ZA型蜗杆副建模及动力学传动误差仿真分析

杨宏斌，李官运，李 静，徐爱军

（河南科技大学机电工程学院，河南 洛阳471003）

1 引言

蜗杆副具有传动平稳、振动和噪声小等优点广泛应用于诸多行业。在蜗轮蜗杆的加工制造、仿真分析等方面，采用精准的蜗杆副三维模型显得十分重要。在齿轮传动的设计中，传动误差是重要的设计参考资料，通过动力学仿真软件，可以分析在不同转速、负载情况下的啮合传动误差［1］。

对于蜗杆副的精确建模可以采用多种方法，文献［2］采用绘制齿廓线进行扫描切除，建立蜗杆副的三维模型，通过VB编程实现蜗杆副的参数化建模。文献［3-5］同样采用参数化建模的方法建立蜗杆副模型，在动力学仿真分析方面，分别对输出角速度和啮合力的变化进行分析。文献［6］建立蜗杆副的虚拟样机模型，对存在安装误差条件下的蜗杆副进行传动误差分析。文献［7］探究一种评估齿轮啮合振动和噪声的数值方法，采用齿轮传动误差来进行评价，通过实验验证动力学仿真软件对传动误差分析的正确性。

文中根据成形加工原理和齿轮啮合原理，对蜗杆副的数学模型进行推导，完成对蜗杆副三维模型的建立。在动力学仿真软件RecurDyn中搭建蜗杆副的动力学模型，对蜗杆副在不同工况下的传动误差进行分析研究，为蜗轮蜗杆的设计和性能分析提供参考。

2 建立ZA型蜗杆副的数学模型

2.1 ZA蜗杆的数学模型

蜗杆的数学模型是根据加工原理，利用加工车刀的直线刃方程，绕着蜗杆轴线做螺旋线运动推导而来［8］。车刀加工蜗杆的螺旋运动情况如图1所示，S1为蜗杆刚性固接的坐标系，Su为车刀固接的动态坐标系，θ为车刀螺旋运动的回转角。

图1 蜗杆加工的坐标系Fig.1 Coordinate System for Worm Machining

右旋蜗杆的数学方程为：

式中：α—车刀的齿形角，即蜗杆的齿形角；u—车刀刃口上点的位置参数；sp—设计参数，等于蜗杆齿槽在轴截面内的轴向宽度；rp—蜗杆的节圆半径，p—螺旋参数，p=H/2π，H—导程。

2.2 ZA蜗轮的数学模型

根据齿轮啮合原理，建立蜗杆副啮合过程的坐标系如图2所示。

图2 蜗轮蜗杆啮合坐标系Fig.2 Worm Gear Meshing Coordinate System

其中S为固定坐标系，SP为辅助的固定坐标系，S1、S2分别为蜗杆、蜗轮固接的动坐标系，蜗杆以定角速度绕z1轴回转，蜗轮以定角速度绕z2轴回转。

蜗杆副为共轭齿面，通过推导得到蜗杆副的啮合方程，与蜗杆齿面方程联立并进行坐标系转换，可以得到ZA蜗轮的齿面方程为：

式中：x1、y1、z1—接触点P在坐标系S中的坐标；x2、y2、z2—接触点P在坐标系Sp中的坐标；φ1—蜗杆在坐标系S中的转角；φ2—蜗轮在坐标系Sp中的转角；A0—中心距；i12为传动比。

3 建立ZA型蜗杆副的三维模型

通过上述对蜗杆副齿面数学方程的推导，在Matlab中对蜗杆副的齿面点进行编程求解，文中采用ZA型蜗杆副的基本参数，如表1所示。

表1 ZA蜗杆副的基本几何参数Tab.1 Basic Geometric Parameters of ZA Worm Gear

将Matlab中得到的齿面点导入UG，在UG中实现齿面的构建，并对齿面进行缝合、剪切、布尔等操作，完成对蜗杆副实体模型的建立，如图3所示。

图3 ZA型蜗杆副的三维模型Fig.3 Three Dimensional Model of ZA Worm Pair

4 蜗杆副的动力学仿真分析

4.1 蜗杆副的动力学模型建立

文中采用的RecurDyn是韩国FunctionBay公司利用最新的多体动力学理论，基于相对坐标系建模和递归求解算法开发的动力学软件，可以实现快速稳定求解机构碰撞问题。

