“转化”和“数形结合”思想在解题中的运用

柯建丽 王玉娟

【内容摘要】本文首先概括数学思想在当今社会和数学教学中所处的地位，然后 结合自己的教学实践，从三方面论述了“转化” 和“数形结合”思想在解题中的运用，最后，强调在教学中培养学生运用“转化”和“数形结合”思想的意义。

【关键词】转化 数形结合 解题

信息社会越来越多地要求人们自觉地运用数学思想来提出问题、分析问题、解决问题和评价问题，数学知识是数学思想方法的载体，数学思想方法是数学知识的精髓，是知识转化为能力的桥梁，九年义务教育数学新大纲明确指出：“初中数学的基础知识主要是初中代数、几何中的概念、法则、性质、公式、公里、定理以及由其内容所反映出来的数学思想和方法。”这是加强数学素质教育的一个列举，它要求教师在向学生展示获取知识、技能及解决问题的思维过程中，力求向他们渗透一些重要的数学思想方法，掌握数学最本质的属性，因此在教学中我有意识地把各种数学思想，如转化思想、数形结合思想、整体思想、类比思想、方程思想、分类思想等，运用于解答数学问题中去，从而培养学生的思维品质，提高学生的数学素质。下面是我在教学实践中，培养学生如何运用转化思想和数形结合的思想解题。

一、转化（化归）思想的运用

化归思想即转化思想，是一种研究对象在一定条件下转化为另一种研究对象的数学思想方法，也就是寻找问题的等价形式，沟通已知与未知的联系，它是数学中最基本的思想方法之一，也是几何证明中思路探寻的主要手段，如综合问题向单一问题的转化，抽象问题向具体问题的转化，正面问题向反面问题的转化，复杂问题向简单问题的转化，几何问题向代数问题的转化等。转化的目的是使问题的条件集中、明朗，从而使问题得到解决，所以“转化”是问题的手段，在教学中培养学生和训练学生的转化思维，对于优化学生的思维品质，提高学生思维的灵活性和独创性，形成学生的辨证意识是极其重要的。

1.树立转化思想

在教学中，我首先向学生介绍什么是转化思想，并运用生活中实例或典故，如通过测量影高而确定塔高、曹冲称象、根据竿的不同影长来确定季节和时令等加以解释，既可给学生以直观形象的感觉，又使学生感受转化思想并非数学专有，在现实生活中也有广阔的背景。

转化思想的培养可分为三个层次，即：初期、中期、后期，就以“方程”的教学为例，初期即渗透孕育期，向学生介绍方程是由于社会发展的需要，人类的进步而产生的，在方程教学中期即领悟形成期，着重引导学生把握解一元一次方程的实质就是将原方程转化为“X=a”的目标形式，从而认识到转化思想在方程中的重要决策和导向作用。在方程教学后期，即应用发展期，通过将实际问题转化成数学问题，再转化为方程问题来解决，进一步提高学生对转化思想的认识。通过教学中的不断培养，使学生明确“转化”的真谛，久而久之学生就能逐步运用转化思想解某些题。

2.运用转化思想解题

在中学数学中，应用转化思想解题到处可见，如初中代数中，解二元一次方程组是通过加减消元或代入消元法，将二元一次方程组转化为一元一次方程，解高次方程是通过分解因式降次，将高次方程转化为一元一次或一元二次方程，解分式方程是通过去分母或换元法，将分式方程转化为整式方程，解无理方程是通过两边平方或换元法，将无理方程转化为有理方程等;在几何解题中，引导学生把复杂问题转化为简单问题，把未知问题转化为已知问题，如通常将证明线段或角相等转化为证明三角形全等，将证明等积式或比例式转化为证明三角形相似，将正多边形的有关计算转化为解直角三角形，经过图形变换将不在同一个三角形中的线段或角转化成同一个三角形中的线段或角，通过作对角线，将平行四边形、矩形、菱形转化为三角形，通过作一腰或对角线的平行线，将梯形转化为一个平行四边形和一个三角形，作两条高线，将梯形转化为矩形和两个直角三角形，或延长两腰，将梯形转化为一个三角形，通过补割，将不规则的平面图形转化为三角形或特殊的四边形等。

例1、草原上两个居民点A、B在河流a的同旁，一汽车从A出发到B，途中需要到河边加水，汽车在哪一点加水，可使行驶的路程最短？

首先引导学生认真阅读题目，在读懂题目后，让学生思考：上述问题是个什么问题？应转化为什么？如何转化？转化后变成什么问题？经过认真分析得出，本题是个实际问题，應转化为数学问题，再引导学生转化为几何作图问题如下。

已知：线段a和它同侧的两点A、B

求作：点C，使C在直线a上，并且AC+BC最小

运用转化思想解题，总能把特殊化为一般，未知化为已知，复杂化为简单，实际问题化为数学问题，在解题中，既培养了学生的转化意识，又提高了学生的思维能力。

3.注意转化的等价性

在解决数学问题时，转化不仅是必要的，而且是必须的，但是转化应注意条件的变化，即等价性的问题，转化分为“等价转化”和“非等价转化”，等价转化不会影响问题的解决，问题在非等价转化上，其中“非等价转化”应有相应的补救措施：把多余的去掉，把漏掉的补上，解决这一问题的关键是对转化过程的“非等价性”持以足够的重视，如解分式方程、无理方程会出现增根，其根本原因是在去分母时，两边都乘以最简公分母或在两边平方时，将未知数的范围扩大，也就是转化不等价所致，只有通过验根来补救，从而产生了不适合原方程根的情况，即增根。

