读国内外微积分教材的深刻体会

张敏

摘要：随着高考的不断改革，微积分模块在高中数学中地位越来越重要，这也就对高中教师的业务要求越来越高。为了更深入地把握微积分内容的知识体系，笔者通读了国内外的几套微积分教材。本文谈了笔者通读微积分后的深刻体会以及在后续教学中的一些想法。

关键词：微积分;基本概念;习题;计算机

随着高考的不断改革，高中数学中不断引入大学课程，如导数，随机变量，统计学，正态分布等等，更多大学的基础知识下放到高中，促使基础教育改革和教育教学质量的进一步提高，让同学们更快的适应大学知识体系，为后续的拔尖创新人才的培养做足准备。 尤其是“微积分”模块。  随着工作时间越长，接触的学生越来越多，笔者越来越发现要把“微积分”模块讲解的通俗易懂，便于学生接受，还需要更深入的学习大学课程里面的微积分内容。于是笔者重新通读了国内外几套微积分教材，期间有很多深刻的理解和体会。于是笔者查阅了大量的参考资料， 在查阅的众多资料中，国外教材中史迪沃特和托马斯的《微积分》，给自己耳目一新的感觉。下面从基本概念，实例，计算机软件等方面，谈谈笔者读国外微积分教材的体会。

一、注重基本概念的引入

基本概念的引入总是采用“实际-理论-实际”的方式。具体而言，在每个概念引入之前，总是运用大量启发性的实际例题，然后从中归纳提炼出定义，进而再把微积分形成的理论和方法应用于各种实际问题。例如在史迪沃特的《微积分》中，引入极限这个非常抽象的概念时，史迪沃特采用的是形象思维，先通过两个具体例子----曲线的切线和变速直线运动的速度，告诉我们日常生活中确实需要利用极限来解决一些实际问题，进而需要引入极限。史迪沃特似乎明白大家的心理，通过两个图形，圆的切线与圆只有一个交点，而另外一条曲线在某一点处的切线却与曲线有两个交点，先将大家固有的思维纠正过来。为了揭开极限这个概念的神秘面纱，考虑双曲线y=x²在点P（1，1）处的切线。先给出数值计算的近似结果，然后从左右两侧的Q点趋向于点P（1，1），给出十分美观的几何直观图，力图对抽象的知识先有一个感性认识。对于速度问题，考虑了多伦多塔自由落体运动在某一点处的瞬时速度。在考虑每个问题时，总会和实际相联系。有了两个例题后，紧跟着就是简单的具有实际意义的练习题，帮助读者更好的理解切线问题和速度问题。有了两个实际问题的深入理解，给出极限的描述性定义，然后通过数值计算，对于一些具体函数，考虑在某点处相应的极限值。当具体函数结合数值模拟理解好极限后，极限的神秘面纱就完全揭开了，进而给出了极限的精确性定义，也就是定义！就这样一个极限概念的引入，作者给出了三十几个图形，十几个表格，让学生非常形象的理解了极限的概念。

二、习题量大而广

国外微积分教材，例题非常多，并且习题量很大，各种类型均包含，同时设计精妙，每个专题中的例题总是从简单到复杂，层层深入，由简单概念到难度各异的计算题、证明题和应用题，一直到综合性较强的探索研究题。 例如在托马斯的《微积分》中，为了深刻理解极限这个抽象概念，仅在练习2.1中，就给出了46个练习题，包含有直观的图形题（利用分段函数图形，考虑极限是否存在），抽象的构造题（构造函数满足某点处极限的存在性），具体的理解题（幂函数，指数函数，三角函数，绝对值函数等在某点处的极限值），形象的实际题（速度问题，经济问题），适当的操作题（利用计算机软件模拟具体函数的图形及某点处的函数极限）。力图通过不同类型的题目深入理解极限这个抽象概念，既有纯数学角度的练习，也有实际问题的思考，更加结合有计算机的操作，追随着这个思路笔者不难将极限概念理解深入透彻。为了增加教材的可读性与实用性，例题和练习题中的实际问题涉及到很多领域，如物理、建筑、生物、医学、金融、军事、政治、社会发展等众多方面。不同學科交叉，开阔思路，更容易引起学习的兴趣。高中学生思维非常活跃，多接触一些实际应用的例题，也会激发他们的学习兴趣和学习积极性。

三、充分结合计算机软件

国外微积分教材在引入专题内容前，总会形象直观的给出一些图形、数据，将问题转化的更加易于理解，而在设计的练习题时，还有很多与计算机技术结合的题目，增加趣味性，吸引学生的眼球。例如托马斯的《微积分》中，为了理解一些复杂的函数，在1.7节中，专门通过计算机绘制了一些图形，有助于更加直观形象的理解复杂函数。通过计算机的实际操作，可以将抽象问题形象化，具体思路程序化，有助于问题的深入理解和研究基础的知识点。当今是个信息时代，计算机软件和多媒体教学也广泛引用于高中数学的教学中，将一些枯燥抽象的数学知识形象的展现在学生面前，降低了学习的难度，提高了学习的趣味性。例如讲解“曲边梯形面积”相关积分概念的知识点时，教师就可以借助计算机软件做好一个动态过程，利用多媒体演示无限细分和无限接近的过程，使学生较好的理解“曲化直，小替大”的过程，掌握积分的思想和概念。

这一遍国外微积分教材的通读，笔者受益颇深。吸收每个教材中的长处，更好的理解和驾驭每个知识点。借鉴多样化的题目，介入实际应用，同时，数学软件的应用，让一些抽象问题更加形象化，直观化，更加便于理解。在后续教学中笔者将优化教学内容，丰富教学手段，充分调动学生的学习积极性，使学生发展更全面。

参考文献

[1]. Thomas著，Calculus. [M]. 高等教育出版社，2006.

[2]. Stewart James著，Calculus. [M]. 世界图书出版公司，2004.

[3]. 同济大学数学系：高等数学（上册，第七版）[M].高等教育出版社，2014.

[4]. 同济大学数学系：微积分（上册，第三版）[M].高等教育出版社，2009.

[5]. 冯想，金海兰. 高中数学“微积分”模块教学的探讨[J].教育数学论坛，2014（3）： 58-59.