高中三角函数中关于最值认知与逻辑思维的拓展关系

摘 要：在高中数学中三角函数的最值问题是教学的重点内容，也是高中阶段数学学习的主要内容之一。但是在学习的过程中，很多学生通常无法正确理解最值概念，不能合理运用三角函数解题方法，继而无法理清最值的运算规律。这种在逻辑思维上没有建立起正确的点位，无法从点到线进行铺开式思考的现象，在一定程度上对高中学生的三角函数学习造成了困扰和障碍。因此本文将以对高中三角函数的最值认知与逻辑思维的拓展关系为切入点，对最值和高中生逻辑、立体思维观的建立进行阐述。

关键词：高中三角函数;最值;思维拓展;高中数学

新课标的实施为高中数学教学增加了新鲜的血液，但是由于高中数学属于逻辑思维教学，需要教育者和学习者双方都必须具有较强的逻辑思维能力才能完成自主学习的目标。根据目前高中数学教学中所出现的情况来看，学生的数学逻辑思维和立体空间感尚處于“萌芽”状态，需要教师在教学过程中进行引导和启发才能完成自主学习。[1]因此，对于新课标要求的以学生为主导，从关注学生学习向诱导学生进行自主学习，并在学习过程中增加动手操作能力，与实际生活相连以便完成“学以致用”等，在高中数学的教学和学习过程中履行起来颇具有难度。

一、高中三角函数里最值的重要性

在高中数学的学习中三角函数的最值作为最为重要的知识领域之一，可以通过合理的选择自变量来完成对习题的解答，这一步是习题解答的关键。以“角”为切入点，作为自变量去搭建起函数关系式也是目前解决高中三角函数中无法求解的方法之一。根据实际问题寻找求解的方法，无论在应用题的解答过程中还是在现实的生活遇到障碍时，均是解决问题的重要思想，但是在高中三角函数量值求解中，却因为学生无法切实掌握最值的概念，受到知识存储和逻辑思维的不完善限制，在高中三角函数的最值问题研究上面经常会出现无法解答和解答完成后不会以此方法去解答下一道高中三角函数最值题等的尴尬局面。

就此问题来延伸到高中数学学习和学生逻辑思维的拓展上来看，高中生的逻辑思维能力不强与之前在学习过程中，多依赖教师的代为知识梳理、教师对其进行方法的灌输、参考资料的辅助、对网络上各种题型已经被解答出答案的简单复制等，但是这些问题均来自当前教育体制长期积累下来的弊端，无法从根本上改变。由此，执教者在进行高中三角函数最值的教学时，务必要将帮助高中生进行逻辑思维系统的建立和拓展。

二、高中三角函数里最值的解法

高中三角函数中的最值，区分于集合中的最值研究，按照最值本身的含义可以解释为最大值或者最小值。[2]三角函数的最大值和最小值，无法用空间的立体感进行讨论，但是因为最值本身是历年高考中的重要热点和难点，所以从考核的角度来看，将含有三角函数最值的历年高考试题抽取出来进行罗列，那么从中就可以发现高中三角函数中最值使用及表现的逻辑规律。

高中数学知识的实际运用性并不是特别的强，它注重的是对数学思想的培养与运用，通过对高中数学的学习培养学生解决问题的思想方法是高中数学教学的要点。高中数学思想有很多，针对不同的题型会有不同的运用，本文针对高中三角函数最值问题仅以转化思想和数形结合思想为例进行探讨，对引导学生解题起到抛砖引玉的作用：

例1已知函数f（x）=sin2x-cos2x，x∈R.求函数f（x）在区间[，]上的最值。

分析：此种类型的题属于y=asinx+bcosx+c型，可利用辅助角公式化成y=a2+b2sin（x+φ）+c（其中tanφ=）来解决。

解：∵f（x）=sin2x-cos2x=2sin（2x-），

又∵f（x）在区间[，]上为增函数，在区间[，]上为减函数，又f（）=0，f（）=2，f（）=-1，

∴函数f（x）在区间[，]上的最大值为2，最小值为-1。

例2已知函数y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x，x∈R.求函数f（x）的最大值及取得最大值时自变量x的集合。

分析：此种类型的题属于y=asin2x+bsinxcosx+c.cos2x难度相对较大，可利用降幂公式整理化成y=Asin2x+Bcos2x+C，再转化为类型一求解。

