基本不等式求最值的误区警示

■石汉荣 刘大鸣(特级教师)

本文总结了利用基本不等式“a,b∈R+,(当且仅当a=b时等号成立)”求最值的几种误区,并对产生的思维误区进行了剖析和警示,希望对同学们的学习有所帮助。

误区1:利用基本不等式求最值忽视“和为定值合理配凑积”的形式

例1若a,b∈R,且2a+b=3,则ab的最大值是_____。

警示:基本不等式必须满足“一正、二定、三相等”的条件。解答本题的关键是由和为定值,合理配凑出积的最大值。

误区2:利用基本不等式求最值忽视“积为定值合理配凑和”的形式

警示:解答本题的关键是由积为定值合理配凑出和的最小值。

误区3:利用基本不等式求最值忽视取等号的条件

误区4:利用基本不等式求最值忽视隐含条件

例4已知实数a,b满足ab=1,则a+b的取值范围是____。

错解:由a+b≥2=2,可得a+b的取值范围是[2,+∞)。

剖析:由题设知a≠0,b≠0。上述解法求出的是当a>0,b>0时的最小值,忽视了当a<0,b<0时的最大值。事实上,当a>0,b>0时,a+b≥2=2;当a<0,b<0时,(-a)+(-b)≥2=2,即a+b≤-2。故a+b的取值范围是(-∞,-2]∪[2,+∞)。

警示:利用基本不等式求最值时,要注意公式成立的条件。

误区5:利用基本不等式求最值忽视“整体代入”的妙用

误区6:忽视基本不等式的灵活应用

警示:在基本不等式中,要分清平方平均数、算术平均数、几何平均数和调和平均数的大小关系。