纵横不出方圆 万变不离其宗——解三角形中的最值(范围)问题

于 颖

(辽宁省大连市第三十六中学 116011)

解三角形中的最值问题既用到了三角函数知识，又有不等式的内容，可谓是三角、函数、向量、不等式的交汇点.常用到三角形内角和定理、三角形中不等关系、正弦定理、余弦定理、面积公式、三角恒等变形、三角函数的图象和性质、基本不等式等.通常解决三角形中的最值问题有两种方法：一是化边为角，利用三角函数的有界性求解；二是化角为边，利用均值不等式求解.

一、知识储备

正弦定理、余弦定理、辅助角公式、基本不等式、三角形中的不等关系(两边之和大于第三边).

二、典例分析

(1)△ABC面积的最大值;

(2)△ABC周长的取值范围.

1.第(1)问解析

2.第(2)问解析

解法1因为b+c=2RsinB+2RsinC

=2sinB+2sin(A+B)

解法2 由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,可以变形整理为a2=(b+c)2-2bc(1+cosA).

总结此类问题给出的已知条件常常是三角形的一边及对角，第(1)问求目标函数的最值(或范围)，解法2的求解过程相对简单便捷.运用余弦定理结合均值不等式，求出bc的最大值.但是无法通过均值不等式求出bc的范围.所以解法2在解题上有优越,却也有局限.第(2)问求周长的取值范围,因为已知a=1,即求b+c的取值范围.余弦定理结合均值不等式,可求其最大值,再根据两边之和大于第三边,可求出其取值范围.如果目标函数为b+2c或者2b+c,解法2是求解不了的.只能通过“化边为角”,用解法1，利用三角函数的性质求值域.

比较(1)(2),解法1对于计算要求很高，考查了正余弦定理、两角和与差的正弦公式、辅助角公式及三角函数的性质.整个解题的思路围绕着“角”进行.“化边为角”之后，A,B,C三足鼎立，求出A之后，角B与C合力突围，到最后角B一枝独秀.解题过程体现着“化多维为一维”的转化思想，突出B的主元地位(当然本题中亦可以C为主元).解法1为该类型题的通性通法.

三、巩固训练

变式1 已知锐角△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，若a=1，b2+c2-bc=1，则△ABC面积的取值范围是____.

总结本题已知三角形的一边一角，利用正弦定理将边化为角，利用三角函数性质求出面积的取值范围.因为题目中对角加强了限制，锐角三角形无法通过边的度量关系找到突破，所以本题适用解法1.要注意锐角三角形条件的应用：三个角都是锐角，角C虽然被消去，但是它是锐角的条件由角B来承担，将所有条件都集中在角B主元上.