分解，故通过求根公式求的根，而求根公式就需先讨论判别式的符号问题，即“根是否存在”：

（i）当，即，导函数图像与轴没有交点或仅一个交点，则;

（ii）当，即，此时有两个不同的根，分别为，，且，大小无需讨论，导函数图像基本确定。

那么，这是否意味着讨论结束呢？并不然。通过观察可知，函数的定义域为，而导函数两个根与定义域端点0的大小关系还未确定，于是又引入了对“端点”的讨论：

（3）端点：由于根的形式比较复杂，这里利用根与系数的关系对两根与0的大小关系进行判断更为方便，由于，可得同号，所以：

①当，均为负，此时，所以在单调递减;

②当，均为正，此时

当时，;

当时，。

看似简单的二次函数，后面隐藏着并不简单的讨论过程，但按照“趋势→根→端点”的解题套路，可以一步步拨开导函数复杂的外衣，准确高效地找到思路，不重不漏地进行分析讨论。因此，学生需要在平时做题时注重积累和强化思想方法，厘清讨论函数单调性的基本顺序和过程，这样才能举一反三，融会贯通，真正做到会一题，通一类。

由于导数内容的庞杂性，在教学过程中，应帮助学生将零散的知识系统化，形成良好的知识结构：引导学生理清知识发生的过程，帮助他们理解问题的一般规律，渗透分类与整合、转化与化归、数形结合的思想，掌握解决问题的通性通法。一般在教学的初始阶段笔者会通过思维导图的方式帮助学生快速地理清解题的思路：

不管導函数的形式有多么复杂多变，只要通过这样“趋势→根→端点”的简单的思维过程，就能对导函数从本质上进行整合，这样的解题套路思路清晰，操作性强，让含参单调性的讨论变得有章可循，有助于学生快速找准解题思路，提高教学复习的效率。

但在教学的中后期，应将学习活动的“C位”交还给学生，让他们掌握自己学习的主动权，通过自己梳理知识，不断地发现和解决问题。比如鼓励学生通过学习积累，对思维导图进行进一步的细化和完善，进而促使更加灵活自如地对思维和方法进行迁移，促进学科素养的达成。

总而言之，含参单调性的讨论是对数形结合、分类讨论、转化化归等思想方法的综合考查，是对基于学科素养导向下的关键能力和必备知识的考查，尽管题目灵活多变，但只要学生抓准“趋势→根→端点”的总体知识脉络，扎实掌握基础知识，同时触类旁通，融会贯通，以不变应万变，便能拨开迷雾，窥探本质，觅得真知！

参考文献：

[1]教育部考试中心.中国高考评价体系说明[M].北京：人民教育出版社，2019：32-35.