反常积分的一题多解

王雅婧 王琳

【摘 要】本文讨论了两类反常积分的多种求解方法，旨在幫助学生熟悉、掌握计算积分中用到的换元积分法和分部积分法，从而提高学生的解题能力。

【关键词】反常积分;一题多解;换元积分法;分部积分法

【中图分类号】G642  【文献标识码】A  【文章编号】1671-8437（2021）22-0001-03

一元函数积分学是高等数学[1]和数学分析[2]课程中的重要组成部分。反常积分是一元函数积分的一种类型，反常积分包含无穷积分和瑕积分。无穷积分是积分区间无限的反常积分;瑕积分是被积函数带有瑕点的反常积分，是无界函数的反常积分。对于反常积分，可借助牛顿-莱布尼茨公式求解，也可以通过换元积分法和分部积分法求解。本文先简单地介绍反常积分的概念，接着分别从无穷积分和瑕积分的题目入手，给出多种不同的解法，从而拓展学生的解题思路，希望能给予学生一定的

启发。

1   反常积分的概念

反常积分的概念可以通过定积分的概念深入理解。定积分存在有两个必要条件：一是积分区间有限，二是被积函数有界。若破坏了积分区间的有限性，即积分区间是无限区间，就引出了无穷限的反常积分，简称无穷积分;若破坏了被积函数的有界性，即被积函数在积分区间的某点无界，就引出了无界函数的反常积分，简称瑕积分。下面给出两类反常积分的具体定义。

无穷积分的定义：设函数 f（x）在区间[a，+∞）上连续，任取t>a，若极限存在，则称此极限为函数 f（x）在无穷区间[a，+∞）上的反常积分，记作，

此时称反常积分收敛;否则，称为发散。

瑕积分的定义：设函数 f（x）在区间[a，b）上连续，

点b为 f（x）的瑕点（即 f（x）在点b的任一邻域内无界），任取t

2   无穷积分举例

例1：计算积分。

分析：此积分为无穷积分，下面笔者用不同的方法来计算此积分。

方法一：凑微分法

。

由此看出，此积分是收敛的，并且积分的值为。

凑微分法是换元积分法的一种，是计算积分最基本也是应用最广泛的方法。此方法的关键在于如何适当地将被积表达式凑成易得出原函数的形式的微分，以更简便地计算。所以，想要熟练地掌握凑微分法，必须掌握不同函数的微分公式。

方法二：根式代换

令=t，则dx=2tdt，且当x=1时，t=1;x→+∞时，t→+∞。

。

面对被积函数含有一次根式的积分，直接对一次根式进行变量代换是非常有效的方法。通过变量代换后得到的积分，直接用积分公式即可得到结果。

方法三：三角函数代换

令x=tan2 t，则dx=2tan tsec2tdt，且当x=1时，

t=;x→+∞时t=。

。

根据被积函数的形式对要计算的积分进行适当的三角函数代换，把无穷积分转换成了定积分，并且大大地简化了积分的计算过程。

方法四：倒代换

令x=，则，且当x=1时，t=1;x→+∞时，x→0+。

。

被积函数分母的最高次幂高于分子的最高次幂时，倒代换也是非常有用的计算方法。对此积分进行倒代换后，把原来的无穷积分转换成了被积函数完全相同的瑕积分。虽没有简化积分的计算，但这说明位于曲线 y=之下，x轴之上以及x ≥1的图形的面积位于曲线 y=之下，x轴之上，x=0以及x=1之间的图形的面积是相等的。

方法四的计算过程比其他方法要复杂一些，不过在计算过程中，能够进一步加深对无穷积分和瑕积分的几何意义的理解。

3   瑕积分举例

例2：计算积分。

分析：被积函数在区间[0，2）上连续，但。点x=2是 f（x）的瑕点，此积分为瑕积分。接下来笔者用不同的方法来计算此积分。

方法一：分母代换

令x=2?u，则dx=?du，且当x=0时，u=2;x→2时，u→0。

=π。

由此看出，此积分是收敛的，并且积分的值为π。

此方法的巧妙之处在于作变量代换后，再把两式加起来除以2得到一个较简单的根式函数的积分，通过配方可直接利用积分公式计算。

方法二：分母根式代换

令，则dx=?2tdt，且当x=0时，;x→2时，t=0。

=π。

对部分根式作变量代换是换元法中常用的方法。通过这次变量代换后，直接把瑕积分转换成了熟悉的定积分，根据积分公式可得结果。另外，对于这种含有二次根式的定积分，可用三角代换来进行计算。

对于积分

令t=sin u，则dt=cos udu，当t=0时，u=0;t=时u=。

。

方法三：分子根式代换

令=t，则dx=2tdt当x=0时，t=0;x→2时，t=。

=π。

方法三用的方法与方法二类似，都是部分根式代换。需关注变量代换后得到的被积函数的特点，通过对分子加一项减一项，从而得出两个容易计算的积分。这种对分子加项减项来达到简化计算的方法也是计算积分时常用的方法。

方法四：三角函数代换

令x=2sin2 t，则dx=4sin tcos tdt，且当x=0时，t=0;x→2时，t=。

=π。

通过三角函数代换来计算此积分，能够在很大程度上简化积分的计算过程。此外，通过变量代换得到的关于三角函数的定积分，除了用三角函数的降幂以及凑微分法来计算，也可用定积分公式直接得到结果。

方法五：整体根式代换

令，则dx=，且当x=0时，t=0;x→2时t→+∞。

=2π?π=π。

其中，令=π。

对于含有一次函数的整体根式，作变量代换进行计算是求此类积分非常有效的方法。作变量代换后将此积分转换为被积函数有有理函数的无穷积分，从而利用求有理函数的积分理论进行计算。相对而言，此方法计算过程要复杂一些，需作两次变量代换。

方法六：换元法与分部积分法相结合

令，则x=，当x=0时，t=0;x→2时t→+∞。

==π。

此方法是在作与方法五相同的变量代换后，将所求积分化成udv的形式，直接利用分部积分法来计算。在此过程中同样用到了对分子加一项减一项的方式，从而简化了微分dv的形式，这样能使接下来的计算更简便。对于有的积分而言，多种方法结合使用也会有良好的

效果。

总之，求反常积分的关键与定积分相同，要利用换元积分法和分部积分法来进行计算。与定积分不同的是，在换元函数单调的假定下，如果换元后依然是反常积分，在代入上下限时需要求极限。若极限存在，则反常积分收敛，并称此极限是反常积分的值。在求积分时，可能有多种解法，有的题多种方法结合使用会便于计算。因此，要想熟练地掌握不同的方法，必须多加练习，拓展解题思路，掌握解题技巧，从而达到良好的学习效果。

【参考文献】

[1]同济大学数学系.高等数学（上册）[M].北京：高等教育出版社，2014.

[2]华东师范大学数学系.数学分析（上册）[M].北京：高等教育出版社，2010.

【作者简介】

王雅婧（1986～），女，山西忻州人，硕士，讲师。研究方向：应用数学。