集合与常用逻辑用语核心考点综合演练

■欧阳亮

一、选择题

1.如果a,b,c,d为集合A的四个元素,那么以a,b,c,d为边长构成的四边形可能是( )。

A.矩形 B.平行四边形

C.菱形 D.梯形

2.已知集合A是由0,m,m2-3m+2三个元素组成的集合,且2∈A,则实数m的值为( )。

A.2 B.3

C.0或3 D.0或2或3

3.方程组的解集是( )。

A.{x=1,y=-1}

B.{1}

C.{(x,y)|x=1,y=-1}

D.{(x,y)|(1,-1)}

4.用列举法可将集合{(x,y)|x∈{1,2},y∈{1,2}}表示为( )。

A.{1,2}

B.{(1,2)}

C.{(1,1),(2,2)}

D.{(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)}

5.能正确表示集合M={x∈R|0≤x≤2}和集合N={x∈R|x2-x=0}关系的Venn图是( )。

6.设集合A={1,2,3},B={2,3,4,5},定义A⊙B={(x,y)|x∈A∩B,y∈A∪B},则A⊙B中元素的个数是( )。

A.7 B.10

C.25D.52

7.全集U={0,1,2,3,4},集合A={1,2},B={x∈Z|x2-5x+4<0},则∁U(A∪B)=( )。

A.{0,1,3,4} B.{1,2,3}

C.{0,4} D.{0}

8.已知集合A={0,1,2,3,4},B={x|x=,n∈A},则A∩B的真子集个数为( )。

A.5 B.6

C.7 D.8

9.已知全集U=R,集合M={x|(x-1)·(x+3)<0},N={x||x|≤1},则图1中阴影部分表示的集合是( )。

图1

A.[-1,1)

B.(-3,1]

C.(-∞,-3)∪[-1,+∞)

D.(-3,-1)

10.集合A,B满足A∪B={1,2},则不同的有序集合对(A,B)共有( )。

A.4个 B.7个

C.8个 D.9个

11.已知集合P={x|x≥0},集合Q=,则P∩(∁RQ)=( )。

A.[0,2) B.[0,2]

C.(-1,0) D.(-∞,1]

12.有下列四个命题:①∀x∈R,2x2-3x+4>0;②∀x∈{1,-1,0},2x+1>0;③∃x0∈N,≤x0;④∃x0∈N*,x0为29的约数。其中真命题的个数为( )。

A.1 B.2

C.3 D.4

13.命题“任意x∈[1,2],x2-a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是( )。

A.a≥4 B.a≤4

C.a≥5 D.a≤5

14.命题“存在一个无理数,它的平方是有理数”的否定是( )。

A.任意一个有理数,它的平方是有理数

B.任意一个无理数,它的平方不是有理数

C.存在一个有理数,它的平方是有理数

D.存在一个无理数,它的平方不是有理数

15.以下四个命题既是特称命题又是真命题的是( )。

A.锐角三角形有一个内角是钝角

B.至少有一个实数x,使x2≤0

C.两个无理数的和必是无理数

D.存在一个负数x,使

16.下列说法正确的是( )。

A.命题“若x2=1,则x=1”的否命题为“若x2=1,则x≠1”

B.若a,b∈R,则“ab≠0”是“a≠0”的充分不必要条件

C.命题“∃x0∈R,+x0+1<0”的否定是“∀x∈R,x2+x+1>0”

D.若“p且q”为假命题,则p,q全是假命题

17.已知集合A={1,a},B={1,2,3},则“a=3”是“A⊆B”的( )。

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

18.命题:“存在x∈R,使x2+ax-4a<0”为假命题是命题“-16≤a≤0”的( )。

A.充要条件

B.必要不充分条件

C.充分不必要条件

D.既不充分也不必要条件

19.关于命题“当m∈[1,2]时,方程x2-2x+m=0没有实数解”,下列说法正确的是( )。

A.是全称量词命题,假命题

B.是全称量词命题,真命题

C.是存在量词命题,假命题

D.是存在量词命题,真命题

20.已知命题p:“∃x∈R,4x2+(a-2)x+<0”是假命题,则实数a的取值范围是( )。

A.(-∞,0) B.[0,4]

C.[4,+∞) D.(0,4)

