简解北京初中数学竞赛题

王勇红

题目 关于m，n的方程5m2-6mn+7n2=2 011是否存在整数解？若存在，请写出一组解；若不存在，请说明理由.

这是2011年北京市中学生数学竞赛（初二）试卷的第四大题，笔者在阅读文[1]时发现它的分析和解法都过于复杂，让人们感觉该题很难，其实该题并不难解，可以直接用整数的奇偶性来解答.

解 因为2 011是奇数，故m，n不能同奇偶.

（1）当m=2k，n=2s+1时（k，s为整数），

则5m2-6mn+7n2=2011k（5k-3）+7s（s+1）-6ks=501.

不论k，s的奇、偶性如何，k（5k-3）+7s（s+1）-6ks都是偶数，故无整数解.

（2）当m=2k+1，n=2s时（k，s为整数），

则5m2-6mn+7n2=2 01110k2+10k-6s+14s2-12sk=1 003，

10k2+10k-6s+14s2-12sk是偶數，故也无整数解.

故方程不存在整数解.