数学猜想助解中考数学题的教学案例分析与思考

摘 要：猜想是一种专门的数学用语，是一种以猜测和假设的方式将被验证的数学结论，以固定的方式描述为定理的过程.数学猜想是数学知识验证以及解答不可或缺的部分，是对于不知结论的数学叙述或数学论题进行验证的过程，数学猜想因为类比、推理和偶然发现的巧合而出现，同时又能根据一些特定的定理提升学生的数学思维.大胆的猜想能够促进数学有伟大的发现，古往今来的数学定理都是由猜想和好奇慢慢延伸而来.通过对宁波市中考数学实际问题进行分析，可以发现猜想能够对于指导数学教学起到良好的导向作用，而且还可以帮助解答中考数学题的一些疑难性问题、拓展视野、凝聚思路.

关键词：数学猜想;中考数学题;教学案例;创新思考

中图分类号：G632      文献标识码：A      文章编号：1008-0333（2021）23-0016-02

收稿日期：2021-05-15

作者简介：毛成卿（1979.6-），男，浙江省余姚人，本科，中学一级教师，从事初中数学教学研究.

宁波市近几来的中考数学题呈现出大题的题目结构和知识点有全面覆盖的特点，尤其是对于一些压轴问题的分析，有助于帮助数学教师利用猜想的方式，找到应对数学解题困惑的思路，一线数学教师需要时刻紧跟考试的思路变化和其步伐，从而能够在更为简洁的表述语境之下，以更加有针对性的教学手法指导学生的实际学习，并能够使其解题思路更加清晰.

一、猜想与归纳之间的关系

从题目表述和提示层次方面进行猜想，归纳是猜想的延伸部分，归纳和猜想之间的关系联系非常紧密.当一个问题涉及到不同的题目选项时，有时可能会故意给考生设置迷惑选项，而简单地将题目的中心思想提炼出来，从特殊的情形入手反而可以简化考生的思路，找到解决问题的根本途径，这种研究问题的方式是以归纳猜想的方法作为考试题目破解之法的应用过程.宁波市近几年的中考试题在最后出现的大题，也就是压轴题，往往是一道大题连着三道小题，其语言层次较为简洁，逻辑认定比较清晰，可以从归纳和猜想的角度入手来进行问题的解答;近几年来的宁波市数学中考题都是层层递进的关系，前面的问题往往是为后面的问题做铺垫，不能忽略不同题支之间的关系，后面的问题的设定和深化，具有一定的难度，教师要逐步引导学生实现知识层面的拓展.因此，可以从前面的铺垫向后面的能力部分猜想和转化.

以宁波市中考2016年第26题的问题设置为例：

求点B的坐标;2.当OG=4时，求AG的长;3.求证：GA平分∠OGE;4.连接BD并延长交x轴于点P，当点P的坐标为（12，0）时，求点G的坐标.

从题目的设定中猜想发现，小题目的设问并不是非常困难，对于学生来说基本上可以通过基础知识直接解答，后面的题有一定的思维难度，但是并不是很难，对于学生来说只要综合数学知识，就可以通过猜想验证优化解题思路，当然最后一道题有一定的难度，具有选拔的功能，也是区分学优生的重要依据之一.

二、并用类比拓展数学猜想

类比的方式与数学猜想之间的关系也是比较紧密的，类比的方式可以通过已知条件对于思路有一定延展性的，或者比较类似的研究对象进行观察和比较，当然对于考生来说，中考时借助旧的知识与新的知识之间进行类比也是一个不错的办法.很多学生都对于考试中的题目进行研究和猜想，如果其中一个研究对象具有类似的性质，那么很有可能在判断其解题思路的时候，会考虑把题目和解题方法之间进行同类比较，尝试确定解题思路.在数学题的解题过程中，尤其是对有一定难度的中考试题，类比往往具有引领性的指导作用，发现题目和知识点之间的相通之处，可以尝试确定基本解题思路，或者以特定的定理来冲击解题的方向.

宁波近几年的中考题目中数学知识含量十分丰富，题目具中有较强的融合性.例如：2017年宁波市中考的数学题有一道新定义题，此题对特殊的四边形和圆进行了比较完美的考查，数学知识的逻辑性展现的比较丰富，非常详尽的考察了直观的数学逻辑，将不同类型的三角形三个边的关系和三角形与圆的性质等数学知识融合进方程式，其考查方式是比较新颖的，而且对于学生在数学题目阅读方面的能力能进行很好的考查.

