“解三角形”基本活动经验的列举与描述

李永革

摘要：对数学基本活动经验进行列举与描述是数学基本活动经验外显化的标志。对基本活动经验的描述可以从形成背景、内容界定、类型划分、价值分析方面展开。高中“解三角形”模块包括“借助向量运算，探索边角关系”“合理选择正、余弦定理”“代数视角下研究最值与范围”等基本活动经验。

关键词：解三角形 数学基本活动经验 列举与描述

数学基本活动经验具有较强的内隐性，属于缄默性知识。研究表明，它和数学中其他“三基”一样，同样可以列举与描述。对基本活动经验的描述可以从形成背景、内容界定、类型划分、价值分析方面展开。列举与描述的过程，可以将内隐的经验外显化。实现从自然状态向教育形态的转变，有助于一线教师更好地落实“四基”课程目标。“解三角形”是高中数学重要的知识模块，依据上述研究思路，本文对该模块部分基本活动经验进行列举与描述。

一、数学基本活动经验的理解

数学基本活动经验，是指在数学目标的指引下，对具体事物进行观察、操作、思考，由感性认识向理性认识飞跃时所形成的观念、体验与认识。它本质上是形成一定的思维模式，建立一种数学直观。

可从三个方面加深对数学基本活动经验的理解。首先，它具有较高的应用价值。它能有效地指导相关数学活动、促进学生的认知发展。其次，它不是高难度的，是全体学生应该达到的共同必备基础。最后，与形式化的数学知识相比，它相对比较模糊，没有明确的逻辑起点，也没有清晰的逻辑结构。

二、数学基本活动经验的类型划分

标准不同，数学基本活动经验可以划分为不同的类型。本文根据数学基本活动经验所包含的成分将其划分为体验性、认知性、技能性、观念性四种基本活动经验。

三、经验的列举与描述

（一）“借助向量运算，探索三角形边角关系”的经验

1.形成背景

“借助向量运算，探索三角形边角关系”的经验是学生在人教A版《数学5》第1节“正、余弦定理的证明过程”中获得的。正余弦定理的向量证法，首先从三角形中构造出向量等式实现几何条件向量化;然后通过点乘单位向量、向量等式两边平方等方法实现向量等式的数量化，最后推导出三角形的边角关系，实现对三角形边角关系的定量刻画。事实上，学生在“平面向量”一章已积累了一定的向量法研究几何图形性质的经验。例如利用向量的数乘运算证明平面内两直线平行或重合，证明平面内三点共线，证明线段的倍分关系;利用向量的数量积运算证明平面内两直线垂直或求距离;利用向量的夹角公式求两直线夹角。以上活动经验为本经验的获得奠定了基础。

2.经验名称

“借助向量运算，探索三角形边角关系”的经验。

3.内容界定

该经验一般先在三角形中建立某种向量等式，然后借助向量数量积运算实现向量条件数量化，最后整理化简，推导出所需要的三角形边角关系。

4.类型划分

由于该经验反映的是运用向量工具探寻三角形边角关系的一种运算方法与技巧，故将该经验归属于技能性经验。

5.价值分析

（1）有助于基础知识的掌握。学生获得该经验后能更好地理解正余弦定理证明过程，从而更加深了对定理的理解。

（2）体现了课标的教学要求。2017年版新课标指出：向量是沟通代数与几何联系的桥梁，是学习研究数学其他领域问题的基础，它是贯穿在高中数学课程中的一条主线。

（3）体现了教材的编写意图。正余弦定理的证明方法很多，教材有意识地安排向量法，体现了编者对向量工具性作用的重视。

（4）有利于完善认知结构。获得该活动经验，可以更好地感受向量与三角学之间的联系，加强对数学学科的整体性认识。对数形结合思想的运用也会有新的体会和认识。

（5）体现高考的要求。通过数量积运算实现向量条件数量化是高考的重要考点。

二、“合理选择正、余弦定理”的经验

（一）形成背景

是在学习“四种基本解三角形问题”和“判定三角形形状”中获得的。

（二）经验名称

“合理选择正、余弦定理”的经验。

（三）内容界定

1.解三角形，若已知元素为“两角一边”或“两边和其中一边对角”，一般先用正弦定理。

2.解三角形，若已知元素为“两边和夹角”或“三边”，一般先用余弦定理。

3.“已知式中若含有边的二次式或角的余弦”，常选择余弦定理转化边角。

4.“已知式中若含有边的齐次式或角的正弦”，常选择正弦定理转化边角。

应用数学公式建立等量关系，求出未知量，这是学生已有的解题经验，但不同的数学公式所含的量的种類不同，公式的结构特点也不同。这就对每一个公式的适应范围构成影响。正弦定理和余弦定理都有多个表达式，每一个表达式中都含有三角形的四个基本元素，可以实现“知三求一”。但两个定理中所含的边角种类不同，正弦定理每一个公式中含两对边角，而余弦定理每一个公式中含三条边和一个角。正弦定理中边是一次（齐次），而余弦定理中边是二次（齐次）。正是上述结构特征导致了两个定理的应用情境不同。

（四）类型划分

由于该经验反映的是在运用正、余弦定理求解三角形未知元素，判定三角形形状过程中的运算技巧，故将该经验归属于技能性经验。

（五）价值分析

1.有助于基本技能的形成

灵活运用正、余弦定理解四种基本类型的解三角形问题和判断三角形形状是本单元的基本技能，获得该经验有助于这两项技能的习得。

2.贯彻课标的教学要求

新课标明确要求，掌握正、余弦定理，能熟练运用这两个定理解决一些简单的实际问题。积累“合理选择正、余弦定理”的活动经验，可有效提高正、余弦定理的运用水平。