21.(多选题)集合M={-1,1,3,5},集合N={-3,1,5},则以下选项正确的是( )。

A.∀x∈N,使得x∈M

B.∃x∈N,使得x∈M

C.M∩N={1,5}

D.M∪N={-3,-1,3}

22.(多选题)下列各组对象能构成集合的是( )。

A.拥有手机的人

B.2020年高考数学难题

C.所有有理数

D.小于π的正整数

二、填空题

23.若集合A={x|ax2+2x+1=0,a∈R}中只有一个元素,则实数a的值是_____。

24.设A,B为两个实数集,定义集合A+B={x|x=x1+x2,x1∈A,x2∈B},若A={1,2,3},B={2,3},则集合A+B中元素的个数为____。

25.设全集是实数集R,A={x|2x2-7x+3≤0},B={x|x2+a<0}。若(A)∩B=B,则实数a的取值范围是____。

26.设集合Sn={1,2,3,…,n},若X⊆Sn,把X的所有元素的乘积称为X的容量(若X中只有一个元素,则该元素的数值即为它的容量,规定空集的容量为0)。若X的容量为奇(偶)数,则称X为Sn的奇(偶)子集,则S4的所有奇子集的容量之和为____。

27.已知p:方程x2+mx+1=0有两个不相等的负实根;q:不等式4x2+4(m-2)x+1>0 的解集为R。若“p∨q”为真命题,“p∧q”为假命题,则实数m的取值范围是_____。

28.给定集合A,若对于任意a,b∈A,有a+b∈A,且a-b∈A,则称集合A为闭集合。给出如下三个结论:①集合A={-4,-2,0,2,4}为闭集合;②集合A={n|n=3k,k∈Z}为闭集合;③若集合A1,A2为闭集合,则A1∪A2为闭集合。其中正确结论的序号是_____。

29.已知集合{a,b,c}={0,1,2},若下列三个关系:①a≠2;②b=2;③c≠0,有且只有一个正确,则100a+10b+c=_____。

30.设全集U={1,2,3,4,5,6},用U的子集可表示由0,1组成的6位字符串,如{2,4}表示的是第2 个字符为1,第4 个字符为1,其余均为0的6位字符串010100,并规定空集表示的字符串为000000。若M={2,3,6},则∁UM表示6位字符串为_____。若A={1,3},集合A∪B表示的字符串为101001,则满足条件的集合B的个数为____。

31.设A是非空数集,若对任意x,y∈A,都有x+y∈A,xy∈A,则称A具有性质P。给出以下命题:

①若A具有性质P,则A可以是有限集;②若A1,A2具有性 质P,且A1∩A2≠∅,则A1∩A2具有性质P;③若A1,A2具有性质P,则A1∪A2具有性质P;④若A具有性质P,且A≠R,则∁RA不具有性质P。

其中所有真命题的序号是____。

三、解答题

32.已知集合A中含有两个元素a-3和2a-1。

(1)若-2是集合A中的元素,试求实数a的值。

(2)-5能否为集合A中的元素? 若能,试求出该集合中的所有元素;若不能,请说明理由。

33.已知集合A={x|x2-2x-3≤0},集合B={x|x2-2mx+m2-4≤0,x∈R,m∈R}。

(1)若A∩B=[0,3],求实数m的值。

(2)若A⊆∁RB,求实数m的取值范围。

34.指出下列各题中p是q的什么条件。

(1)p:A∪B=A,q:A∩B=B。

(2)p:

35.求关于x的方程ax2+2x+1=0 至少有一个负实根的充要条件。

参考答案与提示

一、选择题

1.提示:由于集合中的元素具有互异性,故a,b,c,d四个元素互不相同,即组成四边形的四条边互不相等。应选D。

2.提示:因为2∈A,所以m=2或m2-3m+2=2,即得m=0或m=2或m=3。由集合中的元素要满足互异性,对m的所有取值进行检验,可得m=3。应选B。

3.提示:方程组的解集中元素应是有序数对的形式,排除A,B,而D 的集合表示方法有误,排除D。应选C。

4.提示:x=1,y=1;x=1,y=2;x=2,y=1;x=2,y=2。故集合{(x,y)|x∈{1,2},y∈{1,2}}表示为{(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)}。应选D。

5.提示:根据题意易得集合N为方程x2-x=0 的解集,则N={0,1}。由M={x∈R|0≤x≤2},易得NM。应选B。

6.提示:A∩B={2,3},A∪B={1,2,3,4,5}。由列举法可知A⊙B={(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5)},共有10个元素。应选B。