学生只有较好的知识储备，结合数学思维，就能将角、边、图形与图像的问题解决，留意外在的题目形式和题目考查内核之间的关系，为提升学生的综合素养和知识运用能力，利用类比的方式解决问题，将同类问题放在一起进行思考.

三、在构筑牢固数学基础的同时，提升数学思维

数学的学习思维是锻造一个人数学综合素养重要的目标，猜想属于数学思维的范畴，同时猜想又可以激发学生的学习兴趣，尤其是在中考题目的设定中，由于有的题目确实具有一定的难度，对于学生来说，要把控题目的发展方向，一定要加深对于特殊性质的理解.数学的猜想是基于一定的数学事实基础的，不能完全空想主义，以数学知识为基础的猜想，结合适当的数学定理，能够将类比归纳的方式渗透在数学学习的灵感之中.很多学生发现在日常的学习时，如果能够打好每一步的数学基础，在融合与变化的时候，就可以举一反三、猜测新的题目内容.利用猜测辩证法在数学中的应用，可以推进数学方法论的研究，并且解密数学知识，证实特殊的数学猜想.比如，近几年来，宁波中考的数学题目中虽然有很多不同的变化，但是这些变化往往是建立在基础之上的，并不会盲目的变形，题和题之间的性质也有一定的趋同性，这对于学生的学习来说是比较有利的，学生能否真正的利用综合分析能力进行知识迁移，将成为大部分考生非常重视的问题，所以在平时，一定要做好对于数学思维发展的积累，而不是一蹴而就的.

例如：在讲《三角形的內切圆》这部分的内容时，教师要求圆与四边形ABCD的各个边都相切，切点分别是M，N，G，H，猜想AB+CD与AD+BC有什么数量关系，并证明你的猜想.这个题目，将“正方形的性质”“圆的性质”“内切圆的性质”等部分的知识都渗透其中，数学教师在平时应该通过大量的讲解和同类问题的提醒转换，帮助学生实习知识的结构更加具有含金量，在参考解答具体问题时并不是大海捞针，而是有目的有途径的猜想，这一猜想的过程是符合其知识结构体系需求的，从而能够在日常练习的过程中有目的地进行数学知识的学习和演练.

四、强调在数学思维培养的过程中，加入一些实验的元素

数学实验能够呈现良好的数学思维，为了得到某种数学结论，在典型的实验环境中利用特定实验条件来进行猜想，也是一种比较常用的数学试题分析方法.在考试的时候，虽然不能真正的进行复杂的实验，但是采用猜想的方式能够鼓励学生自主探索.很多学生提出问题、发现问题，并且验证了自己原本的数学猜想，在这一过程中不仅能够找到数学考试的规律性，而且还可以根据寻找规律的过程，举一反三的解决更为复杂的问题，这种方式是可以通过反复的正向和反向思维达到解题目的的方法，在中考中往往能够解决比较具有难度的考题.

比如：在三个不一样的2*2方格选项中，通过实验画出三角形的方式，选择合适的三角形，要求画出的三角形和图中的三角形，经过轴对称之后，所得到的图形是一致的.这对于学生来说，需要一定的空间逻辑思维能力，也可以利用演算纸来测试三个不同图形的对应组合.但是这道题要求所有的阴影部分不能完全重复.

所谓的数学实验，主要是指在实际操作的时候，学生可以通过多次猜想、演练、测试，在脑海中形成不同的印象.能够得到最终的结论，一般是在特定的题目验证过程中找到数学题目活动思维，并且通过数学实验的验证思路，推翻错误的选项，找到正确的选项.

结论：数学的猜想的运用有很多不同的思路，无论是通过归纳、类比还是数学实验的想法，都需要学生能够学会举一反三.在特定的环境下，利用有规律性的猜想方式，不仅可以锻造学生的数学思维，而且还可以引导学生通过考试之后自我反思，参与数学实践，找到验证和猜想的规律以及连接新旧知识的通路.从而能够使得自身的数学思维能够变得更为灵活，帮助学生适应中考题目的动态化发展.

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[责任编辑：李 璟]