小学数学思想方法指导功能与适用情境的差异性分析

王成营

摘 要 针对小学数学思想方法理解和教学中存在的内涵模糊、外延不清的问题，基于方法论的视角，根据小学数学教师的实际需要，考虑小学生能够理解的表征方式，将小学数学思想方法划分为基础性数学思想方法、问题性数学思想方法、策略性数学思想方法、整体性数学思想方法四个层次，并从指导功能和适用情境两个方面分析了不同层次数学思想方法的差异性。

关键词 小学数学 数学思想方法 指导功能 适用情境 差异性分析

数学思想方法是基础教育阶段数学教学中最具“神秘”色彩的概念之一，意义抽象、内容复杂，是数学教学中的一个难点。学界通常基于哲学“本质”[1]的视角探讨“数学思想方法是什么”的问题，使数学思想方法成为脱离认知情境和问题情境的孤立知识，弱化了数学思想方法的思维指导作用，不利于数学思想方法的教与学的组织。本文尝试基于方法论的视角，根据小学数学教师的实际需要，以小学生能够理解的表征方式，对小学数学思想方法的指导功能和适用情境进行差异性分析，以期帮助小学数学教师厘清数学思想方法相关概念之间的关系，加深对思想方法内涵的理解，更有效地组织小学数学思想方法教学活动。

一、基础性数学思想方法：数学知识与数学工具

数学知识与数学工具是最基础的数学思想方法，是知识与工具本身自有的方法规定性或操作规范，是数学思维的起点和出发点。数学知识和数学工具既是人类长期数学实践（数学认识和数学创造）的成果，也是进一步开展数学实践的基础。当然，不是所有数学知识和数学工具都可称为数学思想方法，只有那些能够为数學活动提供方法性或操作性指导的数学知识和数学工具才能称为数学思想方法。

小学数学概念性（陈述性）知识是包含若干要素的最简单的数学结构模型，小学生至少要掌握数学概念的模型、结构、读法与写法中蕴含的思想方法。例如，“自然数”概念中，除了10以内的10个数字外，多位自然数本身就是包括“数字、数位、进制”三个要素的结构模型。图1中用小棒直观形象的表征方式呈现了自然数读写的一些基本方法和规范要求：每个位置上只能有0～9中的1个数字;相邻的两个位置之间是10倍的关系——个位代表“根”，十位代表“捆”，而1捆中有10根;同样的数字在不同位置上表示不同的含义——在十位上时代表几“十”（捆），在个位上时代表几“个”（根）;写两位数时，两个数字间的距离要相对靠近一点，不要看上去像两个独立的数字;读写时都按照从高位到低位，即从左到右的次序;高位上先读数字再读数位，个位上只读数字，不读数位;中间数位上是0时，只读零，不读数位;中间连续多个数位为0时，只读一个零。显然，小学生不理解或不掌握以上方法和要求时，就必然会出现理解和读写错误。

图1

小学数学命题性（程序性）知识是包含多个概念或概念要素的最简单的数学关系模型，其中小学生至少要掌握它的变式（形）方法和化归方法（从问题情境中建构或识别出该数学关系模型）两类思想方法，从而形成应用数学命题（规则）解决相关问题的能力。例如，数学命题s=v×t表征了路程、速度、时间三个要素间最简单的关系模型，通过s=v×t，v=，t=三种变式对应解决求路程、求速度、求时间三类简单问题。若小学生能够依据对相关问题情境的分析，联想并识别出其中一种变式来规范地解答问题，则表明具备了教学目标所要求的知识应用能力。

小学数学工具性知识是关于某个量的测量活动或制作活动的操作性规范要求，是提高数据测量精度和符合相关活动标准的根本保证。例如，量角器的使用方法、直尺的使用方法、时钟的识别方法等。这类思想方法依附于数学知识或数学工具，可以称为知识性思想方法，或方法性数学知识。在小学数学知识和数学工具教学中，教师不仅要从本质的视角，指导小学生从实物观察与情境感知中获得感性经验，从制作与操作活动中获得活动经验，进而从这些经验中抽象概括出共同本质——数学概念与数学命题，还要从方法的视角，将数学知识与观察活动、思维活动、操作活动等具体活动任务和相关的问题情境结合起来，指导小学生遇到类似任务或情境时怎么进行模型识别、信息感知、并联想相关的数学知识来提供思维指导。