解：∵f（x）=（sin2x+cos2x）+2sinxcosx+2cos2x

=1+2sinxcosx+2cos2x

=sin2x+cos2x+2

=2+2sin（2x+）

∴当2x+=2kπ+，即x=kπ+（k∈Z）时，f（x）取得最大值2+2，且函数f（x）取得最大值时自变量x的集合{x|x=kπ+，k∈Z}。

例3求函数的值域（最大值最小值）。

分析：对于型三角函数问题，我们通常的解法是把其转化为形式，再利用辅助角公式求其最值。这种方法比较传统，也是同学们比较容易想到的解题方法，但是这种方法比较复杂，在转化和求解的过程中稍有不慎就会满盘皆输。针对这种现象我们可以转变学生的思维，引导他们运用数形结合的思想来解决此类问题，这样既发散了学生的思维、加快了解题速度同时还保证了准确率。

解：运用数形结合的方法，求原函数的值域等价于求单位圆上的点P（cosx，sinx）与定点Q（2，0）所确定的直线的斜率的范围。作出如图得图像，当过Q点的直线与单位圆相切时得斜率便是函数得最值，由几何知识，易求得过Q的两切线得斜率分别为-、。结合图形可知，此函数的值域是。

三、高中三角函数里最值中的逻辑思考点

逻辑性思维的建立并不是一朝一夕的事情，当然有时候一旦突破某个点之后就若醍醐灌顶般完全领悟其中的奥秘。就高中三角函数里最值的研究方面这个逻辑思维的运用，可以从对高中三角函数的认知延伸出来。三角函数最值的解答必须建立在对三角函数基础知识进行掌握的基础之上，其题型的形式多样，如单纯作为考察值域所出现的选择填空题、作为解答题中的隐含要素或者直接作为应用题型需要直接做出解答等。[3]

学生在进行高中三角函数里最值的解答时，因为解题的思路不清晰也就是我们在前面谈到的逻辑思维不明朗会导致不能抓住题目的本质，分不清究竟在考察何种知识点，那么因为三角公式种类很多，即便是一个一个公式用来做做试试看的话，也许会得出答案与参考答案等同，但是这并不意味着题目就此解析出来，对这道题的认知也就相应的出现了具象型概念。往往对学生在进行数学学习时候造成自信心受挫，遇到高中三角函數就挠头的，大都源于仅仅是为了最后的结果而做题或者学习，逻辑思维并没有在做题的过程中形成和建立，由此，学生在题海战术中只能疲于奔命。

例如：对于Y=asinx+bcosx类型的函数对其求法就可以按照统一性规则求解，对于这种函数就可以sinx和cosx作为统一的一种函数值来纳入求解过程：已知函数f（x）=2cosxsin（x+）+sin2x+sinxcosx，求f（x）的最小值和取得最小值时X的值。在这样的题型里，可以将解答的方式转化成为单纯的cosx或者单纯的sinx来求值则相对容易些。解答的时候，根据sinx和cosx之间的转化公式，可以得出2cosxsin（x+）=2cosx（cosxsin+sinxcos），这一步中的延展就是利用了sinx和cosx的关系这些在解答题之前是可以按照数学习惯性思维进行分析的。

经过这样一步之后整体就变成了sin2x和Sinx、cosx之间关系的转化，由此，从这一步转化后，f（x）的比值就是cos2x与2cosxsinx之间的和值解答，最后结果自然就是2sin（2x+），那么周期最小自然就是π值。而将2x+进行延展，带入kπ值（K∈Z）那么最后取得的f（x）的最小值结果为-2。在这道题的求解过程中，学生所用到的只有两种公式的装换，从这两种公式的转化过程中继续提炼，那么可以得到此类型的公式y=a²+b²sin（x+ϕ）时，tagϕ的值就可以用a和b的比值来进行解答。[4]对于三角函数最值的计算中，最初始的几个公式以及公式之间的转换关系所组成的公式组，它们的存在性以及它们彼此之间存在的逻辑关系是学生在解答此类题时一定要理清楚的，一旦将这些在脑海中构建起来，那么逐步进行从易到难的问题解析，那么关于三角函数各个公式以及各个题型之间的逻辑关系拓展必然会有新的突破。

参考文献

[1]高慧明.高中数学知识科学网络结构反思研究[A]国家教师科研基金十一五阶段性成果集（湖北卷）[C]，2010.

[2]孙平.三角函数最值的求解[J]新课程（教师），2010.09.

[3]刘旭.信息技术和数学教学的整合让我和学生共同成长[A]教育技术：信息化阶段新发展的研究[C]，2007.

[4]李春霞.单位圆在三角函数中的教学功能探析[N]学知报，2011.

作者简介：王晓雪（1982.08-）.女，福建厦门人，汉族，乐安中学一级教师，本科，研究方向：高中数学教学。