二、数形结合思想的运用

数形结合思想就是通过在数与形之间建立对应关系，把数量关系转化为图形性质，或者把图形性质转化为数量关系，从而使几何问题能用代数方法来研究，使代数和几何模型具有鲜明的直观性，即通过形中寻数，数中寻形的途径，使问题易解。数学家华罗庚曾指出“数缺形时少直觉，形少数是难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休。”就是对数形结合思想重要性的高度评价。让学生了解这种思想，可以提高学生的学习兴趣，激发学生的学习热情。

1.树立数形结合思想

数形结合思想的培养，首先可运用生活中直观形象的实例向学生加以解释，如高楼大厦的建筑、房屋的装修、各种车辆的制造与设计图纸的数形结合，使学生感受到数形结合的思想在现实生活中比比皆是。

在数轴的教学中，让学生体会到数轴上的点与实数是一一对应的，即利用数轴把抽象的数与形象的数轴结合起来，使每一个数变得生动、直观，如数轴可把任意数绝对值的代数定义与几何意义紧密结合，即把绝对值的代数定义用几何来解释，并从直观的几何图形中抽象出数量关系。函数及其图象一章是初中代数的重点与难点，内容较多，且较为复杂，在平面直角坐标系的教学中，让学生体会到平面直角坐标系上的点与有序实数对是一一对应的，通过坐标系这座桥梁，把抽象的有序实数对与坐标平面上的点联系起来，即可使几何问题转化为代数问题，又可使代数问题转化为几何问题。通过教学中的不断培养，使学生能逐步运用数形结合思想解题。

2.运用数形结合思想解题

大量的几何问题的解决离不开代数运算，而代数学科中很多概念、性质、公式、公里、定理都有其几何背景，一些代数问题可借助于几何方法解决，如课本勾股定理的证明，是通过做8个全等的直角三角形和三个边长分别为直角三角形三边长的正方形，把它们拼成两个一样的正方形，通过计算面积相等，从而得证。利用代数方法解几何题的也很多，如几何教科书中对定理“如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似”的证明就是用代数的方法给出的，这一方法比较直观自然。还有不少问题通过数形结合的方法，使解题过程简单易解，如可由坐标系中的图象求函数的解析式，而由函数的解析式可画出函数的图象，通过二次函数y=ax2+bx+c的图象，可求出一元二次方程ax2+bx+c=0的两根和一元二次不等式ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0的解集，可以判断a、b、c及判别式△的符号，而又a、b、c及△的符号可以画出二次函数在直角坐标系的大致图象。

例2、二次函数有最小值-8，当x≤-1时，y随x的增大而减小，且-3

由题意结合二次函数的图象可知，函数的顶点坐标是（-1，-8），而-3

例3、中考题，实数a、b在数轴上对应的位置如图所示，下列说法正确的是：

（A）a、b互为相反数

（B）b的倒数大于0

（C）b的绝对值大于0

（D）b大于a

本题从数轴观察可知b<-1，即得 │b│ >0，所以本题答案是（C）。此题只要分析图形后，可立即得出答案，使学生赢得较多的时间，达到简洁、迅速的目的。 数形结合思想是数学学科基本而又重要的思想，培养学生运用数形结合思想解题，能充分发挥形象思维的优势，以数思形，数形结合，既可开辟解题捷径，又有利用多层次多角度展开思维品质的训练，提高学生分析问题和解决问题的能力。

3.注意数形结合的图形

利用数形结合思想解题，所作图形只是草图，由于受作图习惯的影响，已知条件的局限，可能会出现作图误差过大，而不能准确地反映图形的形状、大小和位置关系，这样会左右解题思路，导致出错或无法解出。

例4、等腰三角形的底角等于15度，腰长为2a，求腰上的高。

此题通过分析可知，该等腰三角形是一个钝角三角形，腰上的高在其延长线上，若按习惯画成锐角等腰三角形，作出腰上的高，则很难解出。

总之，培养科学的研究方法和思维方法，是素质教育的重要内容，在几何教学中，要使学生会用归纳、演绎和类比进行推理，培养学生的逻辑思维能力;在代数教学中，不仅要求学生会根据法则、公式、性质正确地计算，还要重视推理，培养学生的联想、想象、逆向思维，通过数学解题，培养学生数形结合、轉化等数学思想和方法，尤其在初四复习阶段，要重视代数与几何综合题的讲解与训练，引导学生运用“转化”和“数形结合”思想解题，可开发他们的智力，培养他们的能力，也是提高学生数学素质的良好途径。

【参考文献】

[1]张晓骏. 数学教学中注意对学生“转化思想”的培养 [J]苏州教育学院学报.1998（2）47-48

（作者单位：淄博市临淄区雪宫中学）