二、问题性数学思想方法：数学方法与数学技巧

数学方法与数学技巧属于问题性数学思想方法，是针对具体问题整体而言的，是对某类相对简单数学问题解答过程中，某些共同的数学思维活动形式和规律的抽象概括，反映了数学知识获得过程与问题解决过程的本质。不考虑策略选择的情况下，复杂问题的具体解答过程也称为解题方法。

数学方法通常包含三个要素：明确的目的、适用的条件或范围、操作的步骤或次序。世上没有万能的方法，任何方法都是有条件、有目的的。数学方法的目的代表了思维的方向、指向或意图，解释“为什么要这样做”。数学方法的“适用条件”解释“什么时候可以这样做”，决定了“什么情境下应用这种方法”，或者说，“感知到情境中的哪些信号时应联想到这种方法”。数学方法的“操作步骤或次序”解释“如何做”、“怎样做”，代表了数学思维的严谨性和程序性，决定了“应该怎么做”，或者说，“必须怎样做”。如果不能严格按照要求操作，方法应用过程中就会导致错误。学习数学方法必须深刻理解上述三个要素，才能真正掌握这个方法。否则，就会在个人经验和问题情境等多个因素的干扰下出现这样或那样的错误。

例如，在计算23+15-28+7-11=（20+3）+（10+5）-（30-2）+（10-3）-（10+1）=6的过程中运用了“凑十法”。“凑十法”的适用条件是：100以内自然数的加减运算。目的是将两位数的加减运算转化为一位数的加减运算，从而通过口算提升运算速度，提高运算准确性。操作步骤主要包括两步：先将每个两位数转化为整十加或减一个小于5的自然数，再分别对所有整十的数与所有小于5的数进行加减运算。当然，在实际运用“凑十法”的过程中，可以不必写出上述转化过程，而是直接在原数下方进行转化，然后通过口算直接写出运算结果。“凑整法”是将“凑十法”推广到多位数加减运算的情形，方法的目的与操作步骤基本相同，但适用范围需要相应做出调整。

数学技巧是对数学基本方法的灵活运用。数学技巧的“巧”在于针对特殊问题情境采取特殊处理方法或思维方式，它给人一种“巧妙”之感，具体表现为计算方法之恰当、计算程序之简洁。数学技巧是在数学解题过程中，根据问题的一些特殊性质或条件所选择的具有发现性质的特殊方法，它往往不被一般人所发现。在解题过程中，当感觉到问题的图形、条件有某些特殊性时，可考虑超越一般的方法，尝试发现更巧妙的解法，从而达到事半功倍的效果。

三、策略性数学思想方法：数学策略与解题思路

数学策略与解题思路属于策略性数学思想方法，是对某类包含多个步骤、多个问题组合或嵌套结构的复杂问题的解答过程中所运用的方法系统，是对结构的调整、重组与优化的思维活动的抽象概括。

任何数学问题情境或数学活动任务都是一个由已知条件与求证结论（活动目标）组成的数学模型或信息系统。在相对复杂的问题情境的已知条件系统中，条件数量越多，条件之间形成的数学关系或数学模型也就越复杂。数学问题解决或活动设计的过程本质上是建构已知条件与求证结论的逻辑链的过程。逻辑链的末端是确定的，即求证的结论或活动目标，但逻辑链的始端却是不定的。从不同的已知条件出发会建构出不同“长度”的逻辑链，会耗费不同的思维活动量，也就形成了不同的解题策略。在这些不同的解题方法或活动方案中，逻辑链相对最短、耗费思维活动量最少的方法，就称为该问题的最优解法。通过将相对复杂问题转化为相对简单的若干个“原型问题”，再将每个“原型问题”的通用方法进行简单的组合、联结，从而解决整个问题的方法，称为常规方法。

例如，人教版小学数学教材一年级上册第110页的第16题，如图2所示。

图2

此题的任务是明确的，就是从入口走到出口，但走的过程需要多个步骤，且面临多种可能路径的选择，使得这个看似简单的问题成为一个蕴含策略性思想方法的复杂方法系统。首先，“入口”与“出口”这两个已知条件中蕴含着“正走”与“倒走”两种完全不同的解题策略。还可以采用“两头同时走，中间碰头”的策略，毕竟两头确定路线的难度要远小于到中间的“迷宫”里寻找路线。其次，“入口”与“出口”处的“情境”是相同的，都是两个2与一个奇数。 最后，按照题目的要求，走的路线选择必须按照2-4-6-8-2-4-6-8……的数字顺序，其中隐含着三条重要信息：奇数不能走，即不必选择;从“入口”的2出发“正走”时，后面的4有两种选择;从“出口”的2出发“倒走”时，前面的8只有一种选择。这些信息说明两种解题策略之间存在差异，从数学思想方法视角看，是有探究价值的。

