操千曲而后晓声 观千剑而后识器——用对数平均不等式妙解导数题

卢会玉

(甘肃省嘉峪关市第一中学 735100)

《普通高中数学课程标准(2017年版)》中提出：通过高中数学课程的学习，学生能获得进一步学习和未来发展所必需的数学基础知识、基本技能、基本思想和基本活动经验.其中“基本活动经验”在笔者看来就是从对知识的点滴积累再升华为能力的过程.高中数学教学，特别是高三后期的教学中，解题教学成为了不可缺少的环节，那么积累经验、总结经验、提升思想就成为每一个高三人必须要做的事情.对于学生而言，他们在独立思考的过程中，在听老师讲授的过程中以及和同学相互探究的过程中所获得的解题经验，就成为思考下一个问题的利剑.

很显然，只有不断积累、不断提升，才能触类旁通.在距离高考越来越近的日子里，笔者认为，基于“基本活动经验”的解题不失为高效率的学习方法之一.基于这个理念，设计了以导数为背景的专题课.

(1)讨论f(x)的单调性；

(1)讨论f(x)的单调性；

(2)若f(x)有两个极值点x1和x2，记过点A(x1，f(x1)),B(x2，f(x2))的直线的斜率为k，问：是否存在a，使得k=2-a？若存在，求出k的值，若不存在，请说明理由.

(1)讨论f(x)的单调性；

(2)若f(x)有两个极值点x1和x2，记过点A(x1，f(x1)),B(x2，f(x2))的直线的斜率为k，问：是否存在a，使得k=2-a？若存在，求出k的值，若不存在，请说明理由.

很明显这三个题的相似度非常高，所以笔者刻意地将这三道题的第二问放在一起进行对比，可以发现函数f(x)基本相同，都是已知f(x)有两个极值点x1和x2，都是要研究斜率k与2-a的关系.

第一问比较常规，求导之后通分发现分子上面是二次函数，所以我们既要考虑判别式，还要考虑定义域，综合讨论得出结论.解法如下：

当a≤0时，f′(x)<0，此时f(x)在(0,+∞)上单调递减；

当a>0时，判别式Δ=a2-4，

①当Δ≤0，即0

当x∈(0,x1),(x2,+∞)时，f′(x)<0，所以f(x)在(0,x1)和(x2,+∞)上单调递减；

当x∈(x1,x2)时，f′(x)>0，所以f(x)在(x1,x2)上单调递增.

综上可知，当a≤2时，f(x)在(0,+∞)上单调递减；当a>2时，f(x)在(0,x1)和(x2,+∞)上单调递减，在(x1,x2)上单调递增.

2018年高考Ⅱ卷21题的第二问相对要有难度一些，但是也有几种适合学生的做法.

对数平均不等式让很多学生的眼前一亮，都觉得真是一个解题神器！话说回来，导数题确实让很多学生望而生畏，但它又不是那么不可高攀.如果在平时的学习中善于学习，善于积累，更能做到触类旁通的话，那学习就会更轻松,所以必要的练习还是要有的.于是笔者又设计了如下的题目让学生挑战.

练习已知函数f(x)=ex-x-m(m∈R)，若f(x)有两个零点x1和x2，求证x1+x2<0.

本题乍一看去并不像对数平均不等式的直接应用，甚至有学生怀疑笔者是不是把题写错了，然而还是有学生能看破玄机的.

2019年考试大纲中提到的“能力”是指空间想象能力、抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力以及应用意识和创新意识.很显然，今天所遇见的问题除了没有涉及空间想象能力，其他的都进行了深入的考查，甚至对学生的意志品质也是一种考验.那么如何才能有能力？怎么才能有很好的个性品质？唯有一如既往地重视学生所必需的数学基础知识、基本技能、基本思想和基本活动经验.因为刘勰的《文心雕龙·知音》中早就说过“操千曲而后晓声，观千剑而后识器.”正所谓十年磨一剑，一朝试锋芒，我们要不断积蓄力量，保持长久的激情，方可到达胜利的彼岸.