例析导数解答题中数列不等式的证明策略

李 宁 潘小芳

(海南省海南中学 571158)

一、常用思路：逐项比较

例1 已知函数f(x)=(x+1)lnx-ax+2.

(1)若函数f(x)在定义域上具有单调性，求实数a的取值范围；

解析(1)当a≤2时，f(x)在定义域上单调递增.

…

(2)整个问题的前后小问之间往往有联系，含参函数如果第一问给出某个性质求参数范围，可以考虑取参数范围的端点值代回去得到函数不等式.

(1)若f(x)≤ax+1在[1,+∞)上恒成立，求a的取值范围；

…

评注逐项比较法，关键是获取不等式两边数列的通项，逆向探索局部不等式.

二、可选思路：利用数列单调性

例3 设函数f(x)=(x-1)2+blnx，其中b为常数.

(1)判断函数f(x)在定义域上的单调性；

评注利用数列单调性证明这类数列不等式虽然与逐项比较法写法不同，但本质上它们是异曲同工的.

三、合理放缩

(1)若不等式kx≥f(x)在区间(0,+∞)上恒成立，求实数k的取值范围；

…

四、类似可证ai

例5 已知函数f(x)=alnx+x2，其中a∈R.

(1)当a=1时，证明：f(x)≤x2+x-1；

解析(1)略.

评注待证不等式一边是常数，不方便逆向探索局部不等式.可以对照待证不等式的结构特征和已知条件，从已知条件中获取函数不等式来构建局部不等式.不等式lnx≤x-1是解决导数解答题必须掌握的重要不等式.

例6 已知函数f(x)=alnx-ax-3(a∈R).

(1)求函数f(x)的单调区间；

解析(1)当a>0时，f(x)的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1,+∞)；当a<0时，f(x)的单调递增区间为(1,+∞)，单调递减区间为(0,1)；当a=0时，没有单调区间.