7.提示:因为集合B={x∈Z|x2-5x+4<0}={2,3},所以A∪B={1,2,3}。又全集U={0,1,2,3,4},所以∁U(A∪B)={0,4}。应选C。

8.提示:由题意得B={0,1,},所以A∩B={0,1,2},所以A∩B的真子集个数为23-1=7。应选C。

9.提示:由题意可知,集合M={x|-3

10.提示:由题意可按集合A中的元素个数分类。易知集合{1,2}的子集有4 个,即∅,{1},{2},{1,2}。若A=∅,则B={1,2};若A={1},则B={2}或B={1,2};若A={2},则B={1}或B={1,2};若A={1,2},则B=∅或B={1}或B={2}或B={1,2}。综上所述,不同的有序集合对(A,B)共有9个。应选D。

11.提示:因为Q=={x|x≤-1或x>2},所以∁RQ={x|-1

12.提示:对于①,这是全称量词命题,由Δ=9-32=-23<0,可知∀x∈R,2x2-3x+4>0是真命题。对于②,这是全称量词命题,当x=-1 时,2x+1<0,该命题为假命题。对于③,这是存在量词命题,当x0=0时≤x0成立,该命题为真命题。对于④,这是存在量词命题,当x0=1时,x0为29的约数,该命题为真命题。应选C。

13.提示:因为命题“任意x∈[1,2],x2-a≤0”为真命题的充要条件是a≥4,所以其充分不必要条件是集合[4,+∞)的真子集。应选C。

14.提示:根据特称命题的否定为全称命题,需先将存在量词改为全称量词,然后否定结论,故该命题的否定为“任意一个无理数,它的平方不是有理数”。应选B。

15.提示:A 中,锐角三角形的所有内角都是锐角,A 是假命题。B 中,当x=0 时,x2≤0,B 是真命题。C 中,)=0不是无理数,C 是假命题。D 中,对于任意一个负数x,都有<0,不满足>2,D 是假命题。应选B。

16.提示:命题“若x2=1,则x=1”的否定为“若x2≠1,则x≠1”,A 错误。ab≠0等价于a≠0且b≠0,所以“ab≠0”是“a≠0”的充分不必要条件,B 正确。命题“∃x0∈R,+x0+1<0”的否定为“∀x∈R,x2+x+1≥0”,C错误。若“p且q”为假命题,则p,q至少有一个为假命题,D 错误。应选B。

17.提示:因为由“a=3”可以推出“A⊆B”,反过来,由A⊆B可以得到“a=3或a=2”,不一定推出“a=3”,所以“a=3”是“A⊆B”的充分不必要条件。应选A。

18.提示:依题意知x2+ax-4a≥0恒成立,则Δ=a2+16a≤0,解得-16≤a≤0。应选A。

19.提示:原命题的含义是“对于任意m∈[1 ,2],方程x2-2x+m=0 都没有实数解”,但当m=1时,方程有实数解x=1,故此命题是含有全称量词的假命题。应选A。

20.提示:因为命题p:“∃x∈R,4x2+(a-2)x+<0”是假命题,则﹁p:“∀x∈R,4x2+(a-2)x+≥0”是真命题,所以Δ=(a-2)2-4≤0,所以0≤a≤4。应选B。

21.提示:-3∈N,但-3∉M,A 不正确。1∈N且1∈M,B正确。M∩N={-1,1,3,5}∩{-3,1,5}={1,5},C正确。M∪N={-3,-1,1,3,5},D 不正确。选B,C。

22.提示:根据集合的概念知集合中元素具有确定性,选项A,C,D 中的元素都是确定的,能构成集合,但B 中“难题”的标准不明确,不符合确定性,不能构成集合。应选A,C,D。

二、填空题

23.提示:集合A中只有一个元素,有两种情况:当a≠0 时,由Δ=0,解得a=1,此时A={-1},满足题意;当a=0 时,x=-,此时A=,满足题意。故集合A中只有一个元素时,a的值是0或1。

24.提示:当x1=1时,x1+x2=1+2=3或x1+x2=1+3=4;当x1=2时,x1+x2=2+2=4或x1+x2=2+3=5;当x1=3时,x1+x2=3+2=5或x1+x2=3+3=6。所以A+B={3,4,5,6},共4个元素。

