分数加减法新论

罗枝琴

摘要：分数加减法的本质是通分，即是说把它们化成同分母分数，按照同分母分数相加减的运算法则进行计算。在一般的分数加减法中，如果我们要做分数加减法，第一步就是要找到两个分数分母的最小公倍数，然后把它们化成同分母分数，再相加或者相减。新计算方法避开了通分带来的繁琐过程，能更加简便、快速地得到正确的计算结果。

关键词：整数;分母相乘;分子分母交叉相乘相加减;分母不变。

一、分数减法。

分数减法有两种情况，一种是分母是互质数，另一种分母不是互质数。

（一）分母是互质数的分数减法。分母是互质数的分数减法是指在两个异分母分数的减法中，它们的分母互为质数。

1、①3/4-1/5

在①式中，前一个分数3/4的分母“4”和后一个分数1/5的分母“5”是互质数。

新的计算方法是：3/4-1/5=（3×5-1×4）/（4×5）=（15-4）/20=11/20

②1/3-2/7

在②式中，前一个分数1/3的分母“3”和后一个分数2/7的分母“7”是互质数。

新的计算方法是：1/3-2/7=（1×7-2×3）/（3×7）=（7-6）/21=1/21

例1的①式的算法：“分子分母交叉相乘”指的是前一个分数“3/4”的分子“3”乘以后一个分数“1/5”的分母“5”，即：3×5;后一个分数“1/5”的分子“1”乘以前一个分数“3/4”的分母“4”，即：1×4。因为小学还没把负分数作为教学重点，因此我们在做此类题的时候通常用前一个分数的分子乘以后一个分数的分母做整个分子的被减数（3×5）。后一个分数的分子乘以前一个分数的分母做减数（1×4）。整个式子表达为：3×5-1×4=11;因为前一个分数的分母“4”与后一个分数的分母“5”互为质数，因此它们的乘积就是这两个数的最小公倍数，即：4×5=20;“20”即是新算法的分母，“11”即是新算法的分子。例1的②式算法与①式算法相同。

（二）分母是非互质数的分数减法。分母是非互质数的分数减法是指在两个异分母分数的减法中，它们的分母不是互质数。

2、4/6-3/9

在这个算式中，前一个分数4/6的分母“6”与后一个分数3/9的分母“9”并非互质数。

新的计算方法是：4/6-3/9=（4×9-3×6）/（6×9）=（36-18）/54=18/54=1/3

需要注意的是例1的计算结果中，分子分母已经是互质数，故不用化简;例2的计算结果中分子分母还有其它公因数，因此需要化成最简分数。

二、分数加法。

分数加法有两种情况，一种是分母是互质数，另一种分母不是互质数。

（一）分母是互质数的分数加法。分母是互质数的分数加法是指在两个异分母分数的加法中，它们的分母互为质数。

3、2/3+3/7

新的计算方法是：2/3+3/7=（2×7+3×3）/（3×7）=（14+9）/21=23/21

例3的具体算法是：分母相乘做分母，分子分母交叉相乘相加做分子。即：前一个分数“2/3”的分子“2”乘以后一个分数“3/7”的分母“7”即（2×7）;后一个分数“3/7”的分子“3”乘以前一个分数“2/3”的分母“3”即（3×3）。把两次相乘得到的积相加做分子：即2×7+3×3=23做分子;分母相乘做分母（3×7=21）;“21”即是新算法的分母，“11”即是新算法的分子。

（二）分母是非互质数的分数加法。分母是非互质数的

分数加法是指在两个异分母分数的加法中，它们的分母并不是互质数。

4、5/10+2/8

新的计算方法是：5/10+2/8=（5×8+2×10）/（10×8）=（40+20）/80=60/80=3/4

在这个算式中，前一个分数5/10的分母“10”与后一个分数2/8的分母“8”并非互质数。

例4的具体算法和例3是相同的，因此不再详述，这两个例子的区别在于：例4的两个分数分子相加最后得到的分子（60）与分母（80）并非互质数，按照计算结果要化成最简分数的原则，还需使分子分母互质，因此需要化简，最后结果为3/4。

由这4个例题可知，无论分母是互质数还是非互质数，分数加减法都遵循三条规律：一是分母相乘做分母;二是分子分母交叉相乘相（加）减做分子。三是最后的得数能化简的要化成最简分数。新的分数加减法同样适用于一般的分数加减法。

三、整数加减分数

（一）整数加分数。整数加分数是指在整数与分数的混合运算中，一个数是整数，另一个是分数。

5、4+ 1/3

新的计算方法是：4+ 1/3=（4×3+1）/3=（12+1）/3=13/3

例5的具体算法，一是分母不变;二是整数与分数的分母相乘再加上分数的分子做分子。即整数“4”乘以分数“1/3”的分母“3”再加上分数“1/3”的分子“1”做分子（4×3+1）

（二）整数减分数。整数减分数是指在整数与分数的混合运算中，一个数是整数，另一个是分数。

6、5- 1/6

新的计算方法是：5- 1/6=（5×6-1）/6=（30-1）/6 29/6

例6的具體算法表述为：分母不变，整数与分数的分母相乘再减去分数的分子做分子。即整数“5”乘以分数“1/6”的分母“6”再减去分数“1/6”的分子“1”做分子（5×6-1）。

这里需要特别说明的是，整数可以看做分母是“1”的假分数。例5之所以没有把4+ 1/3写成“4/1+1/3”，例6之所以没有把5- 1/6写成“5/1-1/6”，乃是为了计算简便。从例5和例6这两个例题，我们可以总结出两条规律，整数加（减）分数：一是分数的分母不变;二是整数乘以分数的分母再加上或者减去分数的分子做分子。例1到例4总结的三条规律，例5到例6总结的两条规律是我从教年多来，从大量的分数加减法计算中，中发现的。这种新规律和新方法，对学生快速、准确地计算分数加减法具有很大的帮助。例5、例6两个例题之外可能还会出现计算的结果分子分母不是互质数，如果遇到分子分母不是互质数，那化成最简分数即可。

这种新方法和新规律对于计算一般的分数加减法同样适用。这些方法在快速计算分数加分数，分数减分数，整数加分数，整数减分数等运算中起到了很大的作用。整数加分数，整数减分数可以看做是分数加减法的延伸。