Dedekind和与四次高斯和的混合均值

刘艳艳

(西藏民族大学 教育学院, 陕西 咸阳 712082)

对任意正整数q≥2及整数h满足(q,h)=1,经典Dedekind和S(h,q)定义为

其中

这个和式揭示了η函数的对数在模变换下的深刻性质[1-2],因而受到数论学者的高度关注, 并研究了它的各种性质,获得了一系列有意义的结果[3-15]。例如,文献[7]得到了S(h,k)的互反定理,即对两个互素的正整数h和q,有恒等式

文献[8]研究了S(h,k)的均值分布, 并证明了如下的渐近公式：

其中ζ(s)是黎曼ζ-函数。

文献[11]研究了如下混合均值的分布性质:

并给出了一些有趣的恒等式，其中二项指数和C(m,n,k,h;q)定义为

且e(y)=e2πiy。文献[11]证明了

文献[12]研究了Dedekind和与一类Kloosterman和混合均值的计算问题，并给出了一个较为精确的渐近公式,即证明了

其中：p为奇素数；φ(n)为Euler函数；ω(n)表示n的不同素因子的个数；A(p)表示区间[1,p]中模p所有原根的集合；C(m,n;p)定义为

本文考虑了Dedekind和与四次高斯和A(m)的混合幂均值问题,其中A(m)=A(m,p)定义为

其中：p是奇素数；m是与p互素的整数。

我们将关注如下形式混合幂均值的计算问题:

(1)

其中：p是素数且满足p≡5 mod 8；k是任意正整数。本文利用初等及解析方法以及经典Gauss和的性质研究了混合均值Ck(p)的计算问题, 并给出了它的一个有趣的四阶线性递推公式，即证明了以下两个结果。

定理1设p为奇素数且满足p≡5 mod 8，则对任意正整数k≥4，有四阶线性递推公式

Ck(p)=(4pα2-9p2)Ck-4(p)+

8pαCk-3(p)-2pCk-2(p),

且它的前四项初值为

C0(p)=0,

定理2设p为奇素数且满足p≡5 mod 8，则对任意正整数k≥4，有四阶线性递推公式

2pC-(k-2)-8pαC-(k-1)(p)],

且它的前四项初值为

C0(p)=0,

由以上定理可推出如下推论。

推论1设p为奇素数且满足p≡5 mod 8,则有

推论2设p为奇素数且满足p≡5 mod 8，则有

推论3设p为奇素数且满足p≡5 mod 8，则有

|L(1,χ4)|2。

推论4设p为奇素数且满足p≡5 mod 8，则有

|L(1,χ4)|2。

推论5设p为奇素数且满足p≡5 mod 8，则有

推论6设p为奇素数且满足p≡5 mod 8，则有

注定理中只考虑了p满足p≡5 mod 8的情况。事实上,当p≡3 mod 4或p≡1 mod 8时,对所有的正整数k有Ck(p)=0,因此在这些情况下结果是平凡的。

此外,定理中的整数α=α(p)有特殊含义。若p≡1 mod 4，则有(见参考文献[10]的定理4-11)

1 几个简单的引理

本节将给出几个简单的引理。为简单起见, 其中用到的一些初等数论及解析数论知识不再一一列举, 可参阅文献[10-12]。

引理1设q>2为整数,则对任意整数a满足(a,q)=1,有恒等式

其中L(1,χ)表示对应于特征χmodd的狄利克莱L-函数。

证明参阅文献[7] 的引理2。

引理2设p为奇素数且满足p≡1 mod 4,χ4为模p的任意四阶特征,则有恒等式

其中τ(χ)表示经典高斯和，其定义为

且α=α(p)同定理1中定义。

证明参阅文献[14]中的引理2.2。

引理3设p为素数且满足p≡5 mod 8，则对任意与p互素的整数m,有恒等式

A4(m,p)=4pα2-9p2-2pA2(m,p)+

8pαA(m,p)。

(2)

(3)

应用(2)、(3)式和引理2可得

(4)

由(2)、(3)式和引理2可得

4pα2-8p2+8pαA(m,p)

或

A4(m,p)=4pα2-9p2+8pαA(m,p)-

2pA2(m,p)。

(5)

结合(2)—(5)式可得引理3。

2 定理的证明

设p为奇素数且满足p≡5 mod 8,则由引理1可得

(6)

显然若λ为模p的任意偶特征,则由模p特征的正交性可得

(7)

(8)

由(7)式和引理3可得

(9)

结合(8)、(9)式可得

(10)

若k≥4，则由(7)—(10)式及引理3可得

8pαA(m,p)-2pA2(m,p))·

Ak-4(m)|L(1,χ)|2=

(4pα2-9p2)Ck-4(p)+

8pαCk-3(p)-2pCk-2(p)。

(11)

显然有C0(p)=0。结合(8)—(11)式可推出定理1。

现证定理2。由引理3可得

2pA2-k(m,p)-8pαA1-k(m,p)]。

(12)

因此对任意整数k≥4，由(12)式及C-k(p)的定义可得

8pαC-(k-1)(p)]。

(13)

由定理1可得

(14)

8pαC-1(p)]=

(15)

(16)

结合(13)—(16)式即得定理2。

由恒等式

即证所有结果。

3 结论

本文的主要结果是2个定理和6个推论。定理1给出了当p≡5 mod 8且k≥1时,Ck(p)的一个四阶线性递推公式。定理2给出了当p≡5 mod 8时,C-k(p)的一个四阶线性递推公式。作为这些定理的应用,我们也给出了|Ck(p)|和|C-k(p)|的一些精确值。