显然，大部分小学生通常是依据经验，在明确题意后便自然而然地采用“正走”策略。但可能很快会遇到“断路”，不得不返回来重新选择。善于运用分类思想的同学可以运用上述已知条件，尝试探索出所有的可能路径。没有分类意识的小学生可能会陷入“迷宫”而不知所措。对于一年级小学生，教师应该在学生解决问题后进行思想方法的启发、引导、讲解和分析，初步渗透“最优解法”的观念和意识。对于高年级小学生则应从分析题目信息入手，重点进行策略方法的探究，最后再运用“最优解法”完成问题解答。

总之，从数学思想方法教学的视角看，通过对这类典型问题进行全面深入的思想方法探索，不仅有利于小学生对所学数学知识的整合与认知重构，更使数学知识适应了多变的问题情境，培养和提高了学生的问题解决能力，取得了“举一反三”的学习效果和教学效果。

四、整体性数学思想方法：数学思想与数学观念

数学思想与数学观念属于整体性数学思想方法，是指在数学认识、数学操作、数学问题解决等活动中起到方向指导和整体统摄作用的共同的思维活动规律、思维结果或形成的观点与观念体系。

那么，数学思想与数学观念到底是什么？数学思想与数学观念有什么区别与联系呢？“思想”由“思”与“想”构成，既可以作为动词，指思维活动或思考，也可以作为名词，指思维过程。通俗地讲，“数学思想”就是指“数学思考”的过程。这里的“数学思考”不同于“数学认识”，通常是指对普遍的、重大的、根本性问题的思考。因此，数学思想不同于数学知识。数学思想侧重人的思维活动，强调问题解决的思维过程、思维模式与思维方法。数学知识侧重客观事物的认识活动，强调客观事物在人脑中心理反映结果。例如，分类思想是指当思维对象数量较大、杂乱无章、或者处于不确定状态时，为了使思维能够有效进行而将思维对象依据一定的标准分成不同种类，使研究对象数量减少、条理清晰、状态确定，从而降低思维载荷和难度的一种数学思想。当数学思想应用于具体问题或具体情境时，应称为数学方法。例如，对于各种各样的三角形，人们通常有两种分类方法（不能称为分类思想）：按照三角形内角的大小分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形;按照三角形边长之间的关系分为等边三角形、等腰三角形、不等腰三角形。因而数学思想又被看作是对数学方法的进一步抽象概括，反应了某类数学方法的共同本质。

“观念”由“观”与“念”构成。“观”是人们认识事物的一种方法，“念”是事物反映到人脑中形成的一种意识形态或心理表象。通俗地讲，观念是指人们在长期的生活和生产实践当中形成的对某个领域或某类事物的总体的综合认识或系统认识。观念是客观事物见之于主观的结果，它一方面反应了客观事物的不同属性，同时体现出个体的主观色彩，使不同个体间呈现出显著的差异性。观念来自于思想，思想源于问题情境。因此，观念的形成是思想的系统化结果，思想的形成来自对于普遍的、重大的、根本性问题的思考和解答。主体的行为由意识驱动，行为的性质由观念决定，观念的形成来自于思想，思想来自于主体对本身思维活动规律的反思和系统化。没有主体有意识的反思就没有思想，也就不会形成综合观念。

综上所述，数学思想方法实事上是一个总称，根据其思维功能不同可以分为四个层次：一是数学思想与数学观念，通常适用于依据特定认知对象或问题情境中蕴含的数学信息做出整体判断和选择，为数学思维提供戰略性、方向性指导;二是数学策略与数学思路，通常适用于解决复杂性较高问题过程中的方法路径选择，为数学思维提供策略性、思路性指导;三是数学方法与数学技巧，通常为解决具体问题提供方法或为实施具体数学活动提供操作程序，为数学思维提供方法性、操作性指导;四是数学知识与数学工具，适用于各类数学活动，是作为基础性、标准化的数学模型，为数学思维提供知识性、工具性、方式性指导。

参考文献

[1] 钟志华.数学思想方法的理解探索[J].教学与管理，2009（10）：43-46.

[责任编辑：陈国庆]