26.提示:由S4={1,2,3,4},可得X=∅,{1},{2},{3},{4},{1,2},{1,3},{1,4},{2,3},{2,4},{3,4},{1,2,3},{1,2,4},{1,3,4},{2,3,4},{1,2,3,4}。其中是奇子集的为X={1},{3},{1,3},其容量分别为1,3,3,所以S4的所有奇子集的容量之和为7。

27.提示:由p为真命题,可得解得m>2。由q为真命题,可得Δ=[4(m-2)]2-4×4×1<0,解得1

28.提示:①中,-4+(-2)=-6∉A,①不正确。②中,设n1,n2∈A,n1=3k1,n2=3k2,k1,k2∈Z,则n1+n2∈A,n1-n2∈A,②正确。③中,令A1={n|n=3k,k∈Z},A2={n|n=,k∈Z},则A1,A2为闭集合,但A1∪A2不是闭集合,③不正确。答案为②。

29.提示:由{a,b,c}={0,1,2},可得a,b,c的取值情况如下:当a=0时,b=1,c=2或b=2,c=1,此时不满足条件;当a=1时,b=0,c=2或b=2,c=0,此时不满足条件;当a=2时,b=1,c=0,此时不满足条件,但b=0,c=1 满足条件。综上得a=2,b=0,c=1,所以100a+10b+c=200+1=201。

30.提示:集合M表示的6 位字符串是011001,则∁UM表示的6位字符串为100110。若集合A={1,3},集合A∪B表示的字符串为101001,则集合B可能是{6},{1,6},{3,6},{1,3,6},故满足条件的集合B有4个。

31.提示:对于①,取集合A={0,1}具有性质P,则A是有限集,①正确。对于②,取x,y∈A1∩A2,则x∈A1,x∈A2,y∈A1,y∈A2,又A1,A2具有性质P,所以x+y∈A1,xy∈A1,x+y∈A2,xy∈A2,可知x+y∈A1∩A2,xy∈A1∩A2,可得A1∩A2具有性质P,②正确。对于③,取A1={x|x=2k,k∈Z},A2={x|x=3k,k∈Z},2∈A1,3∈A2,但2+3∉A1∪A2,③错误。对于④,假设∁RA具有性质P,即对任意x,y∈∁RA,都有x+y∈∁RA,xy∈∁RA,当A={偶数}时,则1,3∈∁RA,1+3=4∉∁RA,故假设不成立,即∁RA不具有性质P,④正确。答案为①②④。

三、解答题

32.提示:(1)因为-2 是集合A中的元素,所以-2=a-3或-2=2a-1。若-2=a-3,则a=1,此时集合A含有两个元素-2,1,符合要求;若-2=2a-1,则a=-,此时集合A中含有两个元素-,-2,符合要求。故实数a的值为1或-。

(2)不能。理由如下:若-5为集合A中的元素,则a-3=-5 或2a-1=-5。当a-3=-5 时,可得a=-2,此时2a-1=2×(-2)-1=-5,显然不满足集合元素的互异性;当2a-1=-5 时,可得a=-2,此时a-3=-5,显然不满足集合元素的互异性。故-5不能为集合A中的元素。

33.提示:由已知得A={x|-1≤x≤3},B={x|m-2≤x≤m+2}。

(1)由A∩B=[0,3],可得所以m=2。

(2)由∁RB={x|xm+2},且A⊆∁RB,可得m-2>3 或m+2<-1,即m>5或m<-3。因此实数m的取值范围是{m|m>5或m<-3}。

34.提示:(1)由A∪B=A,可得B⊆A,由A∩B=B,可得B⊆A,所以A∪B=A⇔A∩B=B,所以p是q的充要条件。

35.提示:①当a=0时,方程为一元一次方程,其根为x=-,符合要求。

②当a≠0 时,方程为一元二次方程,此时ax2+2x+1=0有实根的充要条件是判别式Δ≥0,可得4-4a≥0,即a≤1。设方程ax2+2x+1=0 的两根分别为x1,x2,则x1+x2=-

方程ax2+2x+1=0有一负实根和一正实根的充要条件为即a<0;方程ax2+2x+1=0有两个负实根的充要条件为即0

综上所述,方程ax2+2x+1=0 至少有一个负实根的充要条件是a≤1。