破解含参不等式恒成立问题的常见策略

许万成

(江苏省建湖县第二中学 224700)

不等式在实际生活中的应用非常广泛，因此它是历年高考考查的重点与热点，经常与其它数学知识比如函数、方程、解析几何等综合起来考查.在这类问题的考查中，同学们对于含参的问题处理起来都是比较头疼的，针对这种情况，笔者总结了三种常见的处理策略，现在以例题的形式呈现给同学们.

一、判别式法

有关含参数的一元二次不等式问题，若能把不等式转化成一元二次函数或者一元二次方程，通过根的判别式或者数形结合思想，可以使得问题得到顺利解决.

例1 对于x∈R,不等式x2-2x+3-m≥0恒成立，求实数m的取值范围.

思维点拨不等式x2-2x+3-m≥0对于一切实数恒成立等价于对应二次函数的图象恒在x轴的上方.

解析不妨设y=x2-2x+3-m，其函数图象是开口向上的抛物线，为了使y≥0(x∈R)恒成立，只需对应方程的Δ≤0，即(-2)2-4(3-m)≤0.

解得m≤2，故实数m的取值范围为(-∞,2]

评注对于在一切实数上恒成立的一元二次不等式问题，可以转化为对应二次函数图象的分布，利用判别式进行快速求解.

二、分离变量法

如果能够将参数分离出来，建立明确的参数和变量x的关系，那么可以利用函数最值求解.a>y恒成立⟺a>ymax,a

例2 已知函数y=x2-ax(a∈R)在x∈[1,+∞)时，y≥-x2-2恒成立，求a的取值范围.

故所求a的取值范围是(-∞,4].

评注在二元不等式中，如果可以很容易地将参数与变量分离开来构造出两个函数，将求参数范围问题转化为求最值问题来处理，那么我们经常使用分离变量法来处理有关参数问题.

三、变更主元法

在有几个变量问题中，常有一个变元处于主要地位，我们称之为主元.在解含参不等式时，有时若能够换个角度，变参数为主元，可以得到意想不到的效果，使得问题可以快速解决.

例3 不等式t2-at≥0对所有的a∈[-1，1]都成立，则t的取值范围是____．

思维点拨看作关于a的一次函数，根据一次函数恒成立问题列出不等式组，求得t的范围.

故答案为：(-∞,-1]∪{0}∪[1,+∞).

评注在含参数不等式恒成立的问题中，参数和未知数是相互制约、相互依赖的关系.本题已知参数a的取值范围，求t的取值范围，若能够转换两者中的地位，则关于t的不等式就转化为关于a的不等式，问题既可以迎刃而解了.