谈小学数学学习的起点及其应用

朱叶红 孙国元

摘   要：《义务教育数学课程标准》指出，教师教学应该以学生的认知发展水平和已有的经验为基础。数学学习的起点至教学目标之间的区域就是学生数学发展的“最近发展区”，是数学教学的有效区间。数学学习的起点决定着数学教学的效度和信度，它分为逻辑起点和现实起点，基于学生真实起点的教学才是有效教学。寻找和把握学生数学学习的起点是数学教师永恒的课题。

关键词：小学数学;数学学习;最近发展区;起点;应用

中图分类号：G623.5   文献标识码：A   文章编号：1009-010X（2021）19/22-0126-03

著名心理学家奥苏伯尔说过：“你想把学生引领到你想叫他去的地方，你首先要知道他现在在哪里”。《义务教育数学课程标准（2011版）》指出，教师教学应该以学生的认知发展水平和已有的经验为基础，面向全体学生。所以，小学数学教学要准确把握学生的学习起点。这个起点到教学目标之间的区域，就是“最近发展区”，是教学的有效区间。在这个区间里，学生站在自己的位置，蹦一蹦就能摘到果子。所以，数学课堂是否从学习起点出发，决定着数学教学的效度和信度。

一、学习起点的分类

（一）逻辑起点

有人认为，学习的逻辑起点是学生按照教材学习的进度，应该具备的知识基础。笔者以为这个解释太宽泛、太笼统。学习的逻辑起点应该是新知赖以产生的基础知识和技能，是衍生新知识的生长点。今天学习的知识是暂时的终点、未来的起点。学习就是从一个旧起点到另一个新起点的过程，就是把教学目标变为新起点的过程。如二年级“乘法的意义”的学习起点是加法的意义。教师的教学就应该充分建立在加法的基础上进行。小学数学教学的逻辑起点就是新知识的生长点，通过知识的迁移类推，促使学生的思维自然而然地由过去的逻辑起点滑向下一个逻辑起点，从而助推新知的学习和探究。

（二）现实起点

学习的现实起点是指学生在多种学习资源的共同作用下，已经具有的知识基础。现实起点可能高于逻辑起点，也可能低于逻辑起点。随着信息时代的发展，学生学习的途径、资源和方式也异常丰富，在我们教学之前，学生有可能已经学会了部分或全部知识，这时的现实起点就高于逻辑起点。如果学生前面学过的相关知识没有掌握，那么他的现实起点就低于逻辑起点。

现实起点除了包括知识和技能方面的内容外，还包括生理、心理发展状况和学习经验方面的内容，这些都是不容忽视的教学起点问题。数学教学内容的设置和教学都要考虑学生的身心发展特点和已有数学活动经验。否则就会事倍功半。例如原来“平均数”的内容安排在三年级，教和学师生都非常吃力，学生总也理解不了。这不是教师教的问题，而是这个抽象的统计概念还不适合小学三年级的学生。后来“平均数”被安排在四年级，这个问题自然就解决了。

学习经验对数学学习来说，就是学生已经积累的数学活动经验。

二、学习起点的应用

（一）逻辑起点的应用

数学教学需要寻找两个逻辑起点，一个是近期逻辑起点;一个是远期逻辑起点，二者缺一不可。例如学习“异分母加法”时，必须考察“通分”和“同分母加减法”的掌握程度，这是近期逻辑起点，直接衍生“异分母加法法则”。同时还要考察学生对“自然数加减法、小数加减法”本质意义的理解，它们都是相同计数单位的累加或减少，也就是说数位对齐、小数点对齐和通分做的都是同一件事儿。这些一学期前学过的相关知识就是远期逻辑起点，它对形成知识体系，迁移知识和意义建构具有非常重要的作用，是数学教学的重要基础。

远近期逻辑起点是学生认知的前提，在教学新知前一定要有一个前提测评。传统教学的第一步是“复习巩固”，这个环节大都远离了数学课堂。现在的教学一上来就是创设情境、提出问题、探究新知，这样做就忽略了认知前提，忽略了学生学习的逻辑起点。所以，我们不妨把传统教学的“复习巩固”改为“前提测评”，只为唤醒逻辑上的起点知识，让学生想起出发的地方。当然，寻找逻辑起点还应有很多其他方式。

（二）现实起点的应用

现实起点的水平有两种情况，忽略了就会导致教学的高耗低效。

一是学生的现实起点高于逻辑起点，如果教学再从逻辑起点开始，那么师生就是在做“无用功”，白白耗费时间和精力。这种现象在低年级比较严重。例如教学“11～20各数的认识”，学生在幼儿园就很熟悉了，会读会写会比较大小，会说出中间的数。如果我们再按部就班地学一遍或讲一遍并没有什么意义。学生提前认识的都是知识表面的东西，我们可称之为“知识的外在形式和联系”。这时，我们可以从计数的历史和本质入手进行本质探究和学习。课上，我们可以通过“你对新知了解些什么”等问题来探寻学生的现实起点。当现实起点高于逻辑起点时，我们对“高出”的部分要以考核、测评的形式进行巩固和激励，绝不能再当做陌生知识进行探究和学习。同时，我们通过考核、测评或问题，要同时发现学生的认知盲点，或者通过学生提出问题，发现认知空白或欠缺，从而进行针对性教学。还是以“11～20各数的认识”为例，我们可以通过为什么“够十打捆”？18为什么要这样写？18为什么不能说是有1个十和1个八组成？十和8分别代表什么等一系列学生感觉迷茫和困难的问题，让学生感悟到十进制的存在和十进制计数方法，这些都是需要认识的两位数的本质。同时我们还可以通过“磊石计数”“刻痕计数”“结绳计数”等古人计数的历史故事，让学生了解数学文化，感悟计数的本质。

二是学生的现实起点低于逻辑起点，如果教学还是基于逻辑起点，那么课堂上的认知活动就会发生困难，这同样是高耗低效。当现实起点低于逻辑起点时，我们对“低出”的部分要进行“补差”，不要怕影响进度，不要怕耽误时间，一切以教学质量为准绳，以会学和学会为目标。其实课堂教学的第一个环节“前提测评或诊断”就应该具备这个功能。

生理、心理发展状况和学习经验方面的现实水平，也是我们应该随时关注、了解和应用的学习起点内容。比如合作探究、小组讨论、发现和提出问题、动手实践和创新等活动，学生有经验和没经验，我们组织的过程和方法就应有所不同。我们不能生硬簡单地让没有活动经验的学生去盲目地进行合作探究、小组讨论和实验操作，那是形式化的教学。我们要根据学生的身心特点，为学习活动做好一切物质、意识和方法上的准备，教会学生学习活动。也就是说，数学活动经验需要在“做”的过程和“思考”的过程中逐渐地积淀和发展，找准学生活动经验“再生长”的起点，才能让学生在经历“做”数学的过程中，使数学活动经验逐渐走向丰厚。

奥苏伯尔还说：“影响学习的唯一重要因素，就是学生已经知道了什么，要探明这一点，并应据此进行教学”。这句话就是强调学生学习起点的重要性。精准的学习起点是开展课堂学习的得力推手，我们要努力寻找和把握学生真实的学习起点，一切从实际出发，遵循认知规律，让学生的学习赢在“起点”，让数学教学真实有效。

参考文献：

[1]教育部.义务教育数学课程标准（2011版）[S].北京：北京师范大学出版社，2012.

[2]谢   炎.把握教学起点，提高课堂实效的几点思考[J].科教文汇，2015，（5）：112～113.