将UG中蜗杆副的装配模型以parasolid格式导入RecurDyn中，分别添加蜗杆和蜗轮与大地的旋转副，建立蜗杆齿面与蜗轮齿面的扩展面接触（Extended Surface to Surface Contact）。蜗杆上添加旋转驱动，蜗轮上添加负载转矩，完成对蜗杆副的动力学模型建立，如图4所示。

图4 ZA蜗杆副的动力学模型Fig.4 Dynamic Model of ZA Worm Pair

4.2 动力学仿真分析

根据RecurDyn的接触算法［9］，对接触参数进行设置，蜗杆采用碳钢材料，弹性模量为2.06x105MPa，泊松比为0.3；蜗轮采用铸造锡青铜材料，弹性模量为8.83x104MPa，泊松比为0.3。经计算的接触刚度系数为3.63x105N/mm3/2，阻尼系数为50N·s/mm，非线性指数为1.5，最大穿透深度为0.1mm；动态摩擦系数为0.05，静态摩擦系数为0.08。蜗杆采用step阶跃函数进行驱动，在0到0.5s内加速到45rad/s，即step（time，0，0，0.5，45），蜗轮上施加一个为50N·m的转矩负载，即step（time，0，0，0.5，50000），仿真时间为3s，仿真采样步数为300步。

经上述参数设置，进行动力学仿真，蜗杆的驱动转速为45rad/s，蜗杆副的传动比为20.5，图5可以看出0到0.5s是个加速过程，0.5s后蜗轮的角速度稳定在2.20rad/s上下，与理论值2.195rad/s非常接近，验证模型建立的正确性。

图5 蜗轮输出角速度Fig.5 Worm Gear Output Angular Velocity

5 蜗杆副的传动误差分析

根据齿轮传动误差定义，当主动轮转过一定角度时，从动轮的实际转动角度与理论转动角度的差值，表达式为：

式中：φ1、φ2—主动轮和从动轮的实际转角主动轮和从动轮的初始位置；N1、N2—主动轮和从动轮的齿数。

在不同负载、转速下，对蜗杆副传动模型进行动力学仿真分析，将RecurDyn中的仿真数据导入到Matlab中，根据传动误差的公式，完成对蜗杆副的传动误差分析。

5.1 负载对传动误差的影响

将蜗杆的转速恒定为45rad/s，分别对蜗轮施加50N·m、150N·m、250N·m三种情况进行仿真分析，得到定转速变转矩的动态传动误差曲线图，分别如图6（a）、（b）、（c）所示。

图6 转速为45rad/s不同负载传动误差图Fig.6 Transmission Error Diagram for Different Loads at 45 rad/s

通过对上述三种情况进行对比分析可知，在0到0.5s初始加速阶段，蜗杆副的传动误差依次增大，0.5s后蜗杆的转速稳定，齿面传动误差呈周期性，在一定范围内上下波动。蜗杆转速稳定后，传动误差的均值随着负载的增大而增大，且负载越大传动误差的波动范围越大。根据传动误差的啮合信息可以反映出，转速恒定时，随着负载的不断增大，蜗杆副的啮合振动和噪声也在增大。

5.2 转速对传动误差的影响

将蜗轮的转矩恒定为150N·m，分别对蜗杆的驱动转速为45rad/s、65rad/s、85rad/s三种情况进行仿真分析，得到定转矩变转速的动态传动误差曲线图，分别如图7（a）、（b）、（c）所示。

通过分析定转矩变转速的传动误差图可知，在蜗轮施加恒定负载的情况下，随着蜗杆转速的增大，蜗杆副传动误差的均值和波动幅值基本一致。可以反映出蜗杆副啮合传动产生的振动和噪声，受蜗杆转速的增大影响较小。

6 结论

基于齿轮啮合原理，对ZA型蜗杆副的齿面方程进行数学模型的推导，得到ZA型蜗杆副的数学表达式。

完成对ZA型蜗杆副三维模型的建立。根据蜗杆副的数学模型，在Matlab中进行编程得到齿面点，将点云数据导入到UG中，完成蜗轮蜗杆的模型建立。

在RecurDyn中建立蜗杆副的动力学模型，验证了三维模型和动力学模型建立的正确性。通过对蜗杆副传动误差的分析，发现恒定转速情况下，负载增大对传动误差的影响明显增大；在恒定负载情况下，转速增大对传动误差影响基本一致。通过对蜗杆副传动误差的仿真对比分析，为蜗杆副的设计提供评价依据，为齿轮啮合的振动和噪声